bialgebroide asociativo

En matemáticas , si es un álgebra asociativa sobre algún campo básico k , entonces un -bialgebroide asociativo izquierdo es otro k -álgebra asociativa junto con los siguientes mapas adicionales: ^[1] un mapa de álgebra llamado mapa de origen, un mapa de álgebra llamado mapa de destino mapea, de modo que los elementos de las imágenes de y conmutan en , induciendo así una estructura bimódulo mediante la regla para ; un morfismo de bimódulo que se requiere que sea una comultiplicación coasociativa regional en la categoría monoidal de bimódulos con producto monoidal . ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \alpha :L\to H}$ ${\displaystyle \beta :L^{\mathrm {op} }\to H}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle a.h.b=\alpha (a)\beta (b)h}$ ${\displaystyle a,b\in L,h\in H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \otimes _{L}}$

Se requiere que la unidad correspondiente sea un carácter izquierdo (de manera equivalente, el mapa debe ser una acción izquierda que extienda la multiplicación a lo largo ). ${\displaystyle \varepsilon :H\to L}$ ${\displaystyle H\otimes L\ni h\otimes \ell \mapsto \varepsilon (h\alpha (\ell ))\in L}$ ${\displaystyle L\otimes L\to L}$ ${\displaystyle \alpha \otimes \mathrm {id} _{L}}$

Además, se requiere compatibilidad entre la comultiplicación y las multiplicaciones una y otra vez . Para un no conmutativo , el tensor cuadrado no es un álgebra, por lo que no tiene sentido pedir una compatibilidad tipo bialgebra que sea un morfismo de k -álgebras. En cambio, se requiere que tenga un k -subespacio que contenga la imagen de y tenga una multiplicación bien definida inducida a partir de su preimagen bajo la proyección del álgebra cuadrada tensorial habitual . Entonces se requiere que la correstricción sea un homomorfismo de álgebras unitales. Si es un homomorfismo para uno de ellos , se puede hacer una elección canónica para , a saber, el llamado producto de Takeuchi , ^[2] que siempre hereda una multiplicación asociativa a través de la proyección de . Por tanto, basta con comprobar si la imagen de está contenida en el producto de Takeuchi en lugar de buscar otra . Como lo demostraron Brzeziński y Militaru, la noción de bialgebroide es equivalente a la noción de -álgebra introducida por Takeuchi anteriormente, en 1977. ^[3] ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle \Delta :H\to H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle \Delta |^{T}:H\to T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle H\times _{L}H\subset H\otimes _{L}H}$ ${\displaystyle H\otimes H}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \times _{L}}$

El bialgebroide asociativo es una generalización de una noción de k - bialgebra donde un anillo de tierra conmutativo k se reemplaza por una k -álgebra posiblemente no conmutativa . Los algebroides de Hopf son bialgebroides asociativos con un mapa de antípodas adicional que es un antiautomorfismo que satisface axiomas adicionales. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle H}$

El término bialgebroide para esta noción fue propuesto por primera vez por JH. Lu. ^[4] El modificador asociativo a menudo se elimina del nombre y se conserva principalmente solo cuando queremos distinguirlo de la noción de bialgebroide de Lie , a menudo también denominado simplemente bialgebroide. Los bialgebroides asociativos vienen en dos versiones quirales, izquierda y derecha. Una noción dual es la noción de bicoalgebroide. ^[5]

Hay una generalización, un bialgebroide interno que abstrae la estructura de un bialgebroide asociativo a la configuración donde la categoría de espacios vectoriales se reemplaza por una categoría monoidal simétrica abstracta que admite coecualizadores que conmutan con el producto tensorial.

Referencias

1. Böhm, Gabriella (2008), Algebroides de Hopf , arXiv : 0805.3806
2. Brzeziński, Tomasz; Militaru, Gigel (2000), Bialgebroides, -bialgebras y dualidad , arXiv : math.QA/0012164 ${\displaystyle \times _{A}}$
3. M. Takeuchi, Grupos de álgebras terminados , J. Math. Soc. Japón. 29, 459–492, 1977 ${\displaystyle A\times {\bar {A}}}$
4. Lu, Jiang-HUA (1996), "Algebroides de Hopf y grupoides cuánticos", Revista Internacional de Matemáticas , 07 : 47–70, arXiv : q-alg/9505024 , doi : 10.1142/S0129167X96000050, S2CID  9861060
5. Imre Bálint, Extensión escalar de bicoalgebroides, Appl. Categoría. Estructura. 16, 29-55 (2008)

enlaces externos

• nLab, bialgebroide asociativo, https://ncatlab.org/nlab/show/bialgebroid
• Stjepan Meljanac, Zoran Škoda, Martina Stojić, los espacios de fase no conmutativos del tipo álgebra de Lie son algebroides de Hopf, Lett. Matemáticas. Física. 107:3, 475–503 (2017) http://dx.doi.org/10.1007/s11005-016-0908-9 http://arxiv.org/abs/1409.8188