comodulo

En matemáticas , un comodulo o corepresentación es un concepto dual a un módulo . La definición de comodulo sobre una coalgebra se forma dualizando la definición de un módulo sobre un álgebra asociativa .

Definicion formal

Sea K un campo y C una coalgebra sobre K . Un comodulo (derecha) sobre C es un K - espacio vectorial M junto con un mapa lineal

${\displaystyle \rho \colon M\to M\otimes C}$

tal que

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \Delta )\circ \rho =(\rho \otimes \mathrm {id} )\circ \rho }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} \otimes \varepsilon )\circ \rho =\mathrm {id} }$,

donde Δ es la comultiplicación de C y ε es la unidad.

Tenga en cuenta que en la segunda regla nos hemos identificado con . ${\displaystyle M\otimes K}$ ${\displaystyle M\,}$

Ejemplos

• Una coalgebra es un comodulo sobre sí mismo.
• Si M es un módulo de dimensión finita sobre una K -álgebra A de dimensión finita , entonces el conjunto de funciones lineales de A a K forma una coalgebra, y el conjunto de funciones lineales de M a K forma un comódulo sobre esa coalgebra.
• Un espacio vectorial graduado V se puede convertir en un comodulo. Sea I el índice establecido para el espacio vectorial graduado y sea el espacio vectorial con base para . Nos convertimos en una coalgebra y V en un -comódulo, de la siguiente manera: ${\displaystyle C_{I}}$ ${\displaystyle e_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle C_{I}}$ ${\displaystyle C_{I}}$

1. Sea la comultiplicación de . ${\displaystyle C_{I}}$ ${\displaystyle \Delta (e_{i})=e_{i}\otimes e_{i}}$
2. Sea la unidad la que esté dada por . ${\displaystyle C_{I}}$ ${\displaystyle \varepsilon (e_{i})=1\ }$
3. Sea el mapa de V dado por , donde está la i -ésima pieza homogénea de . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho (v)=\sum v_{i}\otimes e_{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle v}$

En topología algebraica

Un resultado importante en topología algebraica es el hecho de que la homología sobre el álgebra dual de Steenrod forma un comodulo. ^[1] Esto proviene del hecho de que el álgebra de Steenrod tiene una acción canónica sobre la cohomología. ${\displaystyle H_{*}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}$

Cuando dualizamos al álgebra dual de Steenrod, esto da una estructura comodule

${\displaystyle \mu ^{*}:H_{*}(X)\to {\mathcal {A}}^{*}\otimes H_{*}(X)}$

Este resultado se extiende también a otras teorías de cohomología, como el cobordismo complejo , y es fundamental para calcular su anillo de cohomología . ^[2] La razón principal para considerar la estructura comodule en homología en lugar de la estructura modular en cohomología radica en el hecho de que el álgebra dual de Steenrod es un anillo conmutativo, y la configuración del álgebra conmutativa proporciona más herramientas para estudiar su estructura. ${\displaystyle \Omega _{U}^{*}(\{pt\})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$

comodulo racional

Si M es un comodulo (derecha) sobre la coalgebra C , entonces M es un módulo (izquierda) sobre el álgebra dual C ^∗ , pero lo contrario no es cierto en general: un módulo sobre C ^∗ no es necesariamente un comodulo sobre C . Un comodulo racional es un módulo sobre C ^∗ que se convierte en un comodulo sobre C de forma natural.

Morfismos comodulos

Sea R un anillo , M , N y C sean R módulos y, a la derecha, C comódulos. Entonces un mapa R -lineal se llama morfismo comodulo (derecho) , o C-colineal (derecho) , si esta noción es dual a la noción de un mapa lineal entre espacios vectoriales , o, más generalmente, de un homomorfismo entre R- módulos . ^[3] $${\displaystyle \rho _{M}:M\rightarrow M\otimes C,\ \rho _{N}:N\rightarrow N\otimes C}$$ ${\displaystyle f:M\rightarrow N}$ $${\displaystyle \rho _{N}\circ f=(f\otimes 1)\circ \rho _{M}.}$$

Ver también

• Estructura de poder dividida

Referencias

1. Liulevicius, Arunas (1968). "Cómódulos de homología" (PDF) . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 134 (2): 375–382. doi : 10.2307/1994750 . ISSN  0002-9947. JSTOR  1994750.
2. Mueller, Michael. "Cálculo de anillos de cobordismo" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 2 de enero de 2021.
3. Khaled AL-Takhman, Equivalencias de categorías de comodulos para coalgebras sobre anillos , J. Pure Appl. Álgebra, .V. 173, Número: 3, 7 de septiembre de 2002, págs. 245–271

• Gómez-Torrecillas, José (1998), "Coalgebras y comodules sobre un anillo conmutativo", Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
• Montgomery, Susan (1993). Álgebras de Hopf y sus acciones sobre anillos . Serie de Conferencias Regionales en Matemáticas. vol. 82. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0738-2. Zbl  0793.16029.
• Sweedler, Moss (1969), Álgebras de Hopf , Nueva York: WABenjamin