Objeto H

En matemáticas , específicamente en álgebra homotópica , un H-objeto ^[1] es una generalización categórica de un H-espacio , que puede definirse en cualquier categoría con un producto y un objeto inicial . Estas son construcciones útiles porque ayudan a exportar algunas de las ideas de la topología algebraica y la teoría de la homotopía a otros dominios, como el álgebra conmutativa y la geometría algebraica . ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle *}$

Definición

En una categoría con un producto y un objeto inicial , un objeto H es un objeto junto con una operación llamada multiplicación junto con una identidad bilateral. Si denotamos , la estructura de un objeto H implica que hay mapas ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}({\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle u_{X}:X\to *}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &:*\to X\\\mu &:X\times X\to X\end{aligned}}}$

que tienen las relaciones de conmutación

${\displaystyle \mu (\varepsilon \circ u_{X},id_{X})=\mu (id_{X},\varepsilon \circ u_{X})=id_{X}}$

Ejemplos

Magmas

Todos los magmas con unidades son objetos H en la categoría . ${\displaystyle {\textbf {Set}}}$

Espacios H

Otro ejemplo de H-objetos son los H-espacios en la categoría de homotopía de los espacios topológicos . ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Top}})}$

Objetos H en el álgebra homotópica

En álgebra homotópica, una clase de H-objetos considerados fueron los de Quillen ^[1] al construir la cohomología de André–Quillen para anillos conmutativos. Para esta sección, sean todas las álgebras conmutativas, asociativas y unitarias. Si dejamos que sea un anillo conmutativo, y que sea la subcategoría de tales álgebras sobre (es decir, -álgebras), y que sea la sobrecategoría asociativa de objetos en , entonces un H-objeto en esta categoría es un álgebra de la forma donde es un - módulo . Estas álgebras tienen las operaciones de adición y multiplicación ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A\backslash R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (A\backslash R)/B}$ ${\displaystyle A\backslash R}$ ${\displaystyle (A\backslash R)/B}$ ${\displaystyle B\oplus M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(b\oplus m)+(b'\oplus m')&=(b+b')\oplus (m+m')\\(b\oplus m)\cdot (b'\oplus m')&=(bb')\oplus (bm'+b'm)\end{aligned}}}$

Nótese que el mapa de multiplicación dado arriba da la estructura del objeto H. Nótese que además tenemos los otros dos mapas de estructura dados por ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{B\oplus M}(b\oplus m)&=b\\\varepsilon (b)&=b\oplus 0\end{aligned}}}$

Dando la estructura completa del objeto H. Curiosamente, estos objetos tienen la siguiente propiedad:

${\displaystyle {\text{Hom}}_{(A\backslash R)/B}(Y,B\oplus M)\cong {\text{Der}}_{A}(Y,M)}$

dando un isomorfismo entre las -derivaciones de to y los morfismos de to del objeto H. De hecho, esto implica que es un objeto de grupo abeliano en la categoría ya que da un funtor contravariante con valores en grupos abelianos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B\oplus M}$ ${\displaystyle B\oplus M}$ ${\displaystyle (A\backslash R)/B}$

Véase también

• Cohomología de André-Quillen
• Complejo cotangente
• Espacio H

Referencias

1. Quillen, Dan. "Sobre la (co-)homología de anillos conmutativos". Actas de simposios sobre matemáticas puras . 1970 : 65–87.