Supermanifold

Generalización supersimétrica de variedades.

En física y matemáticas , las supervariedades son generalizaciones del concepto de variedad basadas en ideas provenientes de la supersimetría . Se utilizan varias definiciones, algunas de las cuales se describen a continuación.

Definición informal

Una definición informal se utiliza comúnmente en los libros de texto de física y en las conferencias introductorias. Define una supervariedad como una variedad con coordenadas bosónicas y fermiónicas . Localmente, se compone de cartas de coordenadas que lo hacen parecer un superespacio "plano", "euclidiano" . Estas coordenadas locales a menudo se denotan por

${\displaystyle (x,\theta ,{\bar {\theta }})}$

donde x es la coordenada espacio-temporal ( valorada en número real ), y y son "direcciones" espaciales valoradas por Grassmann . ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle {\bar {\theta }}}$

La interpretación física de las coordenadas valoradas por Grassmann es objeto de debate; Las búsquedas experimentales explícitas de supersimetría no han arrojado ningún resultado positivo. Sin embargo, el uso de variables de Grassmann permite una enorme simplificación de una serie de resultados matemáticos importantes. Esto incluye, entre otras cosas, una definición compacta de integrales funcionales , el tratamiento adecuado de los fantasmas en la cuantificación BRST , la cancelación de infinitos en la teoría cuántica de campos , el trabajo de Witten sobre el teorema del índice de Atiyah-Singer y aplicaciones más recientes a la simetría especular .

El uso de coordenadas con valores de Grassmann ha generado el campo de las supermatemáticas , en el que grandes porciones de la geometría se pueden generalizar a superequivalentes, incluida gran parte de la geometría de Riemann y la mayor parte de la teoría de los grupos de Lie y las álgebras de Lie (como las superálgebras de Lie , etc.). ) Sin embargo, quedan cuestiones pendientes, incluida la extensión adecuada de la cohomología de De Rham a las supervariedades.

Definición

Se utilizan tres definiciones diferentes de supervariedades. Una definición es como una gavilla sobre un espacio anillado ; A esto a veces se le llama " enfoque álgebro-geométrico ". ^[1] Este enfoque tiene una elegancia matemática, pero puede resultar problemático en diversos cálculos y comprensión intuitiva. Un segundo enfoque puede denominarse "enfoque concreto", ^[1] ya que es capaz de generalizar de manera simple y natural una amplia clase de conceptos de las matemáticas ordinarias. Requiere el uso de un número infinito de generadores supersimétricos en su definición; sin embargo, excepto un número finito de estos generadores, no tienen contenido, ya que el enfoque concreto requiere el uso de una topología aproximada que los haga equivalentes a casi todos. Sorprendentemente, estas dos definiciones, una con un número finito de generadores supersimétricos y otra con un número infinito de generadores, son equivalentes. ^{[1] [2]}

Un tercer enfoque describe una supervariedad como un topos base de un superpunto. Este enfoque sigue siendo tema de investigación activa. ^[3]

Algebro-geométrico: como una gavilla

Aunque las supervariedades son casos especiales de variedades no conmutativas , su estructura local las hace más adecuadas para estudiar con las herramientas de geometría diferencial estándar y espacios anillados localmente .

Una supervariedad M de dimensión ( p , q ) es un espacio topológico M con un haz de superálgebras , generalmente denotado O _M o C ^∞ ( M ), que es localmente isomorfo a , donde este último es un álgebra de Grassmann (exterior) en q generadores. ${\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} ^{p})\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Una supervariedad M de dimensión (1,1) a veces se denomina supersuperficie de Riemann.

Históricamente, este enfoque está asociado con Felix Berezin , Dimitry Leites y Bertram Kostant .

Hormigón: como un colector liso

Una definición diferente describe una supervariedad de una manera similar a la de una variedad suave , excepto que el espacio modelo ha sido reemplazado por el superespacio modelo . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$

Para definir correctamente esto es necesario explicar qué son y . Estos se dan como los subespacios reales pares e impares del espacio unidimensional de los números de Grassmann , que, por convención, se generan mediante un número contablemente infinito de variables anti-conmutación: es decir, el espacio unidimensional está dado por donde V es de dimensión infinita. Un elemento z se denomina real si ; Los elementos reales que constan únicamente de un número par de generadores de Grassmann forman el espacio de números c , mientras que los elementos reales que constan únicamente de un número impar de generadores de Grassmann forman el espacio de números a . Tenga en cuenta que los números c conmutan, mientras que los números a anticonmutan. Los espacios y luego se definen como los productos cartesianos p -fold y q -fold de y . ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \Lambda (V),}$ ${\displaystyle z=z^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{a}}$

Al igual que en el caso de una variedad ordinaria, la supervariedad se define como una colección de gráficos pegados entre sí con funciones de transición diferenciables. ^[4] Esta definición en términos de gráficos requiere que las funciones de transición tengan una estructura suave y un jacobiano que no desaparezca . Esto sólo se puede lograr si los gráficos individuales utilizan una topología que sea considerablemente más burda que la topología del espacio vectorial del álgebra de Grassmann. Esta topología se obtiene proyectando hacia abajo y luego usando la topología natural sobre eso. La topología resultante no es Hausdorff , pero puede denominarse "proyectivamente Hausdorff". ^[4] ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$

Que esta definición sea equivalente a la primera no es nada obvio; sin embargo, es el uso de la topología burda lo que lo hace así, al hacer que la mayoría de los "puntos" sean idénticos. Es decir, con la topología gruesa es esencialmente isomorfa ^{[1] [2]} a ${\displaystyle \mathbb {R} _{c}^{p}\times \mathbb {R} _{a}^{q}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}\otimes \Lambda ^{\bullet }(\xi _{1},\dots \xi _{q})}$

Propiedades

A diferencia de una variedad regular, una supervariedad no está compuesta enteramente por un conjunto de puntos. En cambio, se adopta el punto de vista dual de que la estructura de una supervariedad M está contenida en su haz O _M de "funciones suaves". Desde el punto de vista dual, un mapa inyectivo corresponde a una sobreyección de haces y un mapa sobreyectivo corresponde a una inyección de haces.

Un enfoque alternativo al punto de vista dual es utilizar el functor de puntos .

Si M es una supervariedad de dimensión ( p , q ), entonces el espacio subyacente M hereda la estructura de una variedad diferenciable cuyo haz de funciones suaves es _OM / I , donde I es el ideal generado por todas las funciones impares. Por tanto , M se denomina espacio subyacente, o cuerpo, de M. El mapa cociente O _M → O _M /I corresponde a un mapa inyectivo M → M ; por tanto M es una subvariedad de M .

Ejemplos

• Sea M una variedad. El paquete tangente impar ΠT M es una supervariedad dada por la gavilla Ω( M ) de formas diferenciales en M .
• De manera más general, sea E → M un paquete de vectores . Entonces Π E es una supervariedad dada por la gavilla Γ(ΛE ^* ). De hecho, Π es un functor de la categoría de haces de vectores a la categoría de supervariedades.
• Los supergrupos de mentiras son ejemplos de supervariedades.

Teorema de Batchelor

El teorema de Batchelor establece que toda supervariedad es no canónicamente isomorfa a una supervariedad de la forma Π E . La palabra "no canónicamente" impide concluir que las supervariedades son simplemente paquetes de vectores glorificados; aunque el funtor Π se asigna sobrejectivamente a las clases de isomorfismo de supervariedades, no es una equivalencia de categorías . Fue publicado por Marjorie Batchelor en 1979. ^[5]

La prueba del teorema de Batchelor se basa de manera esencial en la existencia de una partición de la unidad , por lo que no es válida para supervariedades complejas o de análisis real.

Estructuras simplécticas extrañas

Forma simpléctica extraña

En muchas aplicaciones físicas y geométricas, una supervariedad viene equipada con una estructura simpléctica impar de Grassmann . Todos los objetos geométricos naturales en una supervariedad están clasificados. En particular, el paquete de dos formas está equipado con una clasificación. Una forma simpléctica impar ω en una supervariedad es una forma impar y cerrada, que induce un emparejamiento no degenerado en TM . Una supervariedad de este tipo se llama variedad P. Su dimensión graduada es necesariamente ( n , n ), porque la forma simpléctica impar induce un emparejamiento de variables pares e impares. Existe una versión del teorema de Darboux para variedades P, que permite equipar una variedad P localmente con un conjunto de coordenadas donde la forma simpléctica impar ω se escribe como

${\displaystyle \omega =\sum _{i}d\xi _{i}\wedge dx_{i},}$

donde están las coordenadas pares y las coordenadas impares. (Una forma simpléctica impar no debe confundirse con una forma simpléctica par de Grassmann en una supervariedad. Por el contrario, la versión de Darboux de una forma simpléctica par es ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$

${\displaystyle \sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i}+\sum _{j}{\frac {\varepsilon _{j}}{2}}(d\xi _{j})^{2},}$

donde están las coordenadas pares, las coordenadas impares y son +1 o −1.) ${\displaystyle p_{i},q_{i}}$ ${\displaystyle \xi _{i}}$ ${\displaystyle \varepsilon _{j}}$

Antisoporte

Dada una forma simpléctica impar de 2 ω, se puede definir un corchete de Poisson conocido como el anticorchete de dos funciones cualesquiera F y G en una supervariedad mediante

${\displaystyle \{F,G\}={\frac {\partial _{r}F}{\partial z^{i}}}\omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}G}{\partial z^{j}}}.}$

Aquí y son las derivadas derecha e izquierda respectivamente y z son las coordenadas de la supervariedad. Equipada con este paréntesis, el álgebra de funciones en una supervariedad se convierte en un álgebra antiparéntesis . ${\displaystyle \partial _{r}}$ ${\displaystyle \partial _{l}}$

Una transformación de coordenadas que conserva el anticorchete se llama transformación P. Si el Bereziniano de una transformación P es igual a uno, entonces se llama transformación SP.

Colectores P y SP

Utilizando el teorema de Darboux para formas simplécticas impares se puede demostrar que las variedades P se construyen a partir de conjuntos abiertos de superespacios pegados mediante transformaciones P. Se dice que una variedad es una variedad SP si estas funciones de transición se pueden elegir para que sean transformaciones SP. De manera equivalente, se puede definir una variedad SP como una supervariedad con una forma 2 impar no degenerada ω y una función de densidad ρ tal que en cada parche de coordenadas existen coordenadas de Darboux en las que ρ es idénticamente igual a uno. ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n|n}}$

laplaciano

Se puede definir un operador laplaciano Δ en una variedad SP como el operador que lleva una función H a la mitad de la divergencia del correspondiente campo vectorial hamiltoniano . Explícitamente se define

${\displaystyle \Delta H={\frac {1}{2\rho }}{\frac {\partial _{r}}{\partial z^{a}}}\left(\rho \omega ^{ij}(z){\frac {\partial _{l}H}{\partial z^{j}}}\right)}$.

En coordenadas de Darboux esta definición se reduce a

${\displaystyle \Delta ={\frac {\partial _{r}}{\partial x^{a}}}{\frac {\partial _{l}}{\partial \theta _{a}}}}$

donde x ^a y θ _a son coordenadas pares e impares tales que

${\displaystyle \omega =dx^{a}\wedge d\theta _{a}}$.

El laplaciano es extraño y nilpotente.

${\displaystyle \Delta ^{2}=0}$.

Se puede definir la cohomología de las funciones H con respecto al laplaciano. En Geometría de la cuantificación de Batalin-Vilkovisky, Albert Schwarz ha demostrado que la integral de una función H sobre una subvariedad lagrangiana L depende sólo de la clase de cohomología de H y de la clase de homología del cuerpo de L en el cuerpo de la supervariedad ambiental.

SUSY

Una estructura anterior a SUSY en una supervariedad de dimensión ( n , m ) es una distribución m -dimensional impar . Con tal distribución se asocia su tensor de Frobenius (dado que P es impar, el tensor de Frobenius asimétrico es una operación simétrica). Si este tensor no es degenerado, por ejemplo, se encuentra en una órbita abierta de , M se llama variedad SUSY . La estructura SUSY en dimensión (1, k ) es la misma que la estructura de contacto impar . ${\displaystyle P\subset TM}$ ${\displaystyle S^{2}P\mapsto TM/P}$ ${\displaystyle GL(P)\times GL(TM/P)}$

Ver también

• superespacio
• Supersimetría
• Supergeometria
• colector graduado
• Formalismo de Batalin-Vilkovisky

Referencias

1. Alice Rogers , Supermanifolds: teoría y aplicaciones , World Scientific, (2007) ISBN  978-981-3203-21-1 (ver capítulo 1)
2. Rogers, op. Cit. (Ver Capítulo 8.)
3. supercolector en el n Lab
4. Bryce DeWitt , Supermanifolds , (1984) Cambridge University Press ISBN 0521 42377 5 (Ver capítulo 2.) 
5. Batchelor, Marjorie (1979), "La estructura de las supervariedades", Transactions of the American Mathematical Society , 253 : 329–338, doi : 10.2307/1998201 , JSTOR  1998201, MR  0536951

• Joseph Bernstein, "Conferencias sobre supersimetría (notas de Dennis Gaitsgory)", programa de teoría cuántica de campos en IAS: semestre de otoño
• A. Schwarz, "Geometría de la cuantificación de Batalin-Vilkovisky", ArXiv hep-th/9205088
• C. Bartocci, U. Bruzzo, D. Hernandez Ruiperez, La geometría de los supermanífolds (Kluwer, 1991) ISBN 0-7923-1440-9 
• L. Mangiarotti, G. Sardanashvily , Conexiones en la teoría de campos clásica y cuántica (World Scientific, 2000) ISBN 981-02-2013-8 ( arXiv : 0910.0092) 

enlaces externos

• Súper colectores: un estudio incompleto en Manifold Atlas.