En matemáticas , la teoría de la dualidad de Tannaka-Krein se ocupa de la interacción de un grupo topológico compacto y su categoría de representaciones lineales . Es una extensión natural de la dualidad de Pontryagin , entre grupos topológicos conmutativos compactos y discretos , a grupos que son compactos pero no conmutativos . La teoría recibe su nombre de Tadao Tannaka y Mark Grigorievich Krein . A diferencia del caso de los grupos conmutativos considerados por Lev Pontryagin , la noción dual de un grupo compacto no conmutativo no es un grupo, sino una categoría de representaciones Π( G ) con alguna estructura adicional, formada por las representaciones de dimensión finita de G .
Los teoremas de dualidad de Tannaka y Kerin describen el paso inverso de la categoría Π( G ) de vuelta al grupo G , lo que permite recuperar el grupo de su categoría de representaciones. Además, en efecto caracterizan por completo todas las categorías que pueden surgir de un grupo de esta manera. Alexander Grothendieck demostró más tarde que mediante un proceso similar, la dualidad de Tannaka se puede extender al caso de los grupos algebraicos a través del formalismo tannakiano . Mientras tanto, la teoría original de Tannaka y Kerin continuó siendo desarrollada y refinada por físicos matemáticos . Una generalización de la teoría de Tannaka-Krein proporciona el marco natural para estudiar las representaciones de los grupos cuánticos , y actualmente se está extendiendo a los supergrupos cuánticos , los grupoides cuánticos y sus algebroides de Hopf duales .
En la teoría de dualidad de Pontryagin para grupos conmutativos localmente compactos , el objeto dual de un grupo G es su grupo de caracteres que consiste en sus representaciones unitarias unidimensionales . Si permitimos que el grupo G sea no conmutativo, el análogo más directo del grupo de caracteres es el conjunto de clases de equivalencia de representaciones unitarias irreducibles de G. El análogo del producto de caracteres es el producto tensorial de representaciones . Sin embargo, las representaciones irreducibles de G en general no forman un grupo, o incluso un monoide, porque un producto tensorial de representaciones irreducibles no es necesariamente irreducible. Resulta que uno necesita considerar el conjunto de todas las representaciones de dimensión finita y tratarlo como una categoría monoidal , donde el producto es el producto tensorial habitual de representaciones, y el objeto dual está dado por la operación de la representación contragrediente .
Una representación de la categoría es una transformación natural monoidal del funtor identidad a sí mismo. En otras palabras, es una función no nula que se asocia con cualquier endomorfismo del espacio de T y satisface las condiciones de compatibilidad con productos tensoriales, , y con operadores de entrelazamiento arbitrarios , a saber, . La colección de todas las representaciones de la categoría puede estar dotada de multiplicación y topología , en las que la convergencia se define puntualmente , es decir, una secuencia converge a algún si y solo si converge a para todo . Se puede demostrar que el conjunto se convierte así en un grupo compacto (topológico).
El teorema de Tannaka proporciona una manera de reconstruir el grupo compacto G a partir de su categoría de representaciones Π( G ).
Sea G un grupo compacto y sea F: Π( G ) → Vect C el funtor olvidadizo de representaciones complejas de dimensión finita de G a espacios vectoriales complejos de dimensión finita . Se le pone una topología a las transformaciones naturales τ: F → F estableciéndola como la topología más burda posible tal que cada una de las proyecciones End( F ) → End( V ) dadas por (tomando una transformación natural a su componente en ) es una función continua . Decimos que una transformación natural preserva el tensor si es la función identidad en la representación trivial de G , y si preserva los productos tensoriales en el sentido de que . También decimos que τ es autoconjugado si donde la barra denota conjugación compleja. Entonces, el conjunto de todas las transformaciones naturales autoconjugadas que preservan el tensor de F es un subconjunto cerrado de End( F ), que es de hecho un grupo (compacto) siempre que G sea un grupo (compacto). Cada elemento x de G da lugar a una transformación natural autoconjugada que preserva el tensor mediante la multiplicación por x en cada representación, y, por lo tanto, se tiene una función . El teorema de Tannaka dice entonces que esta función es un isomorfismo.
El teorema de Kerin responde a la siguiente pregunta: ¿qué categorías pueden surgir como objeto dual de un grupo compacto?
Sea Π una categoría de espacios vectoriales de dimensión finita, dotada de operaciones de producto tensorial e involución. Las siguientes condiciones son necesarias y suficientes para que Π sea un objeto dual de un grupo compacto G .
Si se cumplen todas estas condiciones entonces la categoría Π = Π( G ), donde G es el grupo de las representaciones de Π.
El interés en la teoría de la dualidad de Tannaka-Krein se reavivó en la década de 1980 con el descubrimiento de los grupos cuánticos en el trabajo de Drinfeld y Jimbo . Uno de los principales enfoques para el estudio de un grupo cuántico procede a través de sus representaciones de dimensión finita, que forman una categoría similar a las categorías monoidales simétricas Π( G ), pero de tipo más general, la categoría monoidal trenzada . Resultó que una buena teoría de la dualidad del tipo de Tannaka-Krein también existe en este caso y juega un papel importante en la teoría de grupos cuánticos al proporcionar un entorno natural en el que se pueden estudiar tanto los grupos cuánticos como sus representaciones. Poco después se encontraron diferentes ejemplos de categorías monoidales trenzadas en la teoría de campos conforme racional . La filosofía de Tannaka-Krein sugiere que las categorías monoidales trenzadas que surgen de la teoría de campos conforme también se pueden obtener a partir de grupos cuánticos, y en una serie de artículos, Kazhdan y Lusztig demostraron que de hecho era así. Por otra parte, las categorías monoidales trenzadas surgidas de ciertos grupos cuánticos fueron aplicadas por Reshetikhin y Turaev a la construcción de nuevos invariantes de nudos.
El teorema de Doplicher-Roberts (debido a Sergio Doplicher y John E. Roberts) caracteriza a Rep( G ) en términos de la teoría de categorías , como un tipo de subcategoría de la categoría de espacios de Hilbert . [1] Tales subcategorías de representaciones unitarias de grupos compactos en espacios de Hilbert son:
