Álgebra envolvente universal

Concepto en matemáticas

En matemáticas , el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie es el álgebra asociativa unitaria cuyas representaciones corresponden precisamente a las representaciones de esa álgebra de Lie.

Las álgebras envolventes universales se utilizan en la teoría de representación de los grupos de Lie y las álgebras de Lie. Por ejemplo, los módulos de Verma se pueden construir como cocientes del álgebra envolvente universal. ^[1] Además, el álgebra envolvente proporciona una definición precisa de los operadores de Casimir . Debido a que los operadores de Casimir conmutan con todos los elementos de un álgebra de Lie, se pueden utilizar para clasificar representaciones. La definición precisa también permite la importación de operadores de Casimir a otras áreas de las matemáticas, específicamente, aquellas que tienen un álgebra diferencial . También juegan un papel central en algunos desarrollos recientes en matemáticas. En particular, su dual proporciona un ejemplo conmutativo de los objetos estudiados en geometría no conmutativa , los grupos cuánticos . Se puede demostrar, mediante el teorema de Gelfand-Naimark , que este dual contiene el álgebra C* del grupo de Lie correspondiente. Esta relación se generaliza a la idea de la dualidad de Tannaka-Krein entre grupos topológicos compactos y sus representaciones.

Desde un punto de vista analítico, el álgebra envolvente universal del álgebra de Lie de un grupo de Lie puede identificarse con el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda del grupo.

Construcción informal

La idea del álgebra envolvente universal es incrustar un álgebra de Lie en un álgebra asociativa con identidad de tal manera que la operación de corchete abstracta en corresponda al conmutador en y el álgebra sea generada por los elementos de . Puede haber muchas maneras de hacer tal incrustación, pero hay una única "mayor" de tales , llamada álgebra envolvente universal de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle xy-yx}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Generadores y relaciones

Sea un álgebra de Lie, supuesta de dimensión finita por simplicidad, con base . Sean las constantes de estructura para esta base, de modo que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X_{1},\ldots X_{n}}$ ${\displaystyle c_{ijk}}$

${\displaystyle [X_{i},X_{j}]=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}X_{k}.}$

Entonces el álgebra envolvente universal es el álgebra asociativa (con identidad) generada por elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n}}$

${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}=\sum _{k=1}^{n}c_{ijk}x_{k}}$

y ninguna otra relación . A continuación, haremos más precisa esta construcción de "generadores y relaciones" construyendo el álgebra envolvente universal como un cociente del álgebra tensorial sobre . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Consideremos, por ejemplo, el álgebra de Lie sl(2,C) , abarcada por las matrices

$${\displaystyle E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,}$$

que satisfacen las relaciones de conmutación , , y . El álgebra envolvente universal de sl(2,C) es entonces el álgebra generada por tres elementos sujetos a las relaciones ${\displaystyle [H,E]=2E}$ ${\displaystyle [H,F]=-2F}$ ${\displaystyle [E,F]=H}$ ${\displaystyle e,f,h}$

${\displaystyle he-eh=2e,\quad hf-fh=-2f,\quad ef-fe=h,}$

y ninguna otra relación. Destacamos que el álgebra envolvente universal no es la misma que (o está contenida en) el álgebra de matrices. Por ejemplo, la matriz satisface , como se verifica fácilmente. Pero en el álgebra envolvente universal, el elemento no satisface porque no imponemos esta relación en la construcción del álgebra envolvente. De hecho, se sigue del teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt (discutido § más abajo) que los elementos son todos linealmente independientes en el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{2}=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle e^{2}=0}$ ${\displaystyle 1,e,e^{2},e^{3},\ldots }$

Encontrar una base

En general, los elementos del álgebra envolvente universal son combinaciones lineales de productos de los generadores en todos los órdenes posibles. Usando las relaciones definitorias del álgebra envolvente universal, siempre podemos reordenar esos productos en un orden particular, digamos con todos los factores de primero, luego los factores de , etc. Por ejemplo, siempre que tengamos un término que contenga (en el orden "incorrecto"), podemos usar las relaciones para reescribirlo como más una combinación lineal de los . Hacer este tipo de cosas repetidamente eventualmente convierte cualquier elemento en una combinación lineal de términos en orden ascendente. Por lo tanto, los elementos de la forma ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{2}x_{1}}$ ${\displaystyle x_{1}x_{2}}$ ${\displaystyle x_{j}}$

${\displaystyle x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{n}^{k_{n}}}$

siendo los ' enteros no negativos, abarcan el álgebra envolvente. (Permitimos , lo que significa que permitimos términos en los que no aparecen factores de ). El teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt , que se analiza a continuación, afirma que estos elementos son linealmente independientes y, por lo tanto, forman una base para el álgebra envolvente universal. En particular, el álgebra envolvente universal siempre tiene una dimensión infinita. ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle k_{j}=0}$ ${\displaystyle x_{j}}$

El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt implica, en particular, que los elementos mismos son linealmente independientes. Por lo tanto, es común —aunque potencialmente confuso— identificar los s con los generadores del álgebra de Lie original. Es decir, identificamos el álgebra de Lie original como el subespacio de su álgebra envolvente universal abarcado por los generadores. Aunque puede ser un álgebra de matrices, la envolvente universal de no consiste en matrices (de dimensión finita). En particular, no existe un álgebra de dimensión finita que contenga la envolvente universal de ; el álgebra envolvente universal es siempre de dimensión infinita. Por lo tanto, en el caso de sl(2,C), si identificamos nuestra álgebra de Lie como un subespacio de su álgebra envolvente universal, no debemos interpretar , y como matrices, sino más bien como símbolos sin más propiedades (aparte de las relaciones de conmutación). ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle 2\times 2}$

Formalidades

La construcción formal del álgebra envolvente universal toma las ideas anteriores y las envuelve en una notación y terminología que hace que sea más conveniente trabajar con ellas. La diferencia más importante es que el álgebra asociativa libre utilizada en lo anterior se limita al álgebra tensorial , de modo que se entiende que el producto de los símbolos es el producto tensorial . Las relaciones de conmutación se imponen construyendo un espacio cociente del álgebra tensorial cociente por el ideal bilateral más pequeño que contiene elementos de la forma . El álgebra envolvente universal es el álgebra asociativa unitaria "más grande" generada por elementos de con un corchete de Lie compatible con el álgebra de Lie original. ${\displaystyle x_{i}x_{j}-x_{j}x_{i}-\Sigma c_{ijk}x_{k}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Definición formal

Recordemos que cada álgebra de Lie es en particular un espacio vectorial . Por lo tanto, uno es libre de construir el álgebra tensorial a partir de ella. El álgebra tensorial es un álgebra libre : simplemente contiene todos los productos tensoriales posibles de todos los vectores posibles en , sin ninguna restricción en esos productos. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Es decir, se construye el espacio.

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=K\,\oplus \,{\mathfrak {g}}\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\,\oplus \,\cdots }$

donde es el producto tensorial, y es la suma directa de espacios vectoriales. Aquí, K es el cuerpo sobre el que se define el álgebra de Lie. A partir de aquí y hasta el resto de este artículo, el producto tensorial siempre se muestra explícitamente. Muchos autores lo omiten, ya que, con la práctica, su ubicación suele inferirse del contexto. Aquí, se adopta un enfoque muy explícito para minimizar cualquier posible confusión sobre los significados de las expresiones. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle \oplus }$

El primer paso en la construcción es "levantar" el corchete de Lie del álgebra de Lie (donde está definido) al álgebra de tensores (donde no lo está), de modo que se pueda trabajar coherentemente con el corchete de Lie de dos tensores. El levantamiento se realiza de la siguiente manera. Primero, recuerde que la operación de corchete en un álgebra de Lie es una función que es bilineal , antisimétrica y satisface la identidad de Jacobi . Deseamos definir un corchete de Lie [-,-] que sea una función que también sea bilineal, antisimétrica y obedezca la identidad de Jacobi. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})\otimes T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})}$

La elevación se puede realizar nivel por nivel. Comience por definir el soporte como ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

Esta es una definición consistente y coherente, porque ambos lados son bilineales y ambos lados son antisimétricos (la identidad de Jacobi se explicará en breve). Lo anterior define el corchete en ; ahora debe levantarse a para arbitrario Esto se hace de forma recursiva, definiendo ${\displaystyle T^{2}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T^{n}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle n.}$

${\displaystyle [a\otimes b,c]=a\otimes [b,c]+[a,c]\otimes b}$

y de igual manera

${\displaystyle [a,b\otimes c]=[a,b]\otimes c+b\otimes [a,c]}$

Es fácil verificar que la definición anterior es bilineal y antisimétrica; también se puede demostrar que obedece a la identidad de Jacobi. El resultado final es que se tiene un corchete de Lie que está definido consistentemente en todos los de y se dice que ha sido "elevado" a todos los de en el sentido convencional de un "elevamiento" desde un espacio base (aquí, el álgebra de Lie) a un espacio de recubrimiento (aquí, el álgebra tensorial). ${\displaystyle T({\mathfrak {g}});}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$

El resultado de este levantamiento es explícitamente un álgebra de Poisson . Es un álgebra asociativa unitaria con un corchete de Lie que es compatible con el corchete del álgebra de Lie; es compatible por construcción. Sin embargo, no es la álgebra más pequeña de este tipo; contiene muchos más elementos de los necesarios. Se puede obtener algo más pequeño proyectando hacia abajo. El álgebra envolvente universal de se define como el espacio cociente ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/\sim }$

donde la relación de equivalencia está dada por ${\displaystyle \sim }$

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a=[a,b]}$

Es decir, el corchete de Lie define la relación de equivalencia utilizada para realizar el cociente. El resultado sigue siendo un álgebra asociativa unitaria, y todavía se puede tomar el corchete de Lie de dos miembros cualesquiera. Calcular el resultado es sencillo, si se tiene en cuenta que cada elemento de puede entenderse como una clase lateral : simplemente se toma el corchete como de costumbre y se busca la clase lateral que contiene el resultado. Es la álgebra más pequeña de este tipo; no se puede encontrar nada más pequeño que todavía obedezca los axiomas de un álgebra asociativa. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

El álgebra envolvente universal es lo que queda del álgebra tensorial después de modificar la estructura del álgebra de Poisson . (Esta es una afirmación no trivial; el álgebra tensorial tiene una estructura bastante complicada: es, entre otras cosas, un álgebra de Hopf ; el álgebra de Poisson es igualmente bastante complicada, con muchas propiedades peculiares. Es compatible con el álgebra tensorial, y por lo tanto se puede realizar la modificación. La estructura del álgebra de Hopf se conserva; esto es lo que conduce a sus muchas aplicaciones novedosas, por ejemplo en la teoría de cuerdas . Sin embargo, para los fines de la definición formal, nada de esto importa particularmente).

La construcción se puede realizar de una manera ligeramente diferente (pero en última instancia equivalente). Olvídese, por un momento, del levantamiento anterior y, en su lugar, considere el ideal bilateral I generado por elementos de la forma

${\displaystyle a\otimes b-b\otimes a-[a,b]}$

Este generador es un elemento de

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\subset T({\mathfrak {g}})}$

Un miembro general del ideal tendré la forma

${\displaystyle c\otimes d\otimes \cdots \otimes (a\otimes b-b\otimes a-[a,b])\otimes f\otimes g\cdots }$

para algunos Todos los elementos de I se obtienen como combinaciones lineales de elementos de esta forma. Claramente, es un subespacio. Es un ideal, en el sentido de que si y entonces y Establecer que esto es un ideal es importante, porque los ideales son precisamente aquellas cosas con las que uno puede hacer cociente; los ideales se encuentran en el núcleo de la función de cociente. Es decir, uno tiene la secuencia exacta corta ${\displaystyle a,b,c,d,f,g\in {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle I\subset T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle j\in I}$ ${\displaystyle x\in T({\mathfrak {g}}),}$ ${\displaystyle j\otimes x\in I}$ ${\displaystyle x\otimes j\in I.}$

${\displaystyle 0\to I\to T({\mathfrak {g}})\to T({\mathfrak {g}})/I\to 0}$

donde cada flecha es una función lineal y el núcleo de esa función está dado por la imagen de la función anterior. El álgebra envolvente universal puede definirse entonces como ^[2]

${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$

Superálgebras y otras generalizaciones

La construcción anterior se centra en las álgebras de Lie y en el corchete de Lie, y su asimetría y antisimetría. Hasta cierto punto, estas propiedades son incidentales a la construcción. Consideremos en cambio algún álgebra (arbitraria) (no un álgebra de Lie) sobre un espacio vectorial, es decir, un espacio vectorial dotado de multiplicación que toma elementos Si la multiplicación es bilineal, entonces se pueden aplicar la misma construcción y las mismas definiciones. Se comienza elevando hasta de modo que lo elevado obedezca todas las mismas propiedades que la base : simetría o antisimetría o lo que sea. El levantamiento se realiza exactamente como antes, comenzando con ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m:V\times V\to V}$ ${\displaystyle a\times b\mapsto m(a,b).}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T(V)}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\begin{aligned}m:V\otimes V&\to V\\a\otimes b&\mapsto m(a,b)\end{aligned}}}$

Esto es coherente precisamente porque el producto tensorial es bilineal y la multiplicación es bilineal. El resto del levantamiento se realiza de manera que se preserve la multiplicación como un homomorfismo . Por definición , se escribe

${\displaystyle m(a\otimes b,c)=a\otimes m(b,c)+m(a,c)\otimes b}$

y también eso

${\displaystyle m(a,b\otimes c)=m(a,b)\otimes c+b\otimes m(a,c)}$

Esta extensión es consistente apelando a un lema sobre objetos libres : dado que el álgebra tensorial es un álgebra libre , cualquier homomorfismo en su conjunto generador puede extenderse a toda el álgebra. Todo lo demás procede como se describió anteriormente: una vez completado, se tiene un álgebra asociativa unital; se puede tomar un cociente de cualquiera de las dos formas descritas anteriormente.

Lo anterior es exactamente cómo se construye el álgebra envolvente universal para las superálgebras de Lie . Solo hay que tener muy en cuenta el signo al permutar elementos. En este caso, el (anti)conmutador de la superálgebra se eleva a un corchete de Poisson (anti)conmutador.

Otra posibilidad es utilizar algo distinto del álgebra tensorial como álgebra de recubrimiento. Una de esas posibilidades es utilizar el álgebra exterior ; es decir, reemplazar cada ocurrencia del producto tensorial por el producto exterior . Si el álgebra base es un álgebra de Lie, entonces el resultado es el álgebra de Gerstenhaber ; es el álgebra exterior del grupo de Lie correspondiente. Como antes, tiene una gradación que naturalmente proviene de la gradación en el álgebra exterior. (El álgebra de Gerstenhaber no debe confundirse con la superálgebra de Poisson ; ambas invocan anticonmutación, pero de diferentes maneras).

La construcción también se ha generalizado para las álgebras de Malcev , ^[3] las álgebras de Bol ^[4] y las álgebras alternativas izquierdas . ^{[ cita requerida ]}

Propiedad universal

El álgebra envolvente universal, o más bien el álgebra envolvente universal junto con la función canónica , posee una propiedad universal . ^[5] Supongamos que tenemos cualquier función del álgebra de Lie ${\displaystyle h\colon {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle \varphi :{\mathfrak {g}}\to A}$

a un álgebra asociativa unitaria A (con corchete de Lie en A dado por el conmutador). Más explícitamente, esto significa que suponemos

${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$

Para todos . Entonces existe un homomorfismo de álgebra unital único ${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}\colon U({\mathfrak {g}})\to A}$

de tal manera que

${\displaystyle \varphi ={\widehat {\varphi }}\circ h}$

donde es la función canónica. (La función se obtiene incrustando en su álgebra tensorial y luego componiendo con la función cociente el álgebra envolvente universal. Esta función es una incrustación, según el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt.) ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

En otras palabras, si es una función lineal en un álgebra unitaria que satisface , entonces se extiende a un homomorfismo de álgebra de . Dado que se genera por elementos de , la función debe estar determinada de manera única por el requisito de que ${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi ([X,Y])=\varphi (X)\varphi (Y)-\varphi (Y)\varphi (X)}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}:U({\mathfrak {g}})\to A}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$

${\displaystyle {\widehat {\varphi }}(X_{i_{1}}\cdots X_{i_{N}})=\varphi (X_{i_{1}})\cdots \varphi (X_{i_{N}}),\quad X_{i_{j}}\in {\mathfrak {g}}}$.

La cuestión es que debido a que no hay otras relaciones en el álgebra envolvente universal además de las que provienen de las relaciones de conmutación de , el mapa está bien definido, independientemente de cómo se escriba un elemento dado como una combinación lineal de productos de elementos del álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\varphi }}}$ ${\displaystyle x\in U({\mathfrak {g}})}$

La propiedad universal del álgebra envolvente implica inmediatamente que cada representación de que actúa sobre un espacio vectorial se extiende de forma única a una representación de . (Tomemos .) Esta observación es importante porque permite (como se analiza a continuación) que los elementos de Casimir actúen sobre . Estos operadores (desde el centro de ) actúan como escalares y proporcionan información importante sobre las representaciones. El elemento de Casimir cuadrático es de particular importancia en este sentido. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A=\mathrm {End} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Otras álgebras

Aunque la construcción canónica, dada arriba, puede aplicarse a otras álgebras, el resultado, en general, no tiene la propiedad universal. Así, por ejemplo, cuando la construcción se aplica a las álgebras de Jordan , el álgebra envolvente resultante contiene las álgebras de Jordan especiales , pero no las excepcionales: es decir, no envuelve a las álgebras de Albert . Del mismo modo, el teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt, que se muestra a continuación, construye una base para un álgebra envolvente; simplemente no será universal. Observaciones similares son válidas para las superálgebras de Lie .

Teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt

El teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt proporciona una descripción precisa de . Esto se puede hacer de dos maneras diferentes: ya sea por referencia a una base vectorial explícita en el álgebra de Lie o de manera libre de coordenadas . ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Utilizando elementos base

Una forma es suponer que al álgebra de Lie se le puede dar una base totalmente ordenada , es decir, es el espacio vectorial libre de un conjunto totalmente ordenado. Recordemos que un espacio vectorial libre se define como el espacio de todas las funciones finitamente soportadas desde un conjunto X hasta el cuerpo K (finitamente soportadas significa que solo un número finito de valores son distintos de cero); se le puede dar una base tal que sea la función indicadora para . Sea la inyección en el álgebra tensorial; esto se utiliza para dar también una base al álgebra tensorial. Esto se hace por levantamiento: dada alguna secuencia arbitraria de , se define la extensión de como ${\displaystyle e_{a}:X\to K}$ ${\displaystyle e_{a}(b)=\delta _{ab}}$ ${\displaystyle a,b\in X}$ ${\displaystyle h:{\mathfrak {g}}\to T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle h}$

${\displaystyle h(e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c})=h(e_{a})\otimes h(e_{b})\otimes \cdots \otimes h(e_{c})}$

El teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt establece que se puede obtener una base para a partir de lo anterior, al imponer el orden total de X al álgebra. Es decir, tiene una base ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

donde , siendo el ordenamiento el del orden total en el conjunto X . ^[6] La prueba del teorema implica notar que, si uno comienza con elementos de base fuera de orden, estos siempre pueden intercambiarse utilizando el conmutador (junto con las constantes de estructura ). La parte difícil de la prueba es establecer que el resultado final es único e independiente del orden en el que se realizaron los intercambios. ${\displaystyle a\leq b\leq \cdots \leq c}$

Esta base debería reconocerse fácilmente como la base de un álgebra simétrica . Es decir, los espacios vectoriales subyacentes de y del álgebra simétrica son isomorfos, y es el teorema PBW el que demuestra que esto es así. Véase, sin embargo, la sección sobre el álgebra de símbolos, más adelante, para una declaración más precisa de la naturaleza del isomorfismo. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Tal vez sea útil dividir el proceso en dos pasos. En el primer paso, se construye el álgebra de Lie libre : esto es lo que se obtiene si se modifica por todos los conmutadores, sin especificar cuáles son los valores de los conmutadores. El segundo paso es aplicar las relaciones de conmutación específicas de El primer paso es universal y no depende de lo específico También se puede definir con precisión: los elementos base están dados por las palabras de Hall , un caso especial de las cuales son las palabras de Lyndon ; estas se construyen explícitamente para comportarse apropiadamente como conmutadores. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$

Sin coordenadas

También se puede enunciar el teorema de una manera libre de coordenadas, evitando el uso de órdenes totales y elementos base. Esto es conveniente cuando existen dificultades para definir los vectores base, como puede ocurrir en el caso de las álgebras de Lie de dimensión infinita. También proporciona una forma más natural que se extiende más fácilmente a otros tipos de álgebras. Esto se logra construyendo una filtración cuyo límite es el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

En primer lugar, se necesita una notación para una secuencia ascendente de subespacios del álgebra tensorial. Sea

${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}=K\oplus {\mathfrak {g}}\oplus T^{2}{\mathfrak {g}}\oplus \cdots \oplus T^{m}{\mathfrak {g}}}$

dónde

${\displaystyle T^{m}{\mathfrak {g}}=T^{\otimes m}{\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}\otimes \cdots \otimes {\mathfrak {g}}}$

es el producto tensorial m -veces de La forma a filtración : ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle T_{m}{\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle K\subset {\mathfrak {g}}\subset T_{2}{\mathfrak {g}}\subset \cdots \subset T_{m}{\mathfrak {g}}\subset \cdots }$

Más precisamente, se trata de un álgebra filtrada , ya que la filtración conserva las propiedades algebraicas de los subespacios. Nótese que el límite de esta filtración es el álgebra tensorial ${\displaystyle T({\mathfrak {g}}).}$

Ya se ha establecido, más arriba, que el cociente por el ideal es una transformación natural que lleva de a Esto también funciona naturalmente en los subespacios, y así se obtiene una filtración cuyo límite es el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

A continuación, defina el espacio.

${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}=U_{m}{\mathfrak {g}}/U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

Este es el espacio módulo de todos los subespacios de grado de filtración estrictamente menor. Nótese que no es en absoluto lo mismo que el término principal de la filtración, como uno podría suponer ingenuamente. No se construye a través de un mecanismo de sustracción de conjuntos asociado con la filtración. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{n}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U^{m}{\mathfrak {g}}}$

El cociente entre tiene el efecto de poner todos los conmutadores de Lie definidos en a cero. Se puede ver esto al observar que el conmutador de un par de elementos cuyos productos se encuentran en en realidad da un elemento en . Esto quizás no sea inmediatamente obvio: para obtener este resultado, uno debe aplicar repetidamente las relaciones de conmutación y girar la manivela. La esencia del teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt es que siempre es posible hacer esto y que el resultado es único. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$

Como los conmutadores de elementos cuyos productos están definidos en se encuentran en , el cociente que define tiene el efecto de poner todos los conmutadores a cero. Lo que PBW establece es que el conmutador de elementos en es necesariamente cero. Lo que queda son los elementos que no se pueden expresar como conmutadores. ${\displaystyle U_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{m-1}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$

De esta manera, se llega inmediatamente al álgebra simétrica . Esta es el álgebra donde todos los conmutadores desaparecen. Puede definirse como una filtración de productos tensoriales simétricos . Su límite es el álgebra simétrica . Se construye apelando a la misma noción de naturalidad que antes. Se parte de la misma álgebra tensorial, pero se utiliza un ideal diferente, el ideal que hace que todos los elementos conmuten: ${\displaystyle S_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle S({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/(a\otimes b-b\otimes a)}$

Por lo tanto, se puede considerar que el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt establece que es isomorfo al álgebra simétrica , tanto como espacio vectorial como álgebra conmutativa. ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

También forman un álgebra filtrada; su límite es Este es el álgebra graduada asociada de la filtración. ${\displaystyle G_{m}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G({\mathfrak {g}}).}$

La construcción anterior, debido a su uso de cociente, implica que el límite de es isomorfo a En configuraciones más generales, con condiciones relajadas, se encuentra que es una proyección, y luego se obtienen teoremas de tipo PBW para el álgebra graduada asociada de un álgebra filtrada . Para enfatizar esto, a veces se usa la notación para que sirva para recordar que es el álgebra filtrada. ${\displaystyle G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})\to G({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle G({\mathfrak {g}}),}$

Otras álgebras

El teorema, aplicado a las álgebras de Jordan , produce el álgebra exterior , en lugar del álgebra simétrica. En esencia, la construcción pone a cero los anticonmutadores. El álgebra resultante es un álgebra envolvente, pero no es universal. Como se mencionó anteriormente, no logra envolver las álgebras de Jordan excepcionales.

Operadores diferenciales invariantes por la izquierda

Supongamos que es un grupo de Lie real con álgebra de Lie . Siguiendo el enfoque moderno, podemos identificarnos con el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda (es decir, operadores diferenciales invariantes por la izquierda de primer orden). Específicamente, si inicialmente pensamos en como el espacio tangente a en la identidad, entonces cada vector en tiene una extensión invariante por la izquierda única. Luego identificamos el vector en el espacio tangente con el campo vectorial invariante por la izquierda asociado. Ahora, el conmutador (como operadores diferenciales) de dos campos vectoriales invariantes por la izquierda es nuevamente un campo vectorial y nuevamente invariante por la izquierda. Luego podemos definir la operación de corchete en como el conmutador en los campos vectoriales invariantes por la izquierda asociados. ^[7] Esta definición concuerda con cualquier otra definición estándar de la estructura de corchete en el álgebra de Lie de un grupo de Lie. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Podemos entonces considerar operadores diferenciales invariantes por la izquierda de orden arbitrario. Cada uno de estos operadores puede expresarse (de manera no única) como una combinación lineal de productos de campos vectoriales invariantes por la izquierda. La colección de todos los operadores diferenciales invariantes por la izquierda en forma un álgebra, denotada . Se puede demostrar que es isomorfa al álgebra envolvente universal . ^[8] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

En el caso que se plantea como el álgebra de Lie de un grupo de Lie real, se pueden utilizar operadores diferenciales invariantes por la izquierda para dar una prueba analítica del teorema de Poincaré–Birkhoff–Witt . Específicamente, el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda se genera por elementos (los campos vectoriales invariantes por la izquierda) que satisfacen las relaciones de conmutación de . Por lo tanto, por la propiedad universal del álgebra envolvente, es un cociente de . Por lo tanto, si los elementos de la base PBW son linealmente independientes en —lo cual se puede establecer analíticamente— ciertamente deben ser linealmente independientes en . (Y, en este punto, el isomorfismo de con es evidente). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle D(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Álgebra de símbolos

Al espacio vectorial subyacente de se le puede dar una nueva estructura algebraica de modo que y sean isomorfos como álgebras asociativas . Esto conduce al concepto de álgebra de símbolos : el espacio de polinomios simétricos , dotado de un producto, el , que coloca la estructura algebraica del álgebra de Lie sobre lo que de otro modo sería un álgebra asociativa estándar. Es decir, lo que el teorema PBW oscurece (las relaciones de conmutación) el álgebra de símbolos lo vuelve a poner de relieve. ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \star }$

El álgebra se obtiene tomando elementos de y reemplazando cada generador por una variable conmutativa indeterminada para obtener el espacio de polinomios simétricos sobre el cuerpo . De hecho, la correspondencia es trivial: uno simplemente sustituye el símbolo por . El polinomio resultante se llama el símbolo del elemento correspondiente de . La función inversa es ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle K[t_{i}]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle S({\mathfrak {g}})}$

${\displaystyle w:\star ({\mathfrak {g}})\to U({\mathfrak {g}})}$

que reemplaza cada símbolo por . La estructura algebraica se obtiene al exigir que el producto actúe como un isomorfismo, es decir, de modo que ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle w(p\star q)=w(p)\otimes w(q)}$

para polinomios ${\displaystyle p,q\in \star ({\mathfrak {g}}).}$

El problema principal con esta construcción es que no es trivial ni inherentemente un miembro de , como está escrito, y que primero se debe realizar una tediosa reorganización de los elementos de la base (aplicando las constantes de estructura según sea necesario) para obtener un elemento de en la base correctamente ordenada. Se puede dar una expresión explícita para este producto: esta es la fórmula de Berezin . ^[9] Se deduce esencialmente de la fórmula de Baker–Campbell–Hausdorff para el producto de dos elementos de un grupo de Lie. ${\displaystyle w(p)\otimes w(q)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Una expresión en forma cerrada está dada por ^[10]

${\displaystyle p(t)\star q(t)=\left.\exp \left(t_{i}m^{i}\left({\frac {\partial }{\partial u}},{\frac {\partial }{\partial v}}\right)\right)p(u)q(v)\right\vert _{u=v=t}}$

dónde

${\displaystyle m(A,B)=\log \left(e^{A}e^{B}\right)-A-B}$

y esta justo en la base elegida. ${\displaystyle m^{i}}$ ${\displaystyle m}$

El álgebra envolvente universal del álgebra de Heisenberg es el álgebra de Weyl (módulo la relación de que el centro es la unidad); aquí, el producto se llama producto de Moyal . ${\displaystyle \star }$

Teoría de la representación

El álgebra envolvente universal preserva la teoría de la representación: las representaciones de corresponden de manera biunívoca a los módulos sobre . En términos más abstractos, la categoría abeliana de todas las representaciones de es isomorfa a la categoría abeliana de todos los módulos izquierdos sobre . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

La teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples se basa en la observación de que existe un isomorfismo, conocido como producto de Kronecker :

${\displaystyle U({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})\cong U({\mathfrak {g}}_{1})\otimes U({\mathfrak {g}}_{2})}$

para las álgebras de Lie . El isomorfismo se deduce de un levantamiento de la incrustación. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1},{\mathfrak {g}}_{2}}$

${\displaystyle i({\mathfrak {g}}_{1}\oplus {\mathfrak {g}}_{2})=i_{1}({\mathfrak {g}}_{1})\otimes 1\oplus 1\otimes i_{2}({\mathfrak {g}}_{2})}$

dónde

${\displaystyle i:{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$

es simplemente la incrustación canónica (con subíndices, respectivamente para las álgebras uno y dos). Es sencillo verificar que esta incrustación se levanta, dada la prescripción anterior. Véase, sin embargo, la discusión de la estructura de biálgebra en el artículo sobre álgebras tensoriales para una revisión de algunos de los puntos más finos de cómo hacerlo: en particular, el producto de barajado empleado allí corresponde a los coeficientes de Wigner-Racah, es decir, los símbolos 6j y 9j , etc.

También es importante que el álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie libre sea isomorfa al álgebra asociativa libre .

La construcción de representaciones normalmente se realiza mediante la construcción de los módulos Verma de los pesos más altos .

En un contexto típico donde actúa mediante transformaciones infinitesimales , los elementos de actúan como operadores diferenciales , de todos los órdenes. (Véase, por ejemplo, la realización del álgebra envolvente universal como operadores diferenciales invariantes por la izquierda en el grupo asociado, como se ha comentado anteriormente). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Operadores de Casimir

El centro de se puede identificar con el centralizador de en Cualquier elemento de debe conmutar con todos los de y en particular con la incrustación canónica de en Debido a esto, el centro es directamente útil para clasificar representaciones de . Para un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita , los operadores de Casimir forman una base distinguida del centro . Estos se pueden construir de la siguiente manera. ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}),}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

El centro corresponde a combinaciones lineales de todos los elementos que conmutan con todos los elementos , es decir, para los cuales Es decir, están en el núcleo de Por lo tanto, se necesita una técnica para calcular ese núcleo. Lo que tenemos es la acción de la representación adjunta en la que la necesitamos en La ruta más fácil es notar que es una derivación y que el espacio de derivaciones se puede elevar a y por lo tanto a Esto implica que ambas son álgebras diferenciales . ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle z=v\otimes w\otimes \cdots \otimes u\in U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}};}$ ${\displaystyle [z,x]={\mbox{ad}}_{x}(z)=0.}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}};}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Por definición, es una derivación si obedece la ley de Leibniz : ${\displaystyle \delta :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \delta ([v,w])=[\delta (v),w]+[v,\delta (w)]}$

(Cuando es el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda en un grupo , el corchete de Lie es el de los campos vectoriales). El levantamiento se realiza definiendo ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta (v\otimes w\otimes \cdots \otimes u)=&\,\delta (v)\otimes w\otimes \cdots \otimes u\\&+v\otimes \delta (w)\otimes \cdots \otimes u\\&+\cdots +v\otimes w\otimes \cdots \otimes \delta (u).\end{aligned}}}$

Dado que es una derivación para cualquiera de las definiciones anteriores que actúan sobre y ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mbox{ad}}_{x}}$ ${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}}).}$

Del teorema PBW se desprende claramente que todos los elementos centrales son combinaciones lineales de polinomios homogéneos simétricos en los elementos base del álgebra de Lie. Los invariantes de Casimir son los polinomios homogéneos irreducibles de un grado fijo dado. Es decir, dada una base , un operador de Casimir de orden tiene la forma ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle e_{a}}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle C_{(m)}=\kappa ^{ab\cdots c}e_{a}\otimes e_{b}\otimes \cdots \otimes e_{c}}$

donde hay términos en el producto tensorial, y es un tensor completamente simétrico de orden perteneciente a la representación adjunta. Es decir, puede (debería) considerarse como un elemento de Recordemos que la representación adjunta está dada directamente por las constantes de estructura , y por lo tanto se puede dar una forma indexada explícita de las ecuaciones anteriores, en términos de la base del álgebra de Lie; esto es originalmente un teorema de Israel Gel'fand . Es decir, de , se sigue que ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \kappa ^{ab\cdots c}}$ ${\displaystyle \left(\operatorname {ad} _{\mathfrak {g}}\right)^{\otimes m}.}$ ${\displaystyle [x,C_{(m)}]=0}$

${\displaystyle f_{ij}^{\;\;k}\kappa ^{jl\cdots m}+f_{ij}^{\;\;l}\kappa ^{kj\cdots m}+\cdots +f_{ij}^{\;\;m}\kappa ^{kl\cdots j}=0}$

donde las constantes de estructura son

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=f_{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

Como ejemplo, el operador cuadrático de Casimir es

${\displaystyle C_{(2)}=\kappa ^{ij}e_{i}\otimes e_{j}}$

donde es la matriz inversa de la forma Killing Que el operador de Casimir pertenece al centro se deduce del hecho de que la forma Killing es invariante bajo la acción adjunta. ${\displaystyle \kappa ^{ij}}$ ${\displaystyle \kappa _{ij}.}$ ${\displaystyle C_{(2)}}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}}))}$

El centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie simple está dado en detalle por el isomorfismo de Harish-Chandra .

Rango

El número de operadores de Casimir algebraicamente independientes de un álgebra de Lie semisimple de dimensión finita es igual al rango de esa álgebra, es decir, es igual al rango de la base de Cartan-Weyl . Esto puede verse de la siguiente manera. Para un espacio vectorial de dimensión d V , recuerde que el determinante es el tensor completamente antisimétrico en . Dada una matriz M , se puede escribir el polinomio característico de M como ${\displaystyle V^{\otimes d}}$

${\displaystyle \det(tI-M)=\sum _{n=0}^{d}p_{n}t^{n}}$

Para un álgebra de Lie d -dimensional, es decir, un álgebra cuya representación adjunta es d -dimensional, el operador lineal

${\displaystyle \operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to \operatorname {End} ({\mathfrak {g}})}$

implica que es un endomorfismo d -dimensional, por lo que se tiene la ecuación característica ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}}$

${\displaystyle \det(tI-\operatorname {ad} _{x})=\sum _{n=0}^{d}p_{n}(x)t^{n}}$

para elementos Las raíces no nulas de este polinomio característico (que son raíces para todo x ) forman el sistema de raíces del álgebra. En general, solo hay r raíces de este tipo; este es el rango del álgebra. Esto implica que el valor más alto de n para el cual no se anula es r . ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle p_{n}(x)}$

Son polinomios homogéneos  de  grado d − n . Esto se puede ver de varias maneras: Dada una constante , ad es lineal, de modo que Al introducir y eliminar los valores anteriores, se obtiene que ${\displaystyle p_{n}(x)}$ ${\displaystyle k\in K}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{kx}=k\,\operatorname {ad} _{x}.}$

${\displaystyle p_{n}(kx)=k^{d-n}p_{n}(x).}$

Por linealidad, si uno se expande en la base,

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{d}x_{i}e_{i}}$

entonces el polinomio tiene la forma

${\displaystyle p_{n}(x)=x_{a}x_{b}\cdots x_{c}\kappa ^{ab\cdots c}}$

es decir, a es un tensor de rango . Por linealidad y conmutatividad de la adición, es decir que , se concluye que este tensor debe ser completamente simétrico. Este tensor es exactamente el invariante de Casimir de orden m . ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle m=d-n}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x+y}=\operatorname {ad} _{y+x},}$

El centro correspondía a aquellos elementos para los cuales para todo x ; por lo anterior, estos corresponden claramente a las raíces de la ecuación característica. Se concluye que las raíces forman un espacio de rango r y que los invariantes de Casimir abarcan este espacio. Es decir, los invariantes de Casimir generan el centro ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle z\in Z({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(z)=0}$ ${\displaystyle Z(U({\mathfrak {g}})).}$

Ejemplo: Grupo de rotación SO(3)

El grupo de rotación SO(3) es de rango uno y, por lo tanto, tiene un operador de Casimir. Es tridimensional y, por lo tanto, el operador de Casimir debe tener orden (3 − 1) = 2, es decir, ser cuadrático. Por supuesto, esta es el álgebra de Lie de Como ejercicio elemental, se puede calcular directamente. Cambiando la notación a con perteneciente al representante adjunto, un elemento del álgebra general es y el cálculo directo da ${\displaystyle A_{1}.}$ ${\displaystyle e_{i}=L_{i},}$ ${\displaystyle L_{i}}$ ${\displaystyle xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}}$

${\displaystyle \det \left(xL_{1}+yL_{2}+zL_{3}-tI\right)=-t^{3}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})t}$

El término cuadrático se puede leer como , y por lo tanto el operador de momento angular al cuadrado para el grupo de rotación es el operador de Casimir. Es decir, ${\displaystyle \kappa ^{ij}=\delta ^{ij}}$

${\displaystyle C_{(2)}=L^{2}=e_{1}\otimes e_{1}+e_{2}\otimes e_{2}+e_{3}\otimes e_{3}}$

y el cálculo explícito muestra que

${\displaystyle [L^{2},e_{k}]=0}$

después de hacer uso de las constantes de estructura

${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=\varepsilon _{ij}^{\;\;k}e_{k}}$

Ejemplo: Operadores pseudo-diferenciales

Una observación clave durante la construcción de lo anterior fue que se trataba de un álgebra diferencial, en virtud del hecho de que cualquier derivación del álgebra de Lie puede ser elevada a . De este modo, se llega a un anillo de operadores pseudodiferenciales , a partir del cual se pueden construir invariantes de Casimir. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Si el álgebra de Lie actúa sobre un espacio de operadores lineales, como en la teoría de Fredholm , entonces se pueden construir invariantes de Casimir sobre el espacio de operadores correspondiente. El operador de Casimir cuadrático corresponde a un operador elíptico . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Si el álgebra de Lie actúa sobre una variedad diferenciable, entonces cada operador de Casimir corresponde a una diferencial de orden superior en la variedad cotangente, siendo la diferencial de segundo orden la más común y la más importante.

Si la acción del álgebra es isométrica , como sería el caso de las variedades riemannianas o pseudo-riemannianas dotadas de una métrica y los grupos de simetría SO(N) y SO (P, Q) , respectivamente, se pueden contraer los índices superior e inferior (con el tensor métrico) para obtener estructuras más interesantes. Para el invariante de Casimir cuadrático, este es el laplaciano . Los operadores cuárticos de Casimir permiten elevar al cuadrado el tensor de tensión-energía , dando lugar a la acción de Yang-Mills . El teorema de Coleman-Mandula restringe la forma que pueden adoptar, cuando se consideran las álgebras de Lie ordinarias. Sin embargo, las superálgebras de Lie pueden evadir las premisas del teorema de Coleman-Mandula y pueden utilizarse para mezclar simetrías espaciales e internas.

Ejemplos en casos particulares

Si , entonces tiene una base de matrices ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {sl}}_{2}}$

${\displaystyle H={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}},{\text{ }}E={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\text{ }}F={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$

que satisfacen las siguientes identidades bajo el corchete estándar:

${\displaystyle [H,E]=-2E}$, , y ${\displaystyle [H,F]=2F}$ ${\displaystyle [E,F]=-H}$

Esto nos muestra que el álgebra envolvente universal tiene la presentación

${\displaystyle U({\mathfrak {sl}}_{2})={\frac {\mathbb {C} \langle x,y,z\rangle }{(xy-yx+2y,xz-zx-2z,yz-zy+x)}}}$

como un anillo no conmutativo.

Si es abeliano (es decir, el corchete siempre es 0 ), entonces es conmutativo; y si se ha elegido una base del espacio vectorial , entonces se puede identificar con el álgebra polinomial sobre K , con una variable por elemento de base. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

Si es el álgebra de Lie correspondiente al grupo de Lie G , entonces puede identificarse con el álgebra de operadores diferenciales invariantes por la izquierda (de todos los órdenes) en G ; con los que se encuentran dentro de ella como los campos vectoriales invariantes por la izquierda como operadores diferenciales de primer orden. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para relacionar los dos casos anteriores: si es un espacio vectorial V como álgebra de Lie abeliana, los operadores diferenciales invariantes por la izquierda son los operadores de coeficientes constantes, que son de hecho un álgebra polinomial en las derivadas parciales de primer orden. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El centro está formado por los operadores diferenciales invariantes de izquierda y derecha; esto, en el caso de G no conmutativo, a menudo no es generado por operadores de primer orden (véase por ejemplo el operador de Casimir de un álgebra de Lie semisimple). ${\displaystyle Z({\mathfrak {g}})}$

Otra caracterización de la teoría de grupos de Lie es la de un álgebra de convolución de distribuciones soportada únicamente en el elemento identidad e de G. ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

El álgebra de operadores diferenciales en n variables con coeficientes polinómicos se puede obtener a partir del álgebra de Lie del grupo de Heisenberg . Véase el álgebra de Weyl para esto; se debe tomar un cociente, de modo que los elementos centrales del álgebra de Lie actúen como escalares prescritos.

El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie de dimensión finita es un álgebra cuadrática filtrada .

Álgebras de Hopf y grupos cuánticos

La construcción del álgebra de grupos para un grupo dado es en muchos sentidos análoga a la construcción del álgebra envolvente universal para un álgebra de Lie dada. Ambas construcciones son universales y traducen la teoría de la representación en teoría de módulos. Además, tanto las álgebras de grupos como las álgebras envolventes universales conllevan comultiplicaciones naturales que las convierten en álgebras de Hopf . Esto se precisa en el artículo sobre el álgebra tensorial : el álgebra tensorial tiene una estructura de álgebra de Hopf y, debido a que el corchete de Lie es consistente con (obedece las condiciones de consistencia para) esa estructura de Hopf, es heredado por el álgebra envolvente universal.

Dado un grupo de Lie G , se puede construir el espacio vectorial C( G ) de funciones complejas continuas en G , y convertirlo en un C*-álgebra . Esta álgebra tiene una estructura de álgebra de Hopf natural: dadas dos funciones , se define la multiplicación como ${\displaystyle \varphi ,\psi \in C(G)}$

${\displaystyle (\nabla (\varphi ,\psi ))(x)=\varphi (x)\psi (x)}$

y comultiplicación como

${\displaystyle (\Delta (\varphi ))(x\otimes y)=\varphi (xy),}$

el condado como

${\displaystyle \varepsilon (\varphi )=\varphi (e)}$

y la antípoda como

${\displaystyle (S(\varphi ))(x)=\varphi (x^{-1}).}$

Ahora bien, el teorema de Gelfand-Naimark establece esencialmente que toda álgebra de Hopf conmutativa es isomorfa al álgebra de Hopf de funciones continuas en algún grupo topológico compacto G —la teoría de los grupos topológicos compactos y la teoría de las álgebras de Hopf conmutativas son la misma—. Para los grupos de Lie, esto implica que C( G ) es isomorfamente dual a ; más precisamente, es isomorfa a un subespacio del espacio dual ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle U^{*}({\mathfrak {g}}).}$

Estas ideas pueden extenderse luego al caso no conmutativo. Se comienza definiendo las álgebras de Hopf cuasi-triangulares y luego se realiza lo que se llama una deformación cuántica para obtener el álgebra envolvente universal cuántica , o grupo cuántico , para abreviar.

Véase también

• Teorema de Milnor-Moore
• Homomorfismo de Harish-Chandra

Referencias

1. Sala 2015 Sección 9.5
2. Hall 2015 Sección 9.3
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5. Hall 2015 Teorema 9.7
6. Hall 2015 Teorema 9.10
7. Por ejemplo, Helgason 2001 Capítulo II, Sección 1
8. Helgason 2001 Capítulo II, Proposición 1.9
9. Berezin, FA (1967). "Algunas observaciones sobre la envolvente asociada de un álgebra de Lie". Funct. Anal. Appl . 1 (2): 91. doi :10.1007/bf01076082. S2CID  122356554.
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• Shlomo Sternberg (2004), Álgebras de Lie , Universidad de Harvard.
• Álgebra envolvente universal en el laboratorio n