Correstricción

En matemáticas, una correstricción ^[1] de una función es una noción análoga a la noción de restricción de una función. El prefijo de dualidad co- aquí denota que mientras la restricción cambia el dominio a un subconjunto , la correstricción cambia el codominio a un subconjunto. Sin embargo, las nociones no son categóricamente duales .

Dado cualquier subconjunto podemos considerar la correspondiente inclusión de conjuntos como una función. Entonces, para cualquier función , la restricción de una función a se puede definir como la composición . ${\displaystyle S\subset A,}$ ${\displaystyle i_{S}:S\hookrightarrow A}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle f|_{S}:S\to B}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f|_{S}=f\circ i_{S}}$

De manera análoga, para una inclusión la correstricción de sobre es la única función tal que hay una descomposición . La correstricción existe si y sólo si contiene la imagen de . En particular, la correstricción sobre la imagen siempre existe y a veces se la llama simplemente correstricción de . De manera más general, se puede considerar la correstricción de un morfismo en categorías generales con imágenes. ^[2] El término es bien conocido en la teoría de categorías , aunque rara vez se utiliza en forma impresa. ^[3] ${\displaystyle i_{T}:T\hookrightarrow B}$ ${\displaystyle f|^{T}:A\to T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f|^{T}}$ ${\displaystyle f=i_{T}\circ f|^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

Andreotti ^[4] introduce la noción anterior bajo el nombre de costaricción , mientras que el nombre de correstricción se reserva a la noción categóricamente dual a la noción de restricción. Es decir, si se trata de una sobreyección de conjuntos (es decir, una aplicación de cociente ), entonces Andreotti considera la composición , que seguramente siempre existe. ${\displaystyle p^{U}:B\to U}$ ${\displaystyle p^{U}\circ f:A\to U}$

Referencias

1. Dauns, Juan; Hofmann, Karl Heinrich (1968). Representación de anillos por tramos. Memorias de la Sociedad Matemática Estadounidense. vol. 83. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. IX. SEÑOR  0247487.
2. nlab, imagen, https://ncatlab.org/nlab/show/image
3. (Definición 3.1 y Comentarios 3.2) en Gabriella Böhm, Algebroides de Hopf, en Handbook of Algebra (2008) arXiv:0805.3806
4. párrafo 2-14 en la página 14 de Andreotti, A., Généralités sur les categorías abéliennes (suite) Séminaire A. Grothendieck, Tomo 1 (1957) Exposé no. 2, http://www.numdam.org/item/SG_1957__1__A2_0