Algebroide de Hopf

En matemáticas, en la teoría de las álgebras de Hopf , un álgebroide de Hopf es una generalización de las álgebras de Hopf débiles, ciertas álgebras de Hopf sesgadas y k -algebroides de Hopf conmutativos. Si k es un cuerpo, un k -algebroide conmutativo es un objeto cogroupoide en la categoría de k -álgebras; la categoría de tales es, por lo tanto, dual a la categoría de k -esquemas grupoides . Esta versión conmutativa se ha utilizado en la década de 1970 en geometría algebraica y teoría de homotopía estable . La generalización de los álgebras de Hopf y su parte principal de la estructura, los bialgebroides asociativos , al álgebra base no conmutativa fue introducida por J.-H. Lu en 1996 como resultado del trabajo sobre grupoides en geometría de Poisson (posteriormente demostrado equivalente de manera no trivial a una construcción de Takeuchi de la década de 1970 y otra de Xu alrededor del año 2000). Pueden considerarse libremente como álgebras de Hopf sobre un anillo base no conmutativo, donde las álgebras de Hopf débiles se convierten en álgebras de Hopf sobre un álgebra separable . Es un teorema que un álgebra de Hopf que satisface una condición de proyectividad finita sobre un álgebra separable es un álgebra de Hopf débil, y a la inversa, un álgebra de Hopf débil H es un álgebra de Hopf sobre su subálgebra separable H ^L . Los axiomas antípodas han sido cambiados por G. Böhm y K. Szlachányi (J. Algebra) en 2004 por razones categóricas tensoriales y para acomodar ejemplos asociados a extensiones de álgebra de Frobenius de profundidad dos .

Definición

La principal motivación detrás de la definición de un algebroide de Hopf ^{[1] pg301-302} es su representación algebraica conmutativa de una pila algebraica que se puede presentar como esquemas afines . De manera más general, los algebroides de Hopf codifican los datos de prehaces de grupoides en la categoría de esquemas afines. ^[2] Es decir, si tenemos un objeto grupoide de esquemas afines ${\displaystyle {\text{Aff}}}$

${\displaystyle s,t:X_{1}\rightrightarrows X_{0}}$

Con un mapa de identidad que da una incrustación de objetos en las flechas, podemos tomar como nuestra definición de un álgebroide de Hopf los objetos duales en anillos conmutativos que codifican esta estructura. Nótese que este proceso es esencialmente una aplicación del lema de Yoneda a la definición de los esquemas de grupoides en la categoría de esquemas afines. Dado que es posible que queramos fijar un anillo base, consideraremos en cambio la categoría de álgebras conmutativas . ${\displaystyle \iota :X_{0}\to X_{1}}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}}$ ${\displaystyle {\text{Aff}}}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$ ${\displaystyle k}$

Definición de teoría de esquemas

Objetos algebraicos en la definición

Un álgebroide de Hopf sobre un anillo conmutativo es un par de -álgebras en tales que su funtor de puntos ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (A,\Gamma )}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)}$

codifica un grupoide en . Si fijamos como algún objeto en , entonces es el conjunto de objetos en el grupoide y es el conjunto de flechas. Esto se traduce en tener mapas ${\displaystyle {\text{Aff}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(A,B)}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,B)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta _{L}&:A\to \Gamma &{\text{ left unit/ source map}}\\\eta _{R}&:A\to \Gamma &{\text{ right unit/ target map}}\\\Delta &:\Gamma \to \Gamma \otimes _{A}\Gamma &{\text{ coproduct/ composition map}}\\\varepsilon &:\Gamma \to A&{\text{ counit/ identity map }}\\c&:\Gamma \to \Gamma &{\text{ conjugation/ inverse map}}\end{aligned}}}$

donde el texto en el lado izquierdo de la barra es la palabra tradicional utilizada para el mapa de álgebras que da la estructura algebroide de Hopf y el texto en el lado derecho de la barra es la estructura correspondiente en el grupoide

${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightrightarrows {\text{Hom}}_{k}(A,-)}$

Estos mapas corresponden a, es decir, sus mapas duales de la incrustación de Yoneda dan la estructura de un grupoide. Por ejemplo,

${\displaystyle \eta _{L}^{*}:{\text{Hom}}_{k}(\Gamma ,-)\rightarrow {\text{Hom}}_{k}(A,-)}$

corresponde al mapa fuente . ${\displaystyle s}$

Axiomas que estos mapas deben satisfacer

Además de estos mapas, satisfacen una serie de axiomas duales a los axiomas de un grupoide. Nótese que fijaremos como algún objeto al dar ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\text{CRing}}_{k}}$

1. ${\displaystyle \varepsilon \eta _{L}=\varepsilon \eta _{R}={\text{Id}}_{A}}$, lo que significa que el mapa de recuento dual actúa como una identidad de dos caras para los objetos en ${\displaystyle \varepsilon ^{*}}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{k}(A,B)}$
2. ${\displaystyle ({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \varepsilon )\Delta =(\varepsilon \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta ={\text{Id}}_{\Gamma }}$, lo que significa que al componer una flecha con la identidad, esa flecha queda sin cambios.
3. ${\displaystyle ({\text{Id}}_{\Gamma }\otimes \Delta )\Delta =(\Delta \otimes {\text{Id}}_{\Gamma })\Delta }$corresponde a la asociatividad de composición de morfismos
4. ${\displaystyle c\eta _{R}=\eta _{L}}$y , se traduce como invertir un morfismo intercambiando el origen y el destino ${\displaystyle c\eta _{L}=\eta _{R}}$
5. ${\displaystyle cc={\text{Id}}_{\Gamma }}$, lo que significa que el inverso del inverso es el mapa original
6. Estos mapas de existencias que codifican la composición de un morfismo con su inverso en cada lado dan como resultado el morfismo identidad. Esto se puede codificar mediante el diagrama conmutativo que se muestra a continuación, donde las flechas discontinuas representan la existencia de estas dos flechas. ${\displaystyle \Gamma \otimes _{A}\Gamma \rightrightarrows \Gamma }$

¿Dónde está el mapa y . ${\displaystyle c\cdot \Gamma }$ ${\displaystyle c\cdot \Gamma (\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=c(\gamma _{1})\gamma _{2}}$ ${\displaystyle \Gamma \cdot c(\gamma _{1}\otimes \gamma _{2})=\gamma _{1}c(\gamma _{2})}$

Estructuras adicionales

Además de la definición estándar de un álgebroide de Hopf, también existen álgebroides de Hopf conmutativos graduados , que son pares de álgebras conmutativas graduadas con mapas de estructura conmutativa graduados dados anteriormente. ${\displaystyle (A,\Gamma )}$

Además, se dice que un álgebroide de Hopf graduado está conexo si los submódulos derecho e izquierdo son ambos isomorfos a ${\displaystyle (A,\Gamma )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Gamma _{0}\hookrightarrow \Gamma }$ ${\displaystyle A}$

Otra definición

Un álgebroide de Hopf por la izquierda ( H , R ) es un bialgebroide por la izquierda junto con un antípoda: el bialgebroide ( H , R ) consiste en un álgebra total H y un álgebra base R y dos aplicaciones, un homomorfismo de álgebra s : R → H llamado aplicación fuente, un antihomomorfismo de álgebra t : R → H llamado aplicación objetivo, tal que la condición de conmutatividad s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) = t ( r ₂ ) s ( r ₁ ) se satisface para todo r ₁ , r ₂ ∈ R . Los axiomas se parecen a los de un álgebra de Hopf pero se complican por la posibilidad de que R sea un álgebra no conmutativa o sus imágenes bajo s y t no estén en el centro de H . En particular, un bialgebroide izquierdo ( H , R ) tiene una estructura R - R -bimódulo en H que prefiere el lado izquierdo como sigue: r ₁ ⋅ h ⋅ r ₂ = s ( r ₁ ) t ( r ₂ ) h para todo h en H , r ₁ , r ₂ ∈ R . Hay un coproducto Δ: H → H ⊗ _R H y counit ε: H → R que hacen que ( H , R , Δ, ε) sea un R -núcleo (con axiomas como el de una coalgebra tales que todas las aplicaciones son homomorfismos R - R -bimódulo y todos los tensores sobre R ). Además, el bialgebroide ( H , R ) debe satisfacer Δ( ab ) = Δ( a )Δ( b ) para todos los a , b en H , y una condición para asegurar que esta última condición tenga sentido: cada punto de la imagen Δ( a) satisface a ₍₁₎ t ( r ) ⊗ a ₍₂₎ = a ₍₁₎ ⊗ a ₍₂₎ s ( r ) para todo r en R . También Δ(1) = 1 ⊗ 1. Se requiere que el counit satisfaga ε(1 _H ) = 1 _R y la condición ε( ab ) = ε( como ( ε( b ))) = ε( en (ε( b ))).

El antípoda S : H → H se suele tomar como un antiautomorfismo algebraico que satisface las condiciones de intercambiar las funciones fuente y destino y satisface dos axiomas como los axiomas antípoda del álgebra de Hopf; véanse las referencias en Lu o en Böhm-Szlachányi para un conjunto de axiomas más amigables con la categoría de ejemplo, aunque algo más complicado, para el antípoda S . El último conjunto de axiomas depende también de los axiomas de un bialgebroide derecho, que son un cambio directo de izquierda a derecha, s con t , de los axiomas para un bialgebroide izquierdo dados anteriormente.

Ejemplos

De la topología algebraica

Uno de los principales ejemplos motivadores de un algebroide de Hopf es el par para un espectro . ^[3] Por ejemplo, los algebroides de Hopf , , para los espectros que representan el cobordismo complejo y la homología de Brown-Peterson , y los truncamientos de ellos son ampliamente estudiados en topología algebraica . Esto se debe a su uso en la secuencia espectral de Adams-Novikov para calcular los grupos de homotopía estable de esferas . ${\displaystyle (\pi _{*}(E),E_{*}(E))}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (\pi _{*}({\text{MU}}),{\text{MU}}_{*}({\text{MU}}))}$ ${\displaystyle (\pi _{*}({\text{BP}}),{\text{BP}}_{*}({\text{BP}}))}$

Pila de leyes formales de grupos que representan el núcleo del álgebro de Hopf

Existe un algebroide de Hopf que representa la pila de leyes de grupo formales que se construye utilizando topología algebraica. ^[4] Si denotamos el espectro ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{FG}}$ ${\displaystyle {\text{MP}}}$

${\displaystyle {\text{MP}}=\bigvee _{m\in \mathbb {Z} }\Sigma ^{2m}{\text{MU}}}$

Hay un algebroide de Hopf

${\displaystyle {\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})}$

que representa la pila . Esto significa que hay un isomorfismo de funtores. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{FG}}$

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{FG}(-)\cong [{\text{MP}}_{0}\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})](-)}$

donde el funtor de la derecha envía un anillo conmutativo al grupoide ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\text{MP}}_{0}(B)\rightrightarrows {\text{MP}}_{0}({\text{MP}})(B)}$

Otros ejemplos

Como ejemplo de bialgebroide izquierdo, tomemos R como cualquier álgebra sobre un cuerpo k . Sea H su álgebra de autoaplicaciones lineales. Sea s(r) la multiplicación por la izquierda por r sobre R ; sea t ( r ) la multiplicación por la derecha por r sobre R . H es un bialgebroide izquierdo sobre R , que puede verse de la siguiente manera. Del hecho de que H ⊗ _R H ≅ Hom _k ( R ⊗ R , R ) se puede definir un coproducto por Δ( f )( r ⊗ u ) = f ( ru ) para cada transformación lineal f de R a sí mismo y todos los r , u en R . La coasociatividad del coproducto se sigue de la asociatividad del producto sobre R. Una counidad está dada por ε( f ) = f (1). Los axiomas de counidad de un núcleo se siguen de la condición del elemento identidad sobre la multiplicación en R . Al lector le resultará divertido, o al menos edificante, comprobar que ( H , R ) es un bialgebroide izquierdo. En el caso de que R sea un álgebra de Azumaya , en cuyo caso H es isomorfo a R ⊗ R , un antípoda proviene de la transposición de tensores, lo que hace que H sea un algebroide de Hopf sobre R . Otra clase de ejemplos proviene de dejar que R sea el cuerpo fundamental; en este caso, el algebroide de Hopf ( H ​​, R ) es un álgebra de Hopf.

Véase también

• Comodula sobre un algebroide de Hopf

Referencias

1. Ravenel, Douglas C. (1986). Cobordismo complejo y grupos de homotopía estable de esferas. Orlando: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1.OCLC 316566772  .
2. Hovey, Mark (16 de mayo de 2001). "Teoría de Morita para álgebroides de Hopf y prehaces de grupoides". arXiv : math/0105137 .
3. Hopkins. "Teorías de cohomología orientadas a complejos y el lenguaje de pilas" (PDF) .
4. Douglas, Christopher L.; Francis, John; Henriques, André G.; Hill, Michael A. "4. Teorema del functor exacto de Landweber". Formas modulares topológicas (PDF) . Providence, Rhode Island. ISBN 978-1-4704-1884-7.OCLC 884782304  .

Lectura adicional

• Böhm, Gabriella (2005). "Una noción alternativa de algebroide de Hopf". En Caenepeel, Stefaan (ed.). Álgebras de Hopf en geometría y física no conmutativas. Actas de la conferencia sobre álgebras de Hopf y grupos cuánticos, Bruselas, Bélgica, 28 de mayo–1 de junio de 2002. Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics. Vol. 239. Nueva York, NY: Marcel Dekker. págs. 31–53. ISBN 978-0-8247-5759-5.Zbl 1080.16034  .
• Böhm, Gabriella; Szlachányi, Kornél (2004). "Simetría algebroide de Hopf de extensiones abstractas de Frobenius de profundidad 2". Comunitario. Álgebra . 32 (11): 4433–4464. arXiv : matemáticas/0305136 . doi :10.1081/AGB-200034171. S2CID  119162795. Zbl  1080.16036.
• Jiang-Hua Lu, "Álgebroides de Hopf y grupoides cuánticos", Int. J. Math. 7, n. 1 (1996) págs. 47–70, https://arxiv.org/abs/q-alg/9505024, http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=95e:16037, https://dx.doi.org/10.1142/S0129167X96000050