En matemáticas, el producto de Whitehead es una estructura de álgebra cuasi-Lie graduada sobre los grupos de homotopía de un espacio. Fue definido por JHC Whitehead en (Whitehead 1941).
El código MSC relevante es: 55Q15, Productos y generalizaciones de Whitehead.
Definición
Elementos dados , el corchete de Whitehead
![{\displaystyle [f,g]\in \pi _ {k+l-1}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
se define de la siguiente manera:
El producto se puede obtener adjuntando una celda a la suma de la cuña.![{\displaystyle S^{k}\times S^{l}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (k+l)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
;
el mapa adjunto es un mapa
![{\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Representar y por mapas.![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\dos puntos S^{k}\to X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
y
![{\displaystyle g\dos puntos S^{l}\a X,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
luego compone su cuña con el mapa adjunto, como
![{\displaystyle S^{k+l-1}{\stackrel {\phi }{\ \longrightarrow \ }}S^{k}\vee S^{l}{\stackrel {f\vee g}{\ \ flecha larga derecha \ }}X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La clase de homotopía del mapa resultante no depende de las elecciones de los representantes y, por lo tanto, se obtiene un elemento bien definido de
![{\displaystyle \pi _{k+l-1}(X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Calificación
Tenga en cuenta que hay un cambio de 1 en la calificación (en comparación con la indexación de grupos de homotopía ), al igual que el grado ; de manera equivalente (configurando L como el álgebra cuasi-Lie graduada). Así actúa sobre cada componente graduado.![{\displaystyle \pi _{k}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle (k-1)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{k}=\pi _ {k+1}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle L_{0}=\pi _{1}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Propiedades
El producto Whitehead satisface las siguientes propiedades:
- Bilinealidad.
![{\displaystyle [f,g+h]=[f,g]+[f,h],[f+g,h]=[f,h]+[g,h]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Simetría graduada.
![{\displaystyle [f,g]=(-1)^{pq}[g,f],f\in \pi _ {p}X,g\in \pi _ {q}X,p,q\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Identidad Jacobi calificada .
![{\displaystyle (-1)^{pr}[[f,g],h]+(-1)^{pq}[[g,h],f]+(-1)^{rq}[[h ,f],g]=0,f\in \pi _{p}X,g\in \pi _{q}X,h\in \pi _{r}X{\text{ con }}p, q,r\geq 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
A veces, los grupos de homotopía de un espacio, junto con la operación del producto de Whitehead, se denominan álgebra de cuasi-Lie graduada ; esto se demuestra en Uehara y Massey (1957) a través del triple producto de Massey .
Relación con la acción de π 1 {\displaystyle \pi _{1}}
Si , entonces el corchete de Whitehead está relacionado con la acción habitual de on by![{\displaystyle f\en \pi _ {1}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \pi _{k}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [f,g]=g^{f}-g,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde denota la conjugación de by . ![{\displaystyle g^{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle g}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Para , esto se reduce a![{\displaystyle k=1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [f,g]=fgf^{-1}g^{-1},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es el conmutador habitual en . Esto también se puede ver observando que la celda del toro está unida a lo largo del conmutador en el esqueleto .![{\displaystyle \pi _{1}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 2}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{1}\times S^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle 1}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle S^{1}\vee S^{1}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Productos Whitehead en espacios H
Para un camino conectado al espacio H , todos los productos Whitehead desaparecen. Según la subsección anterior, esta es una generalización del hecho de que los grupos fundamentales de los espacios H son abelianos y de que los espacios H son simples .![{\displaystyle \pi _{*}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Suspensión
Todos los productos de clases de Whitehead se encuentran en el núcleo del homomorfismo de suspensión .![{\displaystyle \alpha \in \pi _ {i}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \beta \in \pi _ {j}(X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Sigma \colon \pi _{i+j-1}(X)\to \pi _{i+j}(\Sigma X)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ejemplos
, donde está el mapa de Hopf .![{\displaystyle \eta \colon S^{3}\to S^{2}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto se puede demostrar observando que el invariante de Hopf define un isomorfismo y calculando explícitamente el anillo de cohomología de la cofibra de un mapa que representa . Usando la construcción de Pontryagin-Thom hay un argumento geométrico directo, usando el hecho de que la preimagen de un punto regular es una copia del enlace de Hopf . ![{\displaystyle \pi _{3}(S^{2})\cong \mathbb {Z} }](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [\mathrm {id} _{S^{2}},\mathrm {id} _{S^{2}}]}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Ver también
Referencias
- Whitehead, JHC (abril de 1941), "Sobre la adición de relaciones a grupos de homotopía", Annals of Mathematics , 2, 42 (2): 409–428, doi :10.2307/1968907, JSTOR 1968907
- Uehara, Hiroshi; Massey, William S. (1957), "La identidad de Jacobi para los productos de Whitehead", Geometría algebraica y topología. Un simposio en honor a S. Lefschetz , Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press , págs. 361–377, MR 0091473
- Whitehead, George W. (julio de 1946), "Sobre productos en grupos de homotopía", Annals of Mathematics , 2, 47 (3): 460–475, doi :10.2307/1969085, JSTOR 1969085
- Whitehead, George W. (1978). "X.7 El producto Whitehead". Elementos de la teoría de la homotopía . Springer-Verlag . págs. 472–487. ISBN 978-0387903361.