En matemáticas , un espacio H [1] es una versión teórica de homotopía de una generalización de la noción de grupo topológico , en la que se eliminan los axiomas de asociatividad e inversas .
Un espacio H consta de un espacio topológico X , junto con un elemento e de X y un mapa continuo μ : X × X → X , tal que μ( e , e ) = e y los mapas x ↦ μ( x , e ) y x ↦ μ( e , x ) son ambos homotópicos del mapa de identidad a través de mapas que envían e a e . [2] Esto puede considerarse como un espacio topológico puntual junto con una multiplicación continua para la cual el punto base es un elemento de identidad hasta la homotopía que preserva el punto base.
Se dice que un espacio topológico X es un espacio H si existen e y μ tales que el triple ( X , e , μ ) es un espacio H como en la definición anterior. [3] Alternativamente, se puede definir un espacio H sin requerir homotopías para fijar el punto base e , o exigiendo que e sea una identidad exacta, sin ninguna consideración de homotopía. [4] En el caso de un complejo CW , estas tres definiciones son de hecho equivalentes. [5]
La definición estándar de grupo fundamental , junto con el hecho de que es un grupo, se puede reformular diciendo que el espacio de bucle de un espacio topológico puntiagudo tiene la estructura de un grupo H, equipado con las operaciones estándar de concatenación y inversión. [6] Además, un mapa de espacio topológico puntiagudo que preserva un punto de base continuo induce un homomorfismo H de los espacios de bucle correspondientes; esto refleja el homomorfismo de grupo en grupos fundamentales inducido por un mapa continuo. [7]
Es sencillo verificar que, dada una equivalencia de homotopía puntiaguda desde un espacio H a un espacio topológico puntiagudo, existe una estructura de espacio H natural en este último espacio. [8] Como tal, la existencia de una estructura de espacio H en un espacio dado solo depende del tipo de homotopía puntiaguda.
La estructura multiplicativa de un espacio H agrega estructura a sus grupos de homología y cohomología . Por ejemplo, el anillo de cohomología de un espacio H conectado por caminos con grupos de cohomología libres y finitamente generados es un álgebra de Hopf . [9] Además, se puede definir el producto de Pontryagin en los grupos de homología de un espacio H. [10]
El grupo fundamental de un espacio H es abeliano . Para ver esto, sea X un espacio H con identidad e y sean f y g bucles en e . Defina un mapa F : [0,1] × [0,1] → X por F ( a , b ) = f ( a ) g ( b ). Entonces F ( a ,0) = F ( a ,1) = f ( a ) e es homotópico de f , y F (0, b ) = F (1, b ) = por ejemplo ( b ) es homotópico de g . Está claro cómo definir una homotopía de [ f ][ g ] a [ g ][ f ].
El teorema del invariante uno de Hopf de Adams , que lleva el nombre de Frank Adams , establece que S 0 , S 1 , S 3 , S 7 son las únicas esferas que son espacios H. Cada uno de estos espacios forma un espacio H al verlo como el subconjunto de elementos de norma uno de los reales , complejos , cuaterniones y octoniones , respectivamente, y utilizando las operaciones de multiplicación de estas álgebras. De hecho, S 0 , S 1 y S 3 son grupos ( grupos de Lie ) con estas multiplicaciones. Pero S 7 no es un grupo en este sentido porque la multiplicación de octoniones no es asociativa, ni se le puede dar ninguna otra multiplicación continua para la cual sea un grupo.