Espacio topológico

Espacio matemático con noción de cercanía

En matemáticas , un espacio topológico es, a grandes rasgos, un espacio geométrico en el que la cercanía está definida pero no necesariamente puede medirse mediante una distancia numérica . Más concretamente, un espacio topológico es un conjunto cuyos elementos se denominan puntos , junto con una estructura adicional denominada topología , que puede definirse como un conjunto de vecindades para cada punto que satisfacen unos axiomas que formalizan el concepto de cercanía. Existen varias definiciones equivalentes de una topología, de las cuales la más utilizada es la definición mediante conjuntos abiertos , que es más fácil de manipular que las otras.

Un espacio topológico es el tipo más general de espacio matemático que permite la definición de límites , continuidad y conectividad . ^{[1] [2]} Los tipos comunes de espacios topológicos incluyen espacios euclidianos , espacios métricos y variedades .

Aunque es un concepto muy general, el de espacios topológicos es fundamental y se utiliza en prácticamente todas las ramas de las matemáticas modernas. El estudio de los espacios topológicos en sí se denomina topología de conjuntos puntuales o topología general .

Historia

Hacia 1735, Leonhard Euler descubrió la fórmula que relaciona el número de vértices (V), aristas (E) y caras (F) de un poliedro convexo , y por tanto de un grafo plano . El estudio y generalización de esta fórmula, concretamente por parte de Cauchy (1789-1857) y L'Huilier (1750-1840), impulsó el estudio de la topología. En 1827, Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales sobre superficies curvas , que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna: "Se dice que una superficie curva posee una curvatura continua en uno de sus puntos A, si la dirección de todas las líneas rectas trazadas desde A hasta puntos de la superficie a una distancia infinitesimal de A se desvían infinitesimalmente de un mismo plano que pasa por A". ^{[3] [ fuente no primaria necesaria ]} ${\displaystyle V-E+F=2}$

Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataron desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y nunca se consideraron cuestiones topológicas". ^[4] " Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema sobre la topología de superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricos) para decidir la equivalencia de superficies, es decir, decidir si dos superficies son homeomorfas o no". ^[4]

El tema está claramente definido por Felix Klein en su " Programa de Erlangen " (1872): los invariantes geométricos de transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había utilizado el término en correspondencia algunos años antes en lugar del anteriormente utilizado "análisis del sitio". El fundamento de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creado por Henri Poincaré . Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894. ^[5] En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano .

Los espacios topológicos fueron definidos por primera vez por Felix Hausdorff en 1914 en su influyente obra "Principios de la teoría de conjuntos". Los espacios métricos habían sido definidos antes en 1906 por Maurice Fréchet , aunque fue Hausdorff quien popularizó el término "espacio métrico" ( en alemán : metrischer Raum ). ^{[6] [7] [ se necesita una mejor fuente ]}

Definiciones

La utilidad del concepto de topología se demuestra por el hecho de que existen varias definiciones equivalentes de esta estructura matemática . De este modo, se elige la axiomatización adecuada para la aplicación. La más utilizada es la que se utiliza en términos de conjuntos abiertos , pero quizá la más intuitiva sea la que se utiliza en términos de vecindades , por lo que se da en primer lugar.

Definición por barrios

Esta axiomatización se debe a Felix Hausdorff . Sea un conjunto (posiblemente vacío). Los elementos de se denominan habitualmente puntos , aunque pueden ser cualquier objeto matemático. Sea una función que asigna a cada (punto) en una colección no vacía de subconjuntos de Los elementos de se denominarán vecindades de con respecto a (o, simplemente, vecindades de ). La función se denomina topología de vecindad si se satisfacen los axiomas siguientes ^[8] ; y entonces con se denomina espacio topológico . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. Si es un vecindario de (es decir, ), entonces En otras palabras, cada punto del conjunto pertenece a cada uno de sus vecindarios con respecto a . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
2. Si es un subconjunto de e incluye un entorno de entonces es un entorno de Es decir, cada superconjunto de un entorno de un punto es nuevamente un entorno de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$
3. La intersección de dos barrios de es un barrio de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
4. Cualquier vecindad de incluye una vecindad de tal que sea una vecindad de cada punto de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$

Los tres primeros axiomas de vecindades tienen un significado claro. El cuarto axioma tiene un uso muy importante en la estructura de la teoría, el de relacionar entre sí las vecindades de diferentes puntos de ${\displaystyle X.}$

Un ejemplo estándar de un sistema de vecindad de este tipo es el de la línea real, donde un subconjunto de se define como una vecindad de un número real si incluye un intervalo abierto que contiene ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Dada una estructura de este tipo, un subconjunto de se define como abierto si es un entorno de todos los puntos en Los conjuntos abiertos satisfacen entonces los axiomas que se dan a continuación en la siguiente definición de un espacio topológico. Por el contrario, cuando se dan los conjuntos abiertos de un espacio topológico, los entornos que satisfacen los axiomas anteriores se pueden recuperar definiendo como un entorno de si incluye un conjunto abierto tal que ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U.}$

Definición mediante conjuntos abiertos

Una topología sobre un conjunto X puede definirse como una colección de subconjuntos de X , llamados conjuntos abiertos y que satisfacen los siguientes axiomas: ^[10] ${\displaystyle \tau }$

1. El conjunto vacío y él mismo pertenecen a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. Cualquier unión arbitraria (finita o infinita) de miembros de pertenece a ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$
3. La intersección de cualquier número finito de miembros de pertenece a ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Como esta definición de topología es la más comúnmente utilizada, el conjunto de conjuntos abiertos se denomina comúnmente topología . ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Se dice que un subconjunto es cerrado si su complemento es un conjunto abierto. ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus C}$

Ejemplos de topologías

Sea denotado con los círculos, aquí hay cuatro ejemplos y dos no ejemplos de topologías en el conjunto de tres puntos. El ejemplo inferior izquierdo no es una topología porque falta la unión de y [ie ]; el ejemplo inferior derecho no es una topología porque falta la intersección de y [ie ]. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{2\}}$ ${\displaystyle \{3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{2\}}$

1. Dada la topología trivial o indiscreta en la familia que consiste únicamente en los dos subconjuntos de requeridos por los axiomas forma una topología en ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. Dada la familia de seis subconjuntos de formas, otra topología de ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ $${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Dada la topología discreta en es el conjunto potencia de cuyo es la familia que consiste en todos los subconjuntos posibles de En este caso el espacio topológico se llama espacio discreto . ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau =\wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
4. Dado el conjunto de los enteros, la familia de todos los subconjuntos finitos de los enteros más ella misma no es una topología, porque (por ejemplo) la unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero no es finita y, por lo tanto, no es un miembro de la familia de conjuntos finitos. La unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero tampoco es todo y, por lo tanto, no puede estar en ${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau .}$

Definición mediante conjuntos cerrados

Utilizando las leyes de De Morgan , los axiomas anteriores que definen conjuntos abiertos se convierten en axiomas que definen conjuntos cerrados :

1. El conjunto vacío y están cerrados. ${\displaystyle X}$
2. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados también es cerrada.
3. La unión de cualquier número finito de conjuntos cerrados también es cerrada.

Usando estos axiomas, otra forma de definir un espacio topológico es como un conjunto junto con una colección de subconjuntos cerrados de Por lo tanto, los conjuntos en la topología son los conjuntos cerrados y sus complementos en son los conjuntos abiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Otras definiciones

Hay muchas otras formas equivalentes de definir un espacio topológico: en otras palabras, los conceptos de vecindad, o de conjuntos abiertos o cerrados, pueden reconstruirse desde otros puntos de partida y satisfacer los axiomas correctos.

Otra forma de definir un espacio topológico es utilizando los axiomas de cierre de Kuratowski , que definen los conjuntos cerrados como los puntos fijos de un operador en el conjunto potencia de ${\displaystyle X.}$

Una red es una generalización del concepto de secuencia . Una topología está completamente determinada si para cada red en el conjunto de sus puntos de acumulación se especifican. ${\displaystyle X}$

Comparación de topologías

Muchas topologías pueden definirse en un conjunto para formar un espacio topológico. Cuando cada conjunto abierto de una topología también está abierto para una topología, se dice que es más fino que y es más burdo que Una prueba que se basa únicamente en la existencia de ciertos conjuntos abiertos también será válida para cualquier topología más fina, y de manera similar, una prueba que se basa únicamente en que ciertos conjuntos no sean abiertos se aplica a cualquier topología más burda. Los términos más grande y más pequeño a veces se usan en lugar de más fino y más burdo, respectivamente. Los términos más fuerte y más débil también se usan en la literatura, pero con poco acuerdo sobre su significado, por lo que siempre debe asegurarse de la convención de un autor al leer. ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2},}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1},}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$

La colección de todas las topologías en un conjunto fijo dado forma una red completa : si es una colección de topologías en entonces el encuentro de es la intersección de y la unión de es el encuentro de la colección de todas las topologías en que contienen cada miembro de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F.}$

Funciones continuas

Una función entre espacios topológicos se llama continua si para cada entorno de existe un entorno de tal que Esto se relaciona fácilmente con la definición habitual en análisis. De manera equivalente, es continua si la imagen inversa de cada conjunto abierto es abierta. ^[11] Esto es un intento de capturar la intuición de que no hay "saltos" o "separaciones" en la función. Un homeomorfismo es una biyección que es continua y cuya inversa también es continua. Dos espacios se llaman homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomorfos son esencialmente idénticos. ^[12] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$ ${\displaystyle f}$

En teoría de categorías , una de las categorías fundamentales es Top , que denota la categoría de espacios topológicos cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son funciones continuas. El intento de clasificar los objetos de esta categoría ( hasta el homeomorfismo ) por invariantes ha motivado áreas de investigación, como la teoría de la homotopía , la teoría de la homología y la teoría K.

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto dado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le da una topología diferente, se lo considera un espacio topológico diferente. A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta en la que cada subconjunto es abierto. Las únicas sucesiones o redes convergentes en esta topología son aquellas que son eventualmente constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que solo el conjunto vacío y todo el espacio son abiertos. Cada sucesión y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que, en los espacios topológicos generales, los límites de las sucesiones no necesitan ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

Existen numerosas topologías sobre cualquier conjunto finito dado . Dichos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos se utilizan a veces para proporcionar ejemplos o contraejemplos a conjeturas sobre espacios topológicos en general.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T 1 más pequeña de cualquier conjunto infinito. ^[13]

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cocontable , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o si su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

A la línea real también se le puede dar la topología de límite inferior . Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos semiabiertos. Esta topología en es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y solo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él. ${\displaystyle [a,b).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si es un número ordinal , entonces el conjunto puede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos y donde y son elementos de ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$ ${\displaystyle [0,\beta ),}$ ${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma .}$

Toda variedad tiene una topología natural ya que es localmente euclidiana. De manera similar, todo símplex y todo complejo simplicial heredan una topología natural de .

El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene importantes relaciones con la teoría de la computación y la semántica.

Topología de otras topologías

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología del subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio mayor con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto , que se genera mediante las imágenes inversas de los conjuntos abiertos de los factores bajo las aplicaciones de proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consiste en todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas, excepto un número finito de sus proyecciones, sean el espacio entero.

Un espacio cociente se define de la siguiente manera: si es un espacio topológico y es un conjunto, y si es una función sobreyectiva , entonces la topología cociente en es la colección de subconjuntos de que tienen imágenes inversas abiertas bajo En otras palabras, la topología cociente es la topología más fina en para la cual es continua. Un ejemplo común de una topología cociente es cuando se define una relación de equivalencia en el espacio topológico La función es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

La topología de Vietoris en el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de un espacio topológico llamado así por Leopold Vietoris , se genera mediante la siguiente base: para cada -tupla de conjuntos abiertos en construimos un conjunto base que consiste en todos los subconjuntos de la unión de los que tienen intersecciones no vacías entre sí. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}.}$

La topología de Fell sobre el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de un espacio polaco localmente compacto es una variante de la topología de Vietoris y recibe su nombre del matemático James Fell. Se genera mediante la siguiente base: para cada -tupla de conjuntos abiertos en y para cada conjunto compacto, el conjunto de todos los subconjuntos de que son disjuntos de y tienen intersecciones no vacías con cada uno es un miembro de la base. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Espacios métricos

Los espacios métricos incorporan una métrica , una noción precisa de distancia entre puntos.

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Esta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normado . En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

Hay muchas maneras de definir una topología sobre el conjunto de números reales . La topología estándar sobre se genera por los intervalos abiertos . El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos a partir de la base. En particular, esto significa que un conjunto es abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, a los espacios euclidianos se les puede dar una topología. En la topología habitual sobre los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas . De manera similar, el conjunto de números complejos , y tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son las bolas abiertas. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Topología a partir de la estructura algebraica

Para cualquier objeto algebraico podemos introducir la topología discreta, según la cual las operaciones algebraicas son funciones continuas. Para cualquier estructura de este tipo que no sea finita, a menudo tenemos una topología natural compatible con las operaciones algebraicas, en el sentido de que las operaciones algebraicas siguen siendo continuas. Esto conduce a conceptos como grupos topológicos , espacios vectoriales topológicos , anillos topológicos y cuerpos locales .

Cualquier campo local tiene una topología nativa, y ésta puede extenderse a espacios vectoriales sobre ese campo.

La topología de Zariski se define algebraicamente en el espectro de un anillo o una variedad algebraica . En o los conjuntos cerrados de la topología de Zariski se encuentran los conjuntos solución de los sistemas de ecuaciones polinómicas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

Espacios topológicos con estructura de orden

• Espectral : Un espacio es espectral si y sólo si es el espectro primo de un anillo ( teorema de Hochster ).
• Preorden de especialización : En un espacio, el preorden de especialización (o preorden canónico ) se define por si y solo si donde denota un operador que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Topología de otra estructura

Si es un filtro en un conjunto entonces es una topología en ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Muchos conjuntos de operadores lineales en el análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.

Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas .

El espacio exterior de un grupo libre está formado por las denominadas "estructuras de gráficos métricos marcados" del volumen 1 en ^[14] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Clasificación de espacios topológicos

Los espacios topológicos pueden clasificarse ampliamente, hasta el homeomorfismo, por sus propiedades topológicas . Una propiedad topológica es una propiedad de los espacios que es invariante ante los homeomorfismos. Para demostrar que dos espacios no son homeomorfos es suficiente encontrar una propiedad topológica que no compartan. Ejemplos de tales propiedades incluyen la conectividad , la compacidad y varios axiomas de separación . Para invariantes algebraicos, véase topología algebraica .

Véase también

• Álgebra de Heyting completa : el sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico dado ordenados por inclusión es un álgebra de Heyting completa.
• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Espacio de convergencia  – Generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general
• Espacio exterior
• Espacio de Hausdorff  – Tipo de espacio topológico
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Hemicontinuidad  – Semicontinuidad para funciones con valores fijos
• Subespacio lineal  – En matemáticas, subespacio vectorial
• Espacio cuasitotopológico  : un conjunto X equipado con una función que asocia a cada espacio de Hausdorff compacto K una colección de aplicaciones K→C que satisfacen ciertas condiciones naturalesPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Subespacio relativamente compacto  : subconjunto de un espacio topológico cuyo cierre es compactoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con cierta estructura añadida

Citas

1. Schubert 1968, pág. 13
2. Sutherland, WA (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos. Oxford [Inglaterra]: Clarendon Press. ISBN 0-19-853155-9.OCLC 1679102  .
3. Gauss 1827.
4. Gallier y Xu 2013.
5. J. Stillwell, Matemáticas y su historia
6. "espacio métrico" . Oxford English Dictionary (edición en línea). Oxford University Press . (Se requiere suscripción o membresía a una institución participante).
7. Hausdorff, Félix (1914) [1914]. "Punktmengen in allgemeinen Räumen". Grundzüge der Mengenlehre. Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (en alemán). Leipzig: Von Veit (publicado en 2011). pag. 211.ISBN​ 9783110989854. Consultado el 20 de agosto de 2022 . Unter einem metrischen R aume verstehen wir eine Menge E , [...].
8. Brown 2006, sección 2.1.
9. Brown 2006, sección 2.2.
10. Armstrong 1983, definición 2.1.
11. Armstrong 1983, teorema 2.6.
12. Munkres, James R (2015). Topología . Pearson. Págs. 317-319. ISBN. 978-93-325-4953-1.
13. Anderson, BA; Stewart, DG (1969). " -complementos de topologías". Actas de la American Mathematical Society . 23 : 77–81. doi :10.2307/2037491. JSTOR  2037491. MR  0244927. ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{1}}$
14. Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). "Módulos de grafos y automorfismos de grupos libres" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. Bibcode :1986InMat..84...91C. doi :10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.

Bibliografía

• Armstrong, MA (1983) [1979]. Topología básica . Textos de pregrado en matemáticas . Springer. ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E. , Topología y geometría (Textos de posgrado en matemáticas), Springer; 1.ª edición (17 de octubre de 1997). ISBN 0-387-97926-3 . 
• Bourbaki, Nicolas ; Elementos de matemáticas: topología general , Addison-Wesley (1966).
• Brown, Ronald (2006). Topología y grupoides. Booksurge. ISBN 1-4196-2722-8.(3ª edición de libros con diferentes títulos)
• Čech, Eduard ; Conjuntos de puntos , Academic Press (1969).
• Fulton, William , Topología algebraica , (Textos de posgrado en matemáticas), Springer; 1.ª edición (5 de septiembre de 1997). ISBN 0-387-94327-7 . 
• Gallier, Jean; Xu, Dianna (2013). Una guía para el teorema de clasificación para superficies compactas . Springer.
• Gauss, Carl Friedrich (1827). Investigaciones generales de superficies curvas .
• Lipschutz, Seymour; Esquema de topología general de Schaum , McGraw-Hill; 1.ª edición (1 de junio de 1968). ISBN 0-07-037988-2 . 
• Munkres, James ; Topología , Prentice Hall; 2da edición (28 de diciembre de 1999). ISBN 0-13-181629-2 . 
• Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext) , Springer; 1.ª edición (6 de julio de 2005). ISBN 0-387-25790-X . 
• Schubert, Horst (1968), Topología , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr. ; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Vaidyanathaswamy, R. (1960). Topología de conjuntos . Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560.
• Willard, Stephen (2004). Topología general. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.

Enlaces externos

• "Espacio topológico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]