mentira bialgebroide

Estructura matemática en geometría diferencial no riemanniana

Un bialgebroide de Lie es una estructura matemática en el área de la geometría diferencial no riemanniana. En resumen, un bialgebroide de Lie consta de dos algebroides de Lie compatibles definidos en haces de vectores duales. Forman la versión de paquete de vectores de una bialgebra de Lie .

Definición

Nociones preliminares

Recuerde que un algebroide de Lie se define como una operación sesgada-simétrica [.,.] en las secciones Γ( A ) de un paquete de vectores A→M sobre una variedad suave M junto con un morfismo de paquete de vectores ρ: A→TM sujeto a la regla de Leibniz

${\displaystyle [\phi ,f\cdot \psi ]=\rho (\phi )[f]\cdot \psi +f\cdot [\phi ,\psi ],}$

y la identidad jacobi

${\displaystyle [\phi ,[\psi _{1},\psi _{2}]]=[[\phi ,\psi _{1}],\psi _{2}]+[\psi _{1},[\phi ,\psi _{2}]]}$

donde Φ , ψ _k son secciones de A y f es una función suave en M .

El corchete de Lie [.,.] _A se puede extender a campos multivectoriales Γ(⋀ A ) clasificados simétricos mediante la regla de Leibniz

${\displaystyle [\Phi \wedge \Psi ,\mathrm {X} ]_{A}=\Phi \wedge [\Psi ,\mathrm {X} ]_{A}+(-1)^{|\Psi |(|\mathrm {X} |-1)}[\Phi ,\mathrm {X} ]_{A}\wedge \Psi }$

para campos multivectoriales homogéneos Φ , Ψ , Χ .

El diferencial del algebroide de Lie es un operador lineal R d _A en las formas A Ω _A ( M ) = Γ(⋀ A ^* ) de grado 1 sujeto a la regla de Leibniz

${\displaystyle d_{A}(\alpha \wedge \beta )=(d_{A}\alpha )\wedge \beta +(-1)^{|\alpha |}\alpha \wedge d_{A}\beta }$

para A -forma α y β . Se caracteriza únicamente por las condiciones

${\displaystyle (d_{A}f)(\phi )=\rho (\phi )[f]}$

y

${\displaystyle (d_{A}\alpha )[\phi ,\psi ]=\rho (\phi )[\alpha (\psi )]-\rho (\psi )[\alpha (\phi )]-\alpha [\phi ,\psi ]}$

para funciones f en M , A -1-forma α∈Γ( A ^* ) y Φ , ψ secciones de A .

La definición

Un bialgebroide de Lie son dos algebroides de Lie ( A ,ρ _A ,[.,.] _A ) y ( A ^* ,ρ _* ,[.,.] _* ) en paquetes de vectores duales A→M y A ^* → M sujetos a la compatibilidad

${\displaystyle d_{*}[\phi ,\psi ]_{A}=[d_{*}\phi ,\psi ]_{A}+[\phi ,d_{*}\psi ]_{A}}$

para todas las secciones Φ , ψ de A. Aquí d _* denota el diferencial algebroide de Lie de A ^* que también opera en los campos multivectoriales Γ(∧ A ).

Simetría de la definición.

Se puede demostrar que la definición es simétrica en A y A ^* , es decir ( A , A ^* ) es una Lie bialgebroide si ( A ^* , A ) es.

Ejemplos

1. Una biálgebra de Lie son dos álgebras de Lie ( g ,[.,.] _g ) y ( g ^* ,[.,.] _* ) en espacios vectoriales duales g y g ^* tales que el diferencial de Chevalley-Eilenberg δ _* es un derivación del corchete g .

2. Una variedad de Poisson ( M ,π) da lugar naturalmente a un bialgebroide de Lie en TM (con el soporte del conmutador de campos vectoriales tangentes) y T ^* M con el soporte de Lie inducido por la estructura de Poisson. El diferencial T ^* M es d _* = [π, .] y la compatibilidad se deriva entonces de la identidad de Jacobi del grupo Schouten.

Versión infinitesimal de un grupoide de Poisson

Es bien sabido que la versión infinitesimal de un grupoide de Lie es un algebroide de Lie. (Como caso especial, la versión infinitesimal de un grupo de Lie es un álgebra de Lie). Por lo tanto, uno puede preguntarse qué estructuras deben diferenciarse para obtener un bialgebroide de Lie.

Definición de grupoide de Poisson

Un grupoide de Poisson es un grupoide de Lie ( G ⇉ M ) junto con una estructura de Poisson π en G tal que el gráfico de multiplicación m ⊂ G × G ×( G ,− π ) es coisotrópico. Un ejemplo de grupoide de Poisson Lie es un grupo de Poisson Lie (donde M = pt, solo un punto). Otro ejemplo es un grupoide simpléctico (donde la estructura de Poisson no es degenerada en TG ).

Diferenciación de la estructura.

Recuerde la construcción de un algebroide de Lie a partir de un grupoide de Lie. Tomamos las fibras t-tangentes (o equivalentemente las fibras s-tangentes) y consideramos su haz de vectores devuelto a la variedad base M. Una sección de este paquete de vectores se puede identificar con un campo de vector t invariante en G que forma un álgebra de Lie con respecto al soporte del conmutador en TG .

Por tanto, tomamos el algebroide de Lie A→M del grupoide de Poisson. Se puede demostrar que la estructura de Poisson induce una estructura de Poisson de fibra lineal en A. De manera análoga a la construcción del algebroide de Lie cotangente de una variedad de Poisson, existe una estructura algebroide de Lie en A ^* inducida por esta estructura de Poisson. De manera análoga al caso de la variedad de Poisson, se puede demostrar que A y A ^* forman un bialgebroide de Lie.

Doble de un bialgebroide de Lie y superlenguaje de bialgebroide de Lie

Para las biálgebras de Lie ( g , g ^* ) existe la noción de triples de Manin, es decir, c= g + g ^* puede estar dotado de la estructura de un álgebra de Lie tal que g y g ^* son subálgebras y c contiene la representación de g en g ^* , viceversa. La estructura de la suma es simplemente

${\displaystyle [X+\alpha ,Y+\beta ]=[X,Y]_{g}+\mathrm {ad} _{\alpha }Y-\mathrm {ad} _{\beta }X+[\alpha ,\beta ]_{*}+\mathrm {ad} _{X}^{*}\beta -\mathrm {ad} _{Y}^{*}\alpha }$.

algebroides de Courant

Resulta que la generalización ingenua a los algebroides de Lie ya no da un algebroide de Lie. En cambio, uno tiene que modificar la identidad de Jacobi o violar la simetría sesgada y, por lo tanto, conducir a los algebroides de Courant . ^[1]

superlenguaje

El superlenguaje apropiado de un algebroide de Lie A es ΠA , la supervariedad cuyo espacio de (super)funciones son las formas A. En este espacio, el algebroide de Lie se puede codificar mediante su diferencial de algebroide de Lie, que es simplemente un campo vectorial impar.

Como primera suposición, la superrealización de un bialgebroide de Lie ( A , A ^* ) debería ser ΠA + ΠA ^* . Pero lamentablemente d _A +d _* | ΠA + ΠA ^* no es un diferencial, básicamente porque A + A ^* no es un algebroide de Lie. En lugar de utilizar la variedad de N graduada más grande T ^* [2]A[1] = T ^* [2]A ^* [1] a la que podemos elevar d _A y d _* como campos vectoriales hamiltonianos impares, luego su suma se eleva a 0 iff ( A , A ^* ) es un bialgebroide de Lie.

Referencias

1. Z.-J. Liu, A. Weinstein y P. Xu: Manin triplica para Lie bialgebroids, Journ. de diferencia. geom. vol. 45, págs. 547–574 (1997)

• C. Albert y P. Dazord: Théorie des groupoïdes symplectiques: Capítulo II, Groupoïdes symplectiques. (en Publications du Département de Mathématiques de l'Université Claude Bernard, Lyon I, nouvelle série, págs. 27–99, 1990)
• Y. Kosmann-Schwarzbach: El bialgebroide de Lie de una variedad de Poisson-Nijenhuis. (Lett. Math. Phys., 38:421–428, 1996)
• K. Mackenzie, P. Xu: Integración de Lie bialgebroides (1997),
• K. Mackenzie, P. Xu: Bialgebroides de Lie y grupoides de Poisson (Duke J. Math, 1994)
• A. Weinstein: Grupoides simplécticos y variedades de Poisson (AMS Bull, 1987),