El espacio exterior (matemáticas)

En la materia matemática de la teoría de grupos geométricos , el espacio de Culler-Vogtmann o simplemente espacio de un grupo libre F _n es un espacio topológico que consiste en las llamadas "estructuras de grafos métricos marcados" del volumen 1 sobre F _n . El espacio, denotado X _n o CV _n , viene equipado con una acción natural del grupo de automorfismos externos Out( F _n ) de F _n . El espacio fue introducido en un artículo de 1986 ^[1] de Marc Culler y Karen Vogtmann , y sirve como un análogo de grupo libre del espacio de Teichmüller de una superficie hiperbólica. El espacio se utiliza para estudiar grupos de homología y cohomología de Out( F _n ) y para obtener información sobre propiedades algebraicas , geométricas y dinámicas de Out( F _n ), de sus subgrupos y automorfismos externos individuales de F _n . El espacio X _n también puede considerarse como el conjunto de tipos de isometría F _n -equivariantes de acciones isométricas discretas libres mínimas de F _n sobre árboles R T tales que el grafo métrico cociente T / F _n tiene volumen 1.

Historia

El espacio exterior fue introducido en un artículo de 1986 ^[1] de Marc Culler y Karen Vogtmann , inspirado en la analogía con el espacio de Teichmüller de una superficie hiperbólica. Demostraron que la acción natural de on es propiamente discontinua y que es contráctil . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

En el mismo artículo, Culler y Vogtmann construyeron una incrustación, a través de las funciones de longitud de traducción que se analizan a continuación, de en el espacio proyectivo de dimensión infinita , donde es el conjunto de clases de conjugación no triviales de elementos de . También demostraron que el cierre de en es compacto. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\,{\mathcal {C}}}=\mathbb {R} ^{\mathcal {C}}\!-\!\{0\}/\mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{\,{\mathcal {C}}}}$

Posteriormente una combinación de los resultados de Cohen y Lustig ^[2] y de Bestvina y Feighn ^[3] identificó (ver Sección 1.3 de ^[4] ) el espacio con el espacio de clases proyectivas de acciones isométricas mínimas "muy pequeñas" de on -trees . ${\displaystyle {\overline {X}}_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {CV}}_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición formal

Gráficas métricas marcadas

Sea n ≥ 2. Para el grupo libre F _n fijemos una "rosa" R _n , es decir, una cuña, de n círculos acuñados en un vértice v , y fijemos un isomorfismo entre F _n y el grupo fundamental π ₁ ( R _n , v ) de R _n . A partir de este punto identificamos F _n y π ₁ ( R _n , v ) mediante este isomorfismo.

Una marca en F _n consiste en una equivalencia de homotopía f  : R _n → Γ donde Γ es un grafo conexo finito sin vértices de grado uno y grado dos. Hasta una homotopía (libre) , f está determinada de forma única por el isomorfismo f _#  : π ₁ ( R _n ) → π ₁ (Γ) , es decir, por un isomorfismo F _n → π ₁ (Γ).

Un grafo métrico es un grafo finito conexo con la asignación a cada arista topológica e de Γ de un número real positivo L ( e ) llamado longitud de e . El volumen de un grafo métrico es la suma de las longitudes de sus aristas topológicas. ${\displaystyle \gamma }$

Una estructura de gráfico métrico marcado en F _n consiste en un marcado f  : R _n → Γ junto con una estructura de gráfico métrico L en Γ.

Dos estructuras gráficas métricas marcadas f ₁  : R _n → Γ ₁ y f ₂  : R _n → Γ ₂ son equivalentes si existe una isometría θ  : Γ ₁ → Γ ₂ tal que, hasta homotopía libre, tenemos θ o f ₁ = f ₂ .

El espacio exterior X _n consta de clases de equivalencia de todas las estructuras de gráficos métricos marcados con volumen uno en F _n .

Topología débil en el espacio exterior

Simples abiertos

Sea f  : R _n → Γ donde Γ es una marca y sea k el número de aristas topológicas en Γ. Ordenamos las aristas de Γ como e ₁ , ..., e _k . Sea

${\displaystyle \Delta _{k}=\left\{(x_{1},\dots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k}\,{\Big |}\,\sum _{i=1}^{k}x_{i}=1,x_{i}>0{\text{ for }}i=1,\dots ,k\right\}}$

sea ​​el símplex abierto estándar de dimensión ( k − 1) en R ^k .

Dado f , existe una función natural j  : Δ _k → X _n , donde para x = ( x ₁ , ..., x _k ) ∈ Δ _k , el punto j ( x ) de X _n está dado por la marca f junto con la estructura de grafo métrico L en Γ tal que L ( e _i ) = x _i para i = 1, ..., k .

Se puede demostrar que j es de hecho un mapa inyectivo , es decir, puntos distintos de Δ _k corresponden a estructuras de grafos métricos marcados no equivalentes en F _n .

El conjunto j (Δ _k ) se denomina símplex abierto en X _n correspondiente a f y se denota S ( f ). Por construcción, X _n es la unión de símplex abiertos correspondientes a todas las marcas en F _n . Nótese que dos símplex abiertos en X _n son disjuntos o coincidentes.

Simples cerrados

Sea f  : R _n → Γ donde Γ es una marca y sea k el número de aristas topológicas en Γ. Como antes, ordenamos las aristas de Γ como e ₁ , ..., e _k . Defina Δ _k ′ ⊆ R ^k como el conjunto de todos los x = ( x ₁ , ..., x _k ) ∈ R ^k , tales que , tales que cada x _i ≥ 0 y tales que el conjunto de todas las aristas e _i en con x _i = 0 es un subbosque en Γ. ${\displaystyle \textstyle {\sum _{i=1}^{k}x_{i}=1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

La función j  : Δ _k → X _n se extiende a una función h  : Δ _k ′ → X _n como sigue. Para x en Δ _k, ponga h ( x ) = j ( x ). Para x ∈ Δ _k ′ − Δ _k, el punto h ( x ) de X _n se obtiene tomando la marca f , contrayendo todas las aristas e _i de con x _i = 0 para obtener una nueva marca f ₁  : R _n → Γ ₁ y luego asignando a cada arista sobreviviente e _i de Γ ₁ una longitud x _i > 0. ${\displaystyle \Gamma }$

Se puede demostrar que para cada marca f la función h  : Δ _k ′ → X _n sigue siendo inyectiva. La imagen de h se llama símplex cerrado en X _n correspondiente a f y se denota por S ′( f ). Cada punto en X _n pertenece solo a un número finito de símplex cerrados y un punto de X _n representado por una marca f  : R _n → Γ donde el grafo Γ es trivalente pertenece a un único símplex cerrado en X _n , a saber, S ′( f ).

La topología débil en el espacio exterior X _n se define diciendo que un subconjunto C de X _n es cerrado si y solo si para cada marcaje f  : R _n → Γ el conjunto h ⁻¹ ( C ) es cerrado en Δ _k ′. En particular, la función h  : Δ _k ′ → X _n es una incrustación topológica .

Puntos del espacio exterior como acciones sobre los árboles

Sea x un punto en X _n dado por una marca f  : R _n → Γ con una estructura de grafo métrico de volumen uno L sobre Γ. Sea T la cobertura universal de Γ. Por lo tanto, T es un grafo simplemente conexo, es decir, T es un árbol topológico. También podemos elevar la estructura métrica L a T dando a cada arista de T la misma longitud que la longitud de su imagen en Γ. Esto convierte a T en un espacio métrico ( T , d ) que es un árbol real . El grupo fundamental π ₁ (Γ) actúa sobre T cubriendo transformaciones que también son isometrías de ( T , d ), con el espacio cociente T / π ₁ (Γ) = Γ. Dado que el homomorfismo inducido f _# es un isomorfismo entre F _n = π ₁ ( R _n ) y π ₁ (Γ), también obtenemos una acción isométrica de F _n sobre T con T / F _n = Γ. Esta acción es libre y discreta . Dado que Γ es un grafo conexo finito sin vértices de grado uno, esta acción también es mínima , lo que significa que T no tiene subárboles F _n -invariantes propios .

Además, cada acción isométrica mínima libre y discreta de F _n sobre un árbol real con cociente siendo un grafo métrico de volumen uno surge de esta manera desde algún punto x de X _n . Esto define una correspondencia biyectiva entre X _n y el conjunto de clases de equivalencia de acciones isométricas mínimas libres y discretas de F _n sobre árboles reales con cocientes de volumen uno. Aquí dos de tales acciones de F _n sobre árboles reales T ₁ y T ₂ son equivalentes si existe una isometría F _n -equivariante entre T ₁ y T ₂ .

Funciones de longitud

Dada una acción de F _n sobre un árbol real T como la anterior, se puede definir la función de longitud de traducción asociada con esta acción:

${\displaystyle \ell _{T}:F_{n}\to \mathbb {R} ,\quad \ell _{T}(g)=\min _{t\in T}d(t,gt),\quad {\text{ for }}g\in F_{n}.}$

Para g ≠ 1 existe una copia (única) isométricamente incrustada de R en T , llamada eje de g , tal que g actúa sobre este eje mediante una traslación de magnitud . Por esta razón se llama longitud de traslación de g . Para cualquier g , u en F _n tenemos , es decir la función es constante en cada clase de conjugación en G . ${\displaystyle \ell _{T}(g)>0}$ ${\displaystyle \ell _{T}(g)}$ ${\displaystyle \ell _{T}(ugu^{-1})=\ell _{T}(g)}$ ${\displaystyle \ell _{T}}$

En el modelo de gráfico métrico marcado del espacio exterior, las funciones de longitud de traslación se pueden interpretar de la siguiente manera. Sea T en X _n representado por una marca f  : R _n → Γ con una estructura de gráfico métrico de volumen uno L en Γ. Sea g ∈ F _n = π ₁ ( R _n ). Primero empuje g hacia adelante a través de f _# para obtener un bucle cerrado en Γ y luego ajuste este bucle a un circuito inmerso en Γ. La longitud L de este circuito es la longitud de traslación de g . ${\displaystyle \ell _{T}(g)}$

Un hecho general básico de la teoría de acciones grupales sobre árboles reales dice que un punto del espacio exterior está determinado únicamente por su función de longitud de traslación. Es decir, si dos árboles con acciones isométricas libres mínimas de F _n definen funciones de longitud de traslación iguales en F _n, entonces los dos árboles son isométricos equivalentes a F _n . Por lo tanto, la función de X _n al conjunto de funciones de valor R en F _n es inyectiva. ${\displaystyle T\mapsto \ell _{T}}$

Se define la topología de la función de longitud o topología de ejes en X _n de la siguiente manera. Para cada T en X _n , cada subconjunto finito K de F _n y cada ε > 0 sea

${\displaystyle V_{T}(K,\epsilon )=\{T'\in X_{n}:|\ell _{T}(g)-\ell _{T'}(g)|<\epsilon {\text{ for every }}g\in K\}.}$

En la topología de la función de longitud para cada T en X _n una base de vecindades de T en X _n está dada por la familia V _T ( K , ε ) donde K es un subconjunto finito de F _n y donde ε > 0.

La convergencia de secuencias en la topología de función de longitud se puede caracterizar de la siguiente manera. Para T en X _n y una secuencia T _i en X _n tenemos si y solo si para cada g en F _n tenemos ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }T_{i}=T}$ ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\ell _{T_{i}}(g)=\ell _{T}(g).}$

Topología de Gromov

Otra topología es la denominada topología de Gromov o topología de convergencia equivariante de Gromov-Hausdorff , que proporciona una versión de la convergencia de Gromov-Hausdorff adaptada al contexto de una acción de grupo isométrica. ${\displaystyle X_{n}}$

Al definir la topología de Gromov, se debe pensar en los puntos de como acciones de sobre -árboles. De manera informal, dado un árbol , otro árbol está "cerca" de en la topología de Gromov, si para algunos subárboles finitos grandes de y un subconjunto finito grande existe una "casi isometría" entre y con respecto a la cual las acciones (parciales) de sobre y casi concuerdan. Para la definición formal de la topología de Gromov, véase. ^[5] ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle T\in X_{n}}$ ${\displaystyle T'\in X_{n}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle Y\subseteq T,Y'\subseteq T'\in X_{n}}$ ${\displaystyle B\subseteq F_{n}}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle Y'}$ ${\displaystyle Y}$

Coincidencia de las topologías débil, de longitud y de Gromov

Un resultado básico importante establece que la topología de Gromov, la topología débil y la topología de función de longitud en X _n coinciden. ^[6]

Acción de Fuera(Fnorte) en el espacio exterior

El grupo Out( F _n ) admite una acción derecha natural por homeomorfismos sobre X _n .

Primero definimos la acción del grupo de automorfismos Aut( F _n ) sobre X _n . Sea α ∈ Aut( F _n ) un automorfismo de F _n . Sea x un punto de X _n dado por una marca f  : R _n → Γ con una estructura de grafo métrico de volumen uno L sobre Γ. Sea τ  : R _n → R _n una equivalencia de homotopía cuyo homomorfismo inducido a nivel de grupo fundamental es el automorfismo α de F _n = π ₁ ( R _n ). El elemento xα de X _n está dado por la marca f ∘ τ  : R _n → Γ con la estructura métrica L sobre Γ. Es decir, para obtener xα a partir de x simplemente precomponemos la marca que define a x con τ .

En el modelo de árbol real, esta acción se puede describir de la siguiente manera. Sea T en X _n un árbol real con una acción isométrica mínima libre y discreta de covolumen uno de F _n . Sea α ∈ Aut( F _n ). Como espacio métrico, Tα es igual a T . La acción de F _n está torcida por α . Es decir, para cualquier t en T y g en F _n tenemos:

${\displaystyle g{\underset {T\alpha }{\cdot }}t=\alpha (g){\underset {T}{\cdot }}t.}$

A nivel de funciones de longitud de traducción, el árbol Tα se da como:

${\displaystyle \ell _{T\alpha }(g)=\ell _{T}(\alpha (g))\quad {\text{ for }}g\in F_{n}.}$

Se comprueba entonces que para la acción anterior de Aut( F _n ) sobre el espacio exterior X _n el subgrupo de automorfismos internos Inn( F _n ) está contenido en el núcleo de esta acción, es decir, cada automorfismo interno actúa trivialmente sobre X _n . Se sigue que la acción de Aut( F _n ) sobre X _n cocientes hasta una acción de Out( F _n ) = Aut( F _n )/Inn( F _n ) sobre X _n . es decir, si φ ∈ Out( F _n ) es un automorfismo externo de F _n y si α en Aut( F _n ) es un automorfismo real que representa φ entonces para cualquier x en X _n tenemos xφ = xα .

La acción derecha de Out( F _n ) en X _n se puede convertir en una acción izquierda mediante un procedimiento de conversión estándar. Es decir, para φ ∈ Out( F _n ) y x en X _n

φx = xφ ⁻¹ .

Esta acción izquierda de Out( F _n ) sobre X _n también se considera a veces en la literatura, aunque la mayoría de las fuentes trabajan con la acción derecha.

Espacio de módulos

El espacio cociente M _n = X _n /Out( F _n ) es el espacio de módulos que consiste en tipos de isometría de grafos conexos finitos Γ sin vértices de grado uno y grado dos, con grupos fundamentales isomorfos a F _n (esto es, con el primer número de Betti igual a n ) equipados con estructuras métricas de volumen uno. La topología cociente en M _n es la misma que la dada por la distancia de Gromov-Hausdorff entre grafos métricos que representan puntos de M _n . El espacio de módulos M _n no es compacto y las "cúspides" en M _n surgen de longitudes decrecientes hacia cero de aristas para subgrafos homotópicamente no triviales (por ejemplo, un circuito esencial) de un grafo métrico Γ.

Propiedades básicas y datos sobre el espacio exterior

• El espacio exterior X _n es contráctil y la acción de Out( F _n ) sobre X _n es propiamente discontinua , como lo demostraron Culler y Vogtmann en su artículo original de 1986 ^[1] donde se introdujo el espacio exterior.
• El espacio X _n tiene dimensión topológica 3 n − 4. La razón es que si Γ es un grafo conexo finito sin vértices de grado uno y grado dos con grupo fundamental isomorfo a F _n , entonces Γ tiene como máximo 3 n − 3 aristas y tiene exactamente 3 n − 3 aristas cuando Γ es trivalente. Por lo tanto, el símplex abierto de dimensión superior en X _n tiene dimensión 3 n − 4.
• El espacio exterior X _n contiene una deformación específica retraída K _n de X _n , llamada espina dorsal del espacio exterior. La espina dorsal K _n tiene dimensión 2 n − 3, es Out( F _n )-invariante y tiene cociente compacto bajo la acción de Out( F _n ).

Espacio exterior no proyectivizado

El espacio exterior no proyectivizado consiste en clases de equivalencia de todas las estructuras de grafos métricos marcados en F _n donde se permite que el volumen del grafo métrico en la marca sea cualquier número real positivo. El espacio también puede considerarse como el conjunto de todas las acciones isométricas discretas mínimas libres de F _n en árboles R , consideradas hasta la isometría F _n -equivariante. El espacio exterior no proyectivizado hereda las mismas estructuras que tiene, incluida la coincidencia de las tres topologías (Gromov, ejes, débil) y una -acción. Además, hay una acción natural de sobre por multiplicación escalar. ${\displaystyle cv_{n}}$ ${\displaystyle cv_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle cv_{n}}$

Topológicamente, es homeomorfo a . En particular, también es contráctil. ${\displaystyle cv_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\times (0,\infty )}$ ${\displaystyle cv_{n}}$

Espacio exterior proyectivizado

El espacio exterior proyectivizado es el espacio cociente bajo la acción de sobre por multiplicación escalar. El espacio está dotado de la topología cociente. Para un árbol su clase de equivalencia proyectiva se denota . La acción de sobre naturalmente cocientes a través de la acción de sobre . Es decir, para y poner . ${\displaystyle CV_{n}:=cv_{n}/\mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$ ${\displaystyle cv_{n}}$ ${\displaystyle CV_{n}}$ ${\displaystyle T\in cv_{n}}$ ${\displaystyle [T]=\{cT\mid c>0\}\subseteq cv_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle cv_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle CV_{n}}$ ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle T\in cv_{n}}$ ${\displaystyle [T]\phi :=[T\phi ]}$

Una observación clave es que la función es un homeomorfismo -equivariante. Por esta razón, los espacios y se identifican a menudo. ${\displaystyle X_{n}\to CV_{n},T\mapsto [T]}$ ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle CV_{n}}$

Distancia de Lipschitz

La distancia de Lipschitz, ^[7] llamada así por Rudolf Lipschitz , para el espacio exterior corresponde a la métrica de Thurston en el espacio de Teichmüller. Para dos puntos en X _n la distancia de Lipschitz (derecha) se define como el logaritmo (natural) de la trayectoria cerrada máximamente estirada desde hasta : ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle d_{R}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle \Lambda _{R}(x,y):=\sup _{\gamma \in F_{n}\setminus \{1\}}{\frac {\ell _{y}(\gamma )}{\ell _{x}(\gamma )}}}$y ${\displaystyle d_{R}(x,y):=\log \Lambda _{R}(x,y)}$

Se trata de una métrica asimétrica (también llamada a veces cuasimetrica ), es decir, que solo falla en la simetría . La métrica simétrica de Lipschitz normalmente denota: ${\displaystyle d_{R}(x,y)=d_{R}(y,x)}$

${\displaystyle d(x,y):=d_{R}(x,y)+d_{R}(y,x)}$

El supremo se obtiene siempre y puede calcularse mediante un conjunto finito los llamados candidatos de . ${\displaystyle \Lambda _{R}(x,y)}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Lambda _{R}(x,y)=\max _{\gamma \in \operatorname {cand} (x)}{\frac {\ell _{y}(\gamma )}{\ell _{x}(\gamma )}}}$

Un bucle simple , una figura de ocho y una barra.

¿Dónde está el conjunto finito de clases de conjugación en F _n que corresponden a incrustaciones de un bucle simple , una figura de ocho o una barra en a través de la marca (ver el diagrama)? ${\displaystyle \operatorname {cand} (x)}$ ${\displaystyle x}$

El factor de estiramiento también es igual a la constante mínima de Lipschitz de una equivalencia de homotopía que lleva la marca, es decir

${\displaystyle \Lambda _{R}(x,y)=\min _{h\in H(x,y)}Lip(h)}$

¿Dónde están las funciones continuas tales que para el marcado en el marcado es libremente homotópico al marcado en ? ${\displaystyle H(x,y)}$ ${\displaystyle h:x\to y}$ ${\displaystyle f_{x}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle h\circ f_{x}}$ ${\displaystyle f_{y}}$ ${\displaystyle y}$

La topología inducida es la misma que la topología débil y el grupo de isometría es tanto para la distancia de Lipschitz simétrica como para la asimétrica. ^[8] ${\displaystyle \operatorname {Out} (F_{n})}$

Aplicaciones y generalizaciones

• Se sabe que el cierre de en la topología de función de longitud consiste en ( F _n -clases de isometría equivariante de) todas las acciones isométricas mínimas muy pequeñas de F _n en árboles R. ^[9] Aquí el cierre se toma en el espacio de todas las acciones isométricas mínimas "irreducibles" de en -árboles, consideradas hasta la isometría equivariante. Se sabe que la topología de Gromov y la topología de ejes en el espacio de acciones irreducibles coinciden, ^[5] por lo que el cierre puede entenderse en cualquier sentido. La proyectivización de con respecto a la multiplicación por escalares positivos da el espacio que es la compactificación de función de longitud de y de , análoga a la compactificación de Thurston del espacio de Teichmüller. ${\displaystyle {\overline {cv}}_{n}}$ ${\displaystyle cv_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\overline {cv}}_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {CV}}_{n}}$ ${\displaystyle CV_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$
• Se han desarrollado análogos y generalizaciones del espacio exterior para productos libres , ^[10] para grupos de Artin en ángulo recto , ^[11] para los llamados espacios de deformación de acciones de grupo ^[6] y en algunos otros contextos.
• Hatcher y Vogtmann construyeron en 1998 una versión del espacio exterior con puntos base, llamada espacio de Auter , para gráficos métricos marcados con puntos base. ^[12] El espacio de Auter comparte muchas propiedades en común con el espacio exterior, pero solo viene con una acción de . ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Aut} (F_{n})}$

Véase también

• Teoría de grupos geométricos
• Grupo de clases de mapeo
• Mapa de vías del tren
• Fuera(Fn)

Referencias

1. Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). "Módulos de grafos y automorfismos de grupos libres" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 84 (1): 91–119. Bibcode :1986InMat..84...91C. doi :10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.
2. Cohen, Marshall M.; Lustig, Martin (1995). "Acciones de grupos muy pequeños en árboles R y automorfismos de torsión de Dehn" (PDF) . Topología . 34 (3): 575–617. doi : 10.1016/0040-9383(94)00038-m .
3. Bestvina, Mladen; Feighn, Mark (1994). "Límites exteriores" (PDF) .
4. Guiradel, Vicente (2000). "Dinámica de O u t ( F n ) {\ Displaystyle Out (F_ {n})} en el límite del espacio exterior". Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (4): 433–465. doi :10.1016/S0012-9593(00)00117-8.
5. Frédéric Paulin, La topología de Gromov en árboles R. Topología y sus aplicaciones 32 (1989), núm. 3, 197–221.
6. Vincent Guirardel, Gilbert Levitt, Espacios de deformación de árboles . Grupos, geometría y dinámica 1 (2007), n.º 2, 135–181.
7. Francaviglia, Stefano; Martín, Armando (2011). "Propiedades métricas del espacio exterior". Publicaciones Matemáticas . 55 : 433–473. arXiv : 0803.0640 . doi :10.5565/PUBLMAT_55211_09. S2CID  4997063.
8. Francaviglia, Stefano; Martino, Armando (2012). "El grupo de isometría del espacio exterior". Avances en Matemáticas . 231 (3–4): 1940–1973. arXiv : 0912.0299 . doi : 10.1016/j.aim.2012.07.011 .
9. Mladen Bestvina, La topología de Out( F _n ). Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (Beijing, 2002), págs. 373-384, Higher Ed. Press, Beijing, 2002; ISBN 7-04-008690-5 . 
10. Guirardel, Vincent; Levitt, Gilbert (2007). "El espacio exterior de un producto libre". Actas de la London Mathematical Society . 94 (3): 695–714. arXiv : math/0501288 . doi :10.1112/plms/pdl026. S2CID  7079548.
11. Corey Bregman, Ruth Charney, Karen Vogtmann, El espacio exterior para los RAAG , arXiv:2007.09725, preimpresión, 2020
12. Allen Hatcher y Karen Vogtmann , Teoría de Cerf para grafos. Journal of the London Mathematical Society 58 (1998), n.º 3, 633–655.

Lectura adicional

• Mladen Bestvina, La topología de Out(F _n ) . Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. II (Beijing, 2002), págs. 373–384, Higher Education Press , Beijing, 2002; ISBN 7-04-008690-5 . 
• Karen Vogtmann , Sobre la geometría del espacio exterior . Boletín de la American Mathematical Society 52 (2015), núm. 1, 27–46.
• Vogtmann, Karen (2008). "¿Qué es... el espacio exterior?" (PDF) . AMS Notices . 55 (7): 784–786.