Fórmula del personaje de Kirillov

En matemáticas , para un grupo de Lie , el método de la órbita de Kirillov proporciona un método heurístico en la teoría de la representación . Conecta las transformadas de Fourier de órbitas coadjuntas , que se encuentran en el espacio dual del álgebra de Lie de G , con los caracteres infinitesimales de las representaciones irreducibles . El método debe su nombre al matemático ruso Alexandre Kirillov . ${\displaystyle G}$

En su forma más simple, establece que un carácter de un grupo de Lie puede venir dado por la transformada de Fourier de la función delta de Dirac apoyada en las órbitas coadjuntas, ponderada por la raíz cuadrada del jacobiano del mapa exponencial , denotado por . No se aplica a todos los grupos de Lie, pero funciona para varias clases de grupos de Lie conectados , incluidos los nilpotentes , algunos grupos semisimples y grupos compactos . ${\displaystyle j}$

El método de la órbita de Kirillov ha dado lugar a una serie de importantes avances en la teoría de Lie, incluido el isomorfismo de Duflo y el mapa envolvente.

Fórmula de caracteres para grupos compactos de Lie.

Sea el peso más alto de una representación irreducible , donde es el dual del álgebra de Lie del toro máximo , y sea la mitad de la suma de las raíces positivas . ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle \rho }$

Denotamos por la órbita coadjunta a través y por la medida invariante con masa total , conocida como medida de Liouville . Si es el carácter de la representación , la fórmula del carácter de Kirillov para grupos compactos de Lie viene dada por ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$ ${\displaystyle \lambda +\rho \in {\mathfrak {t}}^{*}}$ ${\displaystyle \mu _{\lambda +\rho }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}$ ${\displaystyle \dim \pi =d_{\lambda }}$ ${\displaystyle \chi _{\lambda }}$

${\displaystyle j^{1/2}(X)\chi _{\lambda }(\exp X)=\int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +\rho }(\beta ),\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}}}$,

¿Dónde está el jacobiano del mapa exponencial? ${\displaystyle j(X)}$

Ejemplo: SU(2)

Para el caso de SU(2) , los pesos más altos son los semienteros positivos y . Las órbitas coadjuntas son esferas bidimensionales de radio , centradas en el origen en un espacio tridimensional. ${\displaystyle \rho =1/2}$ ${\displaystyle \lambda +1/2}$

Mediante la teoría de las funciones de Bessel , se puede demostrar que

${\displaystyle \int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +1/2}}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +1/2}(\beta )={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{X/2}},\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}},}$

y

${\displaystyle j(X)={\frac {\sin X/2}{X/2}}}$

produciendo así los caracteres de SU (2):

${\displaystyle \chi _{\lambda }(\exp X)={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{\sin X/2}}}$

Ver también

• Fórmula del carácter de Weyl
• Fórmula de localización para cohomología equivariante

Referencias

• Kirillov, AA, Conferencias sobre el método de la órbita , Estudios de Posgrado en Matemáticas , 64, AMS, Rhode Island, 2004.