El concepto de supergrupo es una generalización del de grupo . En otras palabras, cada supergrupo tiene una estructura de grupo natural, pero puede haber más de una forma de estructurar un grupo determinado como supergrupo. Un supergrupo es como un grupo de Lie en el sentido de que hay una noción bien definida de función suave definida en ellos. Sin embargo, las funciones pueden tener partes pares e impares. Además, un supergrupo tiene un súper álgebra de Lie que desempeña un papel similar al de un álgebra de Lie para grupos de Lie en el sentido de que determinan la mayor parte de la teoría de la representación y que es el punto de partida para la clasificación.
Más formalmente, un supergrupo de Lie es una supervariedad G junto con un morfismo de multiplicación , un morfismo de inversión y un morfismo unitario que convierte a G en un objeto de grupo en la categoría de supervariedades. Esto significa que, formulados como diagramas conmutativos, los axiomas habituales de asociatividad e inversión de un grupo siguen siendo válidos. Dado que toda variedad es una supervariedad, un supergrupo de Lie generaliza la noción de grupo de Lie .
Hay muchos supergrupos posibles. Los de mayor interés en física teórica son los que extienden el grupo de Poincaré o el grupo conforme . De particular interés son los grupos ortosimplécticos Osp ( M | N ) [1] y los grupos superunitarios SU ( M | N ).
Un enfoque algebraico equivalente parte de la observación de que una supervariedad está determinada por su anillo de funciones suaves supercommutativas , y que un morfismo de supervariedades corresponde uno a uno con un homomorfismo de álgebra entre sus funciones en la dirección opuesta, es decir, que la categoría de supervariedades es opuesto a la categoría de álgebras de funciones conmutativas graduadas suaves. Al invertir todas las flechas en los diagramas conmutativos que definen un supergrupo de Lie se muestra que las funciones sobre el supergrupo tienen la estructura de un álgebra de Hopf de grado Z 2 . Asimismo, las representaciones de esta álgebra de Hopf resultan ser cómódulos graduados en Z 2 . Esta álgebra de Hopf da las propiedades globales del supergrupo.
Hay otra álgebra de Hopf relacionada que es el dual del álgebra de Hopf anterior. Se puede identificar con el álgebra de Hopf de operadores diferenciales graduados en el origen. Sólo da las propiedades locales de las simetrías, es decir, sólo da información sobre transformaciones de supersimetría infinitesimales. Las representaciones de esta álgebra de Hopf son módulos . Como en el caso no calificado, esta álgebra de Hopf puede describirse de forma puramente algebraica como el álgebra envolvente universal de la superálgebra de Lie .
De manera similar, se puede definir un supergrupo algebraico afín como un objeto de grupo en la categoría de variedades afines superalgebraicas . Un supergrupo algebraico afín tiene una relación similar de uno a uno con su álgebra de superpolinomios de Hopf. Utilizando el lenguaje de esquemas , que combina el punto de vista geométrico y algebraico, se pueden definir esquemas algebraicos de supergrupos incluyendo variedades súper abelianas .
El grupo Super-Poincaré es el grupo de isometrías del superespacio (específicamente, el superespacio de Minkowski con supercargas, donde a menudo se toma como 1). Se trata con mayor frecuencia a nivel de álgebra y se genera mediante el álgebra de Super-Poincaré.
El grupo superconformal es el grupo de simetrías conformes del superespacio, generado por el álgebra superconforme.
