variedad simpléctica

Tipo de colector en geometría diferencial

En geometría diferencial , una materia de matemáticas , una variedad simpléctica es una variedad suave , equipada con una forma 2 diferencial cerrada no degenerada , llamada forma simpléctica. El estudio de variedades simplécticas se denomina geometría simpléctica o topología simpléctica . Las variedades simplécticas surgen naturalmente en formulaciones abstractas de la mecánica clásica y la mecánica analítica como haces cotangentes de variedades. Por ejemplo, en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica, que proporciona una de las principales motivaciones para este campo, el conjunto de todas las configuraciones posibles de un sistema se modela como una variedad, y el paquete cotangente de esta variedad describe el espacio de fase del sistema. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$

Motivación

Las variedades simplécticas surgen de la mecánica clásica ; en particular, son una generalización del espacio de fases de un sistema cerrado. ^[1] De la misma manera que las ecuaciones de Hamilton permiten derivar la evolución temporal de un sistema a partir de un conjunto de ecuaciones diferenciales , la forma simpléctica debería permitir obtener un campo vectorial que describa el flujo del sistema a partir del diferencial de un hamiltoniano. función . ^[2] Por lo tanto, requerimos un mapa lineal desde la variedad tangente a la variedad cotangente , o equivalentemente, un elemento de . Denotando una sección de , el requisito de que no sea degenerado garantiza que para cada diferencial haya un campo vectorial correspondiente único tal que . Dado que se desea que el hamiltoniano sea constante a lo largo de las líneas de flujo, se debe tener , lo que implica que es alternante y, por lo tanto, de 2 formas. Finalmente, se exige que no cambie bajo las líneas de flujo, es decir, que la derivada de Lie de a lo largo desaparezca. Aplicando la fórmula de Cartan , esto equivale a (aquí está el producto interior ): ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TM\rightarrow T^{*}M}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle T^{*}M\otimes T^{*}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dH}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle dH=\omega (V_{H},\cdot )}$ ${\displaystyle \omega (V_{H},V_{H})=dH(V_{H})=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle \iota _{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{V_{H}}(\omega )=0\;\Leftrightarrow \;\mathrm {d} (\iota _{V_{H}}\omega )+\iota _{V_{H}}\mathrm {d} \omega =\mathrm {d} (\mathrm {d} \,H)+\mathrm {d} \omega (V_{H})=\mathrm {d} \omega (V_{H})=0}$

de modo que, al repetir este argumento para diferentes funciones suaves tales que el correspondiente abarca el espacio tangente en cada punto en el que se aplica el argumento, vemos que el requisito para la derivada de Lie evanescente a lo largo de flujos de correspondientes a suaves arbitrarios es equivalente al requisito que ω debería estar cerrado . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle V_{H}}$ ${\displaystyle H}$

Definición

Una forma simpléctica en una variedad suave es una forma 2 diferencial cerrada no degenerada . ^{[3] [4]} Aquí, no degenerado significa que para cada punto , el emparejamiento sesgado-simétrico en el espacio tangente definido por no es degenerado. Es decir, si existe algo así para todos , entonces . Dado que en dimensiones impares, las matrices asimétricas son siempre singulares, el requisito de que no sean degeneradas implica que tenga una dimensión par. ^{[3] [4]} La condición cerrada significa que la derivada exterior de desaparece. Una variedad simpléctica es un par donde hay una variedad suave y una forma simpléctica. Asignar una forma simpléctica se conoce como dar una estructura simpléctica . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle X\in T_{p}M}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0}$ ${\displaystyle Y\in T_{p}M}$ ${\displaystyle X=0}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ejemplos

Espacios vectoriales simplécticos

Sea una base para Definimos nuestra forma simpléctica ω sobre esta base de la siguiente manera: ${\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}.}$

${\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

En este caso la forma simpléctica se reduce a una forma cuadrática simple . Si In denota la matriz identidad n × n, entonces la matriz, Ω, de esta forma cuadrática viene dada por la matriz de bloques 2 n × ₂ n :

${\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}$

Paquetes cotangentes

Sea una variedad suave de dimensión . Entonces, el espacio total del paquete cotangente tiene una forma simpléctica natural, llamada forma doble de Poincaré o forma simpléctica canónica. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T^{*}Q}$

${\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}$

Aquí están las coordenadas locales y las coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes . Los haces cotangentes son los espacios de fase naturales de la mecánica clásica. El punto de distinguir los índices superior e inferior está determinado por el caso de que la variedad tenga un tensor métrico , como es el caso de las variedades de Riemann . Los índices superior e inferior se transforman contra y covariantemente bajo un cambio de marcos de coordenadas. La frase "coordenadas de fibra con respecto a los vectores cotangentes" pretende transmitir que los momentos están " soldados " a las velocidades . La soldadura es una expresión de la idea de que la velocidad y el momento son colineales, en el sentido de que ambos se mueven en la misma dirección y difieren en un factor de escala. ${\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$ ${\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle dq^{i}}$

Colectores Kähler

Una variedad Kähler es una variedad simpléctica equipada con una estructura compleja integrable compatible. Forman una clase particular de variedades complejas . Una gran clase de ejemplos provienen de geometría algebraica compleja . Cualquier variedad proyectiva compleja suave tiene una forma simpléctica que es la restricción de la forma Fubini-Study en el espacio proyectivo . ${\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$

Colectores casi complejos

Las variedades de Riemann con una estructura casi compleja compatible se denominan variedades casi complejas . Generalizan las variedades de Kähler, en el sentido de que no necesitan ser integrables . Es decir, no necesariamente surgen de una estructura compleja en la variedad. ${\displaystyle \omega }$

Lagrangianos y otras subvariedades

Existen varias nociones geométricas naturales de subvariedad de una variedad simpléctica : ${\displaystyle (M,\omega )}$

• Las subvariedades simplécticas de (potencialmente de cualquier dimensión par) son subvariedades tales que tienen una forma simpléctica en . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{S}}$ ${\displaystyle S}$
• Las subvariedades isotrópicas son subvariedades donde la forma simpléctica se restringe a cero, es decir, cada espacio tangente es un subespacio isotrópico del espacio tangente de la variedad ambiental. De manera similar, si cada subespacio tangente a una subvariedad es coisotrópico (el dual de un subespacio isotrópico), la subvariedad se llama coisotrópica .
• Las subvariedades lagrangianas de una variedad simpléctica son subvariedades en las que la restricción de la forma simpléctica a está desapareciendo, es decir, y . Las subvariedades lagrangianas son las subvariedades isotrópicas máximas. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle L\subset M}$ ${\displaystyle \omega |_{L}=0}$ ${\displaystyle {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}$

Un ejemplo importante es que la gráfica de un simplectomorfismo en la variedad simpléctica producto ( M × M , ω × − ω ) es lagrangiana. Sus intersecciones muestran propiedades de rigidez que no poseen las variedades suaves; la conjetura de Arnold da la suma de los números de Betti de la subvariedad como un límite inferior para el número de autointersecciones de una subvariedad lagrangiana suave, en lugar de la característica de Euler en el caso suave.

Ejemplos

Tengamos las coordenadas globales etiquetadas . Entonces, podemos equiparnos con la forma simpléctica canónica. ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}$

${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}$

Existe una subvariedad lagrangiana estándar dada por . La forma desaparece porque dado cualquier par de vectores tangentes tenemos que Para dilucidar, considere el caso . Entonces y . Observe que cuando ampliamos esto ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}$ ${\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}$ ${\displaystyle \omega (X,Y)=0.}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle X=f(x)\partial _{x},Y=g(x)\partial _{x},}$ ${\displaystyle \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}$

${\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}$

En ambos términos tenemos un factor, que es 0, por definición. ${\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}$

Ejemplo: paquete cotangente

El paquete cotangente de una variedad se modela localmente en un espacio similar al primer ejemplo. Se puede demostrar que podemos unir estas formas simplécticas afines, por lo que este paquete forma una variedad simpléctica. Un ejemplo menos trivial de una subvariedad lagrangiana es la sección cero del paquete cotangente de una variedad. Por ejemplo, dejemos

${\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}$

Entonces, podemos presentar como ${\displaystyle T^{*}X}$

${\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}$

donde tratamos los símbolos como coordenadas de . Podemos considerar el subconjunto donde están las coordenadas y , dándonos la sección cero. Este ejemplo se puede repetir para cualquier variedad definida por el lugar de desaparición de funciones suaves y sus diferenciales . ${\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} x=0}$ ${\displaystyle \mathrm {d} y=0}$ ${\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}$

Ejemplo: subvariedad paramétrica

Considere el espacio canónico con coordenadas . Una subvariedad paramétrica de es aquella que está parametrizada por coordenadas tales que ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

${\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}$

Esta variedad es una subvariedad lagrangiana si el corchete de Lagrange desaparece para todos . Es decir, es lagrangiano si ${\displaystyle [u_{i},u_{j}]}$ ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle [u_{i},u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}$

para todos . Esto se puede ver ampliando ${\displaystyle i,j}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}$

en la condición de una subvariedad lagrangiana . Esto es que la forma simpléctica debe desaparecer en la variedad tangente ; es decir, debe desaparecer para todos los vectores tangentes: ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle TL}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}$

para todos . Simplifique el resultado haciendo uso de la forma simpléctica canónica en : ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

${\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}$

y todos los demás desapareciendo.

A medida que los gráficos locales en una variedad simpléctica adoptan la forma canónica, este ejemplo sugiere que las subvariedades lagrangianas están relativamente libres. La clasificación de variedades simplécticas se realiza mediante homología de Floer ; esta es una aplicación de la teoría de Morse a la acción funcional para mapas entre subvariedades lagrangianas. En física, la acción describe la evolución temporal de un sistema físico; aquí puede tomarse como la descripción de la dinámica de las branas.

Ejemplo: teoría de Morse

Otra clase útil de subvariedades lagrangianas se produce en la teoría Morse . Dada una función Morse y para una función lo suficientemente pequeña, se puede construir una subvariedad lagrangiana dada por el lugar de fuga . Para una función Morse genérica tenemos una intersección lagrangiana dada por . ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}$ ${\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}$

Subvariedades lagrangianas especiales

En el caso de las variedades de Kähler (o variedades de Calabi-Yau ), podemos elegir una forma n holomorfa, donde está la parte real y la imaginaria. Una subvariedad lagrangiana se llama especial si, además de la condición lagrangiana anterior, la restricción a desaparece. En otras palabras, la parte real restringida en lidera la forma de volumen en . Los siguientes ejemplos se conocen como subvariedades lagrangianas especiales, ${\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{2}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \Omega _{1}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$

1. subvariedades lagrangianas complejas de variedades hiperkähler ,
2. Puntos fijos de una estructura real de variedades Calabi-Yau.

La conjetura SYZ se ocupa del estudio de subvariedades lagrangianas especiales en simetría especular ; ver (Hitchin 1999).

La conjetura de Thomas-Yau predice que la existencia de subvariedades lagrangianas especiales en las variedades Calabi-Yau en las clases de isotopías hamiltonianas de lagrangianos es equivalente a la estabilidad con respecto a una condición de estabilidad en la categoría Fukaya de la variedad.

Fibración lagrangiana

Una fibración lagrangiana de una variedad simpléctica M es una fibración en la que todas las fibras son subvariedades lagrangianas. Dado que M es de dimensión par, podemos tomar coordenadas locales ( p ₁ ,..., p _n , q ¹ ,..., q ⁿ ), y según el teorema de Darboux la forma simpléctica ω puede escribirse, al menos localmente, como ω = ∑ d p _k ∧ d q ^k , donde d denota la derivada exterior y ∧ denota el producto exterior . Esta forma se llama dos formas de Poincaré o dos formas canónicas. Usando esta configuración podemos pensar localmente en M como el paquete cotangente y la fibración lagrangiana como la fibración trivial. Esta es la imagen canónica. ${\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}$

mapeo lagrangiano

Sea L una subvariedad lagrangiana de una variedad simpléctica ( K ,ω) dada por una inmersión i  : L ↪ K ( i se llama inmersión lagrangiana ). Sea π  : K ↠ B una fibración lagrangiana de K . El compuesto ( π ∘ i ): L ↪ K ↠ B es un mapeo lagrangiano . El conjunto de valores críticos de π ∘ i se llama cáustico .

Dos aplicaciones lagrangianas ( π ₁ ∘ i ₁ ): L ₁ ↪ K ₁ ↠ B ₁ y ( π ₂ ∘ i ₂ ) : L ₂ ↪ K ₂ ↠ B ₂ se llaman equivalente lagrangiano si existen difeomorfismos σ , τ y ν tales que ambos lados del diagrama dado a la derecha conmutan , y τ conserva la forma simpléctica. ^[4] Simbólicamente:

${\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}$

donde τ ^∗ ω ₂ denota el retroceso de ω ₂ por τ .

Casos especiales y generalizaciones.

• Una variedad simpléctica es exacta si la forma simpléctica es exacta . Por ejemplo, el paquete cotangente de una variedad suave es una variedad simpléctica exacta. La forma simpléctica canónica es exacta. ${\displaystyle (M,\omega )}$ ${\displaystyle \omega }$
• Una variedad simpléctica dotada de una métrica que es compatible con la forma simpléctica es casi una variedad de Kähler en el sentido de que el paquete tangente tiene una estructura casi compleja , pero no tiene por qué ser integrable .
• Las variedades simplécticas son casos especiales de una variedad de Poisson .
• Una variedad multisimpléctica de grado k es una variedad equipada con una forma k cerrada no degenerada . ^[5]
• Una variedad polisimpléctica es un paquete de Legendre provisto de una forma polisimpléctica de valor tangente; se utiliza en la teoría de campos hamiltoniana . ^[6] ${\displaystyle (n+2)}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• Variedad casi simpléctica  : variedad diferenciable equipada con una forma bidimensional no degenerada (pero no necesariamente cerrada)Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Variedad de contactos  : rama de la geometría Pages displaying short descriptions of redirect targets: una contraparte de dimensiones impares de la variedad simpléctica.
• Teoría de campos hamiltonianos covariantes  : formalismo en la teoría de campos clásica basada en la mecánica hamiltonianaPages displaying short descriptions of redirect targets
• Colector Fedosov  : colector simpléctico equipado con una conexión sin torsiónPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Soporte de Poisson  – Funcionamiento en mecánica hamiltoniana
• Grupo simpléctico  – Grupo matemático
• matriz simpléctica
• Topología simpléctica  - Rama de la geometría diferencial y la topología diferencialPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio vectorial simpléctico  : espacio vectorial equipado con una forma bilineal alterna no degeneradaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Simplectomorfismo  - Isomorfismo de variedades simplécticas
• Forma única tautológica  : forma diferencial canónica definida en el paquete cotangente de una variedad suavePages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Desigualdad de Wirtinger (2 formas)  : desigualdad aplicable a 2 formasPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Citas

1. Webster, Ben (9 de enero de 2012). "¿Qué es realmente una variedad simpléctica?".
2. Cohn, Enrique. "Por qué la geometría simpléctica es el escenario natural de la mecánica clásica".
3. de Gosson, Maurice (2006). Geometría Simpléctica y Mecánica Cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. pag. 10.ISBN _ 3-7643-7574-4.
4. Arnold, VI ; Várchenko, AN ; Gusein-Zade, SM (1985). La clasificación de puntos críticos, cáusticas y frentes de onda: singularidades de mapas diferenciables, volumen 1 . Birkhäuser. ISBN 0-8176-3187-9.
5. Cantrijn, F.; Ibort, LA; de León, M. (1999). "Sobre la geometría de variedades multisimplécticas". J.Austral. Matemáticas. Soc . Ser. R. 66 (3): 303–330. doi : 10.1017/S1446788700036636 .
6. Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. (1999). "Ecuaciones hamiltonianas covariantes para la teoría de campos". Revista de Física . A32 (38): 6629–6642. arXiv : hep-th/9904062 . Código Bib : 1999JPhA...32.6629G. doi :10.1088/0305-4470/32/38/302. S2CID  204899025.

Referencias generales y citadas

• McDuff, Dusa ; Salamón, D. (1998). Introducción a la topología simpléctica . Monografías de matemáticas de Oxford. ISBN 0-19-850451-9.
• Auroux, Denis . "Seminario sobre Simetría del Espejo".
• Meinrenken, Eckhard . "Geometría simpléctica" (PDF) .
• Abraham, Ralph ; Marsden, Jerrold E. (1978). Fundamentos de la Mecánica . Londres: Benjamin-Cummings. Consulte la Sección 3.2. ISBN 0-8053-0102-X.
• de Gosson, Maurice A. (2006). Geometría Simpléctica y Mecánica Cuántica . Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-7574-4.
• Alan Weinstein (1971). "Variedades simplécticas y sus subvariedades lagrangianas". Avances en Matemáticas . 6 (3): 329–46. doi : 10.1016/0001-8708(71)90020-X .
• Arnold, VI (1990). "Capítulo 1, Geometría simpléctica". Singularidades de cáusticas y frentes de onda. Matemáticas y sus aplicaciones. vol. 62. Dordrecht: Springer Países Bajos. doi :10.1007/978-94-011-3330-2. ISBN 978-1-4020-0333-2. OCLC  22509804.

Otras lecturas

• Dunin-Barkowski, Petr (2022). "Dualidad simpléctica para recursividad topológica". arXiv : 2206.14792 [matemáticas-ph].
• "Cómo encontrar subvariedades lagrangianas". Intercambio de pila . 17 de diciembre de 2014.
• Lumist, Ü. (2001) [1994], "Estructura simpléctica", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sardanashvily, G. (2009). "Haces de fibras, colectores de chorro y teoría lagrangiana". Conferencias para teóricos . arXiv : 0908.1886 .
• McDuff, D. (noviembre de 1998). "Estructuras simplécticas: un nuevo enfoque de la geometría" (PDF) . Avisos de la AMS .
• Hitchin, Nigel (1999). "Conferencias sobre subvariedades lagrangianas especiales". arXiv : matemáticas/9907034 .