Isomorfismo de Duflo

En matemáticas, el isomorfismo de Duflo es un isomorfismo entre el centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita y las invariantes de su álgebra simétrica . Fue introducido por Michel Duflo  (1977) y posteriormente Kontsevich lo generalizó a álgebras de Lie arbitrarias de dimensión finita.

El teorema de Poincaré-Birkoff-Witt da para cualquier álgebra de Lie un isomorfismo en el espacio vectorial desde el álgebra polinómica hasta el álgebra envolvente universal . Este mapa no es un homomorfismo de álgebra. Es equivariante con respecto a la representación natural de en estos espacios, por lo que se restringe a un isomorfismo de espacio vectorial. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle F\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}}$

donde el superíndice indica el subespacio aniquilado por la acción de . Ambas y son subálgebras conmutativas; de hecho, es el centro de , pero aún no es un homomorfismo de álgebra. Sin embargo, Duflo demostró que en algunos casos podemos componer con un mapa. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle G\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}}$

para obtener un isomorfismo de álgebra

${\displaystyle F\circ G\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}.}$

Más tarde, utilizando el teorema de formalidad de Kontsevich, Kontsevich demostró que esto funciona para todas las álgebras de Lie de dimensión finita.

Siguiendo a Calaque y Rossi, el mapa se puede definir de la siguiente manera. La acción adjunta de es el mapa. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$

enviando a la operación el . Podemos tratar el mapa como un elemento de ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [x,-]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\ast }\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$

o, de hecho, un elemento del espacio más grande , ya que . Llame a este elemento ${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\ast }\subset S({\mathfrak {g}}^{\ast })}$

${\displaystyle \mathrm {ad} \in S({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$

Ambos y son álgebras, por lo que su producto tensorial también lo es. Por lo tanto, podemos tomar poderes de , digamos ${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{\ast })}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} }$

${\displaystyle \mathrm {ad} ^{k}\in S({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}}).}$

Yendo más allá, podemos aplicar cualquier serie de potencias formales y obtener un elemento de , donde denota el álgebra de series de potencias formales en . Trabajando con series de potencias formales, obtenemos así un elemento ${\displaystyle \mathrm {ad} }$ ${\displaystyle {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\ast }}$

${\displaystyle {\sqrt {\frac {e^{\mathrm {ad} }-e^{-\mathrm {ad} }}{\mathrm {ad} }}}\in {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$

Dado que la dimensión de es finita, se puede pensar como , por lo tanto es y aplicando el mapa determinante, obtenemos un elemento ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \mathrm {M} _{n}({\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast }))}$

${\displaystyle {\tilde {J}}^{1/2}:=\mathrm {det} {\sqrt {\frac {e^{\mathrm {ad} }-e^{-\mathrm {ad} }}{\mathrm {ad} }}}\in {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })}$

que está relacionado con la clase de Todd en topología algebraica.

Ahora, actúa como derivaciones ya que cualquier elemento de da un campo vectorial invariante a la traducción . Como resultado, el álgebra actúa como operadores diferenciales en , y esto se extiende a una acción de en . Así podemos definir un mapa lineal. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\ast }}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{\ast }}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}}^{\ast })}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle G\colon S({\mathfrak {g}})\to S({\mathfrak {g}})}$

por

${\displaystyle G(\psi )={\tilde {J}}^{1/2}\psi }$

y dado que toda la construcción fue invariante, se restringe al mapa lineal deseado ${\displaystyle G}$

${\displaystyle G\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}.}$

Propiedades

Para un álgebra de Lie nilpotente, el isomorfismo de Duflo coincide con el mapa de simetrización del álgebra simétrica al álgebra envolvente universal . Para un álgebra de Lie semisimple el isomorfismo de Duflo es compatible de forma natural con el isomorfismo de Harish-Chandra .

Referencias

• Duflo, Michel (1977), "Opérateurs différentiels bi-invariants sur un groupe de Lie", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 10 (2): 265–288, doi : 10.24033/asens.1327 , ISSN  0012-9593, SEÑOR  0444841
• Calaque, Damián; Rossi, Carlo A. (2011), Conferencias sobre isomorfismos de Duflo en álgebra de Lie y geometría compleja, Serie de conferencias de matemáticas EMS, Zürich: Sociedad Matemática Europea , doi :10.4171/096, hdl : 21.11116/0000-0004-2127-B , ISBN 978-3-03719-096-8, señor  2816610