mentira superálgebra

Estructura algebraica utilizada en física teórica.

En matemáticas , una superálgebra de Lie es una generalización de un álgebra de Lie para incluir una calificación . Las superálgebras de mentira son importantes en la física teórica , donde se utilizan para describir las matemáticas de la supersimetría . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

La noción de calificación utilizada aquí es distinta de una segunda calificación que tiene orígenes cohomológicos. Un álgebra de Lie graduada (digamos, calificada por o ) que es anticonmutativa y tiene una identidad de Jacobi graduada también tiene una calificación; esto es "resumir" el álgebra en partes pares e impares. Este enrollado normalmente no se denomina "súper". Así, las superálgebras de Lie supergradadas llevan un par de gradaciones: una de las cuales es supersimétrica y la otra es clásica. Pierre Deligne llama a la supersimétrica supergradación y a la clásica gradación cohomológica . Estas dos gradaciones deben ser compatibles y a menudo hay desacuerdo sobre cómo deben considerarse. ^[1] ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$

Definición

Formalmente, una superálgebra de Lie es un álgebra no asociativa de grado Z 2 _, o superálgebra , sobre un anillo conmutativo (típicamente R o C ) cuyo producto [·, ·], llamado supercorchete de Lie o superconmutador , satisface las dos condiciones (análogos de la axiomas habituales del álgebra de Lie , con clasificación):

Súper simetría sesgada:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

La identidad súper Jacobi: ^[2]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

donde x , y y z son puros en la _{clasificación} Z2 . Aquí, | x | denota el grado de x (ya sea 0 o 1). El grado de [x,y] es la suma de los grados de xey módulo 2.

A veces también se añaden los axiomas para | x | = 0 (si 2 es invertible, esto se sigue automáticamente) y para | x | = 1 (si 3 es invertible, esto se sigue automáticamente). Cuando el anillo de tierra son los números enteros o la superálgebra de Lie es un módulo libre, estas condiciones son equivalentes a la condición que se cumple el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (y, en general, son condiciones necesarias para que se cumpla el teorema). ${\displaystyle [x,x]=0}$ ${\displaystyle [[x,x],x]=0}$

Al igual que con las álgebras de Lie, al álgebra envolvente universal de la superálgebra de Lie se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf .

Comentarios

Las superálgebras de mentira aparecen en física de varias maneras diferentes. En la supersimetría convencional , los elementos pares de la superálgebra corresponden a bosones y los elementos impares a fermiones . Esto corresponde a un tramo que tiene una calificación de cero:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|}$

Este no es siempre el caso; por ejemplo, en la supersimetría BRST y en el formalismo de Batalin-Vilkovisky , es al revés, lo que corresponde al grupo de tener una calificación de -1:

${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$

Esta distinción se vuelve particularmente relevante cuando un álgebra tiene no uno, sino dos productos asociativos graduados . Además del corchete de Lie, también puede haber un producto "ordinario", dando lugar así a la superálgebra de Poisson y al álgebra de Gerstenhaber . Estas graduaciones también se observan en la teoría de la deformación .

Propiedades

Sea una superálgebra de Lie. Al inspeccionar la identidad de Jacobi, se ve que hay ocho casos dependiendo de si los argumentos son pares o impares. Estos se dividen en cuatro clases, indexadas por el número de elementos impares: ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$

1. Sin elementos extraños. La afirmación es simplemente que se trata de un álgebra de Lie ordinaria. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$
2. Un elemento extraño. Entonces hay un módulo para la acción . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$
3. Dos elementos extraños. La identidad de Jacobi dice que el corchete es un mapa simétrico . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$
4. Tres elementos extraños. Para todos , . ${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$

Por lo tanto, la subálgebra par de una superálgebra de Lie forma un álgebra de Lie (normal) cuando todos los signos desaparecen y el supercorchete se convierte en un corchete de Lie normal, mientras que es una representación lineal de y existe un mapa lineal simétrico - equivariante tal que, ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Las condiciones (1) a (3) son lineales y todas pueden entenderse en términos de álgebras de Lie ordinarias. La condición (4) es no lineal y es la más difícil de verificar cuando se construye una superálgebra de Lie a partir de un álgebra de Lie ordinaria ( ) y una representación ( ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$

Involución

Una superálgebra de Lie ^∗ es una superálgebra de Lie compleja equipada con un mapa antilineal involutivo de sí mismo a sí mismo que respeta la clasificación Z ₂ y satisface [ x , y ] ^*  = [ y ^* , x ^* ] para todos los x e y en la superálgebra de Lie . (Algunos autores prefieren la convención [ x , y ] ^*  = (−1) ^{| x || y |} [ y ^* , x ^* ]; cambiar * a −* cambia entre las dos convenciones.) Su álgebra envolvente universal sería una * -álgebra ordinaria .

Ejemplos

Dada cualquier superálgebra asociativa, se puede definir el superconmutador en elementos homogéneos por ${\displaystyle A}$

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

y luego extendiéndose por linealidad a todos los elementos. El álgebra junto con el superconmutador se convierte entonces en una superálgebra de Lie. El ejemplo más simple de este procedimiento es quizás cuando el espacio de todas las funciones lineales de un superespacio vectorial es consigo mismo. Cuando , este espacio se denota por o . ^[4] Con el corchete de Mentira según lo anterior, se denota el espacio . ^[5] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle M^{p|q}}$ ${\displaystyle M(p|q)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$

Un álgebra de Poisson es un álgebra asociativa junto con un corchete de Lie. Si al álgebra se le da una calificación Z ₂ , de modo que el corchete de Lie se convierta en un supercorchete de Lie, entonces se obtiene la superálgebra de Poisson . Si, además, el producto asociativo se hace supercommutativo , se obtiene una superálgebra de Poisson superconmutativa.

El producto de Whitehead sobre grupos de homotopía ofrece muchos ejemplos de superálgebras de Lie sobre números enteros.

El álgebra de super-Poincaré genera las isometrías del superespacio plano .

Clasificación

Las superálgebras de Lie simples, complejas y de dimensión finita fueron clasificadas por Victor Kac .

Son (excluyendo las álgebras de Lie): ^[6]

La superálgebra de mentira lineal especial . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$

La superálgebra de mentira es la subálgebra que consta de matrices con supertraza cero. Es sencillo cuando . Si , entonces la matriz identidad genera un ideal. Comentar este ideal conduce a cuál es sencillo para . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$ ${\displaystyle m\not =n}$ ${\displaystyle m=n}$ ${\displaystyle I_{2m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$ ${\displaystyle m\geq 2}$

La superálgebra ortosimpléctica de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$

Considere una forma bilineal supersimétrica, par, no degenerada en . Entonces la superálgebra ortosimpléctica de Lie es la subálgebra formada por matrices que dejan invariante esta forma: su parte par viene dada por . ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$ $${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$

La excepcional superálgebra de Lie . ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$

Existe una familia de superálgebras de Lie de dimensiones (9∣8) que dependen de un parámetro . Estas son deformaciones de . Si y , entonces D(2,1,α) es simple. Además, si y están bajo la misma órbita según los mapas y . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$ ${\displaystyle \alpha \not =0}$ ${\displaystyle \alpha \not =-1}$ ${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$ ${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$

La excepcional superálgebra de Lie . ${\displaystyle F(4)}$

Tiene dimensión (24|16). Su parte par está dada por . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$

La excepcional superálgebra de Lie . ${\displaystyle G(3)}$

Tiene dimensión (17|14). Su parte par está dada por . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$

También hay dos series llamadas extrañas llamadas y . ${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$

Los tipos de Cartan . Se pueden dividir en cuatro familias: , , y . Para el tipo Cartan de superálgebras de Lie simples, la parte impar ya no es completamente reducible bajo la acción de la parte par. ${\displaystyle W(n)}$ ${\displaystyle S(n)}$ ${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$ ${\displaystyle H(n)}$

Clasificación de superálgebras de Lie linealmente compactas simples de dimensión infinita

La clasificación consta de las 10 series W ( m , n ), S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n) , K (2 m + 1, n ) , HO(m, m) ( m ≥ 2), SHO ( m , m ) ( m ≥ 3), KO ( m , m + 1), SKO(m, m + 1; β) ( m ≥ 2), SHO  ~ (2 m , 2 m ), SKO  ~ (2 m + 1, 2 m + 3) y las cinco álgebras excepcionales:

mi(1, 6) , mi(5, 10) , mi(4, 4) , mi(3, 6) , mi(3, 8)

Los dos últimos son particularmente interesantes (según Kac) porque tienen el grupo de calibre del modelo estándar SU (3)× S U(2)× U (1) como su álgebra de nivel cero. Las superálgebras de Lie de dimensión infinita (afines) son simetrías importantes en la teoría de supercuerdas . En concreto, las álgebras de Virasoro con supersimetrías son las que sólo tienen extensiones centrales hasta . ^[7] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$

Definición teórica de categorías

En teoría de categorías , una superálgebra de Lie se puede definir como una superálgebra no asociativa cuyo producto satisface

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

donde σ es el trenzado de permutación cíclica . En forma esquemática: ${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$

Ver también

• Álgebra de Gerstenhaber
• Álgebra de mentira anyónica
• Álgebra de Grassmann
• Representación de una superálgebra de Lie
• superespacio
• Supergrupo
• Álgebra envolvente universal

Notas

1. Véase la discusión de Deligne sobre esta dificultad.
2. Freund 1983, pag. 8
3. Varadarajan 2004, pág. 89
4. Varadarajan 2004, pág. 87
5. Varadarajan 2004, pág. 90
6. Cheng S.-J. ;Wang W. (2012). Dualidades y representaciones de las superálgebras de Lie. Providencia, Rhode Island. pag. 12.ISBN​ 978-0-8218-9118-6. OCLC  809925982.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. Kac 2010

Referencias

• Cheng, S.-J.; Wang, W. (2012). Dualidades y Representaciones de las Superálgebras de Lie . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 144. págs. 302 págs. ISBN 978-0-8218-9118-6.
• Freund, PGO (1983). Introducción a la supersimetría . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Prensa de la Universidad de Cambridge . doi :10.1017/CBO9780511564017. ISBN 978-0521-356-756.
• Grozmán, P.; Leites, D.; Shchepochkina, I. (2005). "Mentira Superálgebras de las teorías de cuerdas". Acta Mathematica Vietnamica . 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th/9702120 . Código Bib : 1997hep.th....2120G.
• Kac, VG (1977). "Mentira superálgebras". Avances en Matemáticas . 26 (1): 8–96. doi : 10.1016/0001-8708(77)90017-2 .
• Kac, VG (2010). "Clasificación de grupos simples de supersimetrías de dimensión infinita y teoría cuántica de campos". Visiones en Matemáticas . págs. 162-183. arXiv : matemáticas/9912235 . doi :10.1007/978-3-0346-0422-2_6. ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID  15597378.
• Manin, YI (1997). Teoría del campo de calibre y geometría compleja ((2ª ed.) ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Musson, IM (2012). Lie Superálgebras y Álgebras envolventes. Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 131. págs. 488 págs. ISBN 978-0-8218-6867-6.
• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción. Notas de conferencias de Courant sobre matemáticas. vol. 11. Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3574-6.

Histórico

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• Gerstenhaber, M. (1963). "La estructura de cohomología de un anillo asociativo". Anales de Matemáticas . 78 (2): 267–288. doi :10.2307/1970343. JSTOR  1970343.
• Gerstenhaber, M. (1964). "Sobre la deformación de anillos y álgebras". Anales de Matemáticas . 79 (1): 59-103. doi :10.2307/1970484. JSTOR  1970484.
• Milnor, JW ; Moore, JC (1965). "Sobre la estructura de las álgebras de Hopf". Anales de Matemáticas . 81 (2): 211–264. doi :10.2307/1970615. JSTOR  1970615.

enlaces externos

• Irving Kaplansky + Lie Superálgebras