Producto Pontryagin

Producto sobre la homología de un espacio topológico inducida por un producto sobre el espacio topológico

En matemáticas , el producto de Pontryagin , introducido por Lev Pontryagin  (1939), es un producto de la homología de un espacio topológico inducido por un producto del espacio topológico. Los casos especiales incluyen el producto de Pontryagin sobre la homología de un grupo abeliano , el producto de Pontryagin sobre un espacio H y el producto de Pontryagin sobre un espacio de bucle .

Producto cruzado

Para definir el producto de Pontryagin, primero necesitamos un mapa que envíe el producto directo del grupo de homología m-ésimo y n-ésimo al grupo de homología (m+n)-ésimo de un espacio. Por lo tanto, definimos el producto cruzado, comenzando en el nivel de cadenas singulares . Dados dos espacios topológicos X e Y y dos simples singulares y podemos definir el mapa del producto , la única dificultad es mostrar que esto define un (m+n)-símplejo singular en . Para hacer esto, se puede subdividir en (m+n)-símplices. Entonces es fácil demostrar que este mapa induce un mapa de homología de la forma ${\displaystyle f:\Delta ^{m}\to X}$ ${\displaystyle g:\Delta ^{n}\to Y}$ ${\displaystyle f\times g:\Delta ^{m}\times \Delta ^{n}\to X\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle \Delta ^{m}\times \Delta ^{n}}$

${\displaystyle H_{m}(X;R)\otimes H_{n}(Y;R)\to H_{m+n}(X\times Y;R)}$

demostrando que si y son ciclos, entonces también lo es y si o es una frontera, entonces también lo es el producto. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f\times g}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

Definición

Dado un espacio H con multiplicación , el producto de Pontryagin por homología se define mediante la siguiente composición de mapas ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu :X\times X\to X}$

${\displaystyle H_{*}(X;R)\otimes H_{*}(X;R){\xrightarrow[{}]{\times }}H_{*}(X\times X;R){\xrightarrow[{}]{\mu _{*}}}H_{*}(X;R)}$

donde el primer mapa es el producto cruzado definido anteriormente y el segundo mapa viene dado por la multiplicación del espacio H seguida de la aplicación del funtor de homología para obtener un homomorfismo en el nivel de homología. Entonces . ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle H_{*}(X;R)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }H_{n}(X;R)}$

Referencias

• Marrón, Kenneth S. (1982). Cohomología de grupos. Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 87. Berlín, Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90688-1. SEÑOR  0672956.
• Pontryagin, Lev (1939). "Homologías en grupos compactos de Lie". Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) . Series nuevas. 6 (48): 389–422. SEÑOR  0001563.
• Hatcher, Hatcher (2001). Topología algebraica. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-79160-1.