En matemáticas , Out( F n ) es el grupo de automorfismos externos de un grupo libre en n generadores . Estos grupos juegan un papel importante en la teoría de grupos geométricos .
La función de abelianización induce un homomorfismo de al grupo lineal general , siendo este último el grupo de automorfismo de . Esta función es sobreyectiva, lo que hace que se produzca una extensión de grupo ,
El núcleo es el grupo Torelli de .
En este caso , el mapa es un isomorfismo .
Debido a que es el grupo fundamental de un ramo de n círculos , puede describirse topológicamente como el grupo de clases de aplicación de un ramo de n círculos (en la categoría de homotopía ), en analogía con el grupo de clases de aplicación de una superficie cerrada que es isomorfa al grupo de automorfismo externo del grupo fundamental de esa superficie.
Out( F n ) actúa geométricamente sobre un complejo de células conocido como espacio exterior de Culler – Vogtmann , que puede considerarse como el espacio de Teichmüller para un ramo de círculos .
Un punto del espacio exterior es esencialmente un -grafo X homotópicamente equivalente a un ramo de n círculos junto con una cierta elección de una clase de homotopía libre de una equivalencia de homotopía de X al ramo de n círculos. Un -grafo es simplemente un grafo ponderado con pesos en . La suma de todos los pesos debe ser 1 y todos los pesos deben ser positivos. Para evitar la ambigüedad (y para obtener un espacio de dimensión finita) se requiere además que la valencia de cada vértice sea al menos 3.
Una visión más descriptiva que evita la equivalencia de homotopía f es la siguiente. Podemos fijar una identificación del grupo fundamental del ramo de n círculos con el grupo libre en n variables. Además, podemos elegir un árbol maximal en X y elegir para cada arista restante una dirección. Ahora asignaremos a cada arista restante e una palabra en de la siguiente manera. Considere el camino cerrado que comienza con e y luego regresa al origen de e en el árbol maximal. Componiendo este camino con f obtenemos un camino cerrado en un ramo de n círculos y, por lo tanto, un elemento en su grupo fundamental . Este elemento no está bien definido; si cambiamos f por una homotopía libre obtenemos otro elemento. Resulta que esos dos elementos son conjugados entre sí, y por lo tanto podemos elegir el único elemento cíclicamente reducido en esta clase de conjugación. Es posible reconstruir el tipo de homotopía libre de f a partir de estos datos. Este punto de vista tiene la ventaja de que evita la elección adicional de f y tiene la desventaja de que surge una ambigüedad adicional porque hay que elegir un árbol máximo y una orientación de los bordes restantes.
La operación de Out( F n ) en el espacio exterior se define de la siguiente manera. Todo automorfismo g de induce una equivalencia de autohomotopía g′ del ramo de n círculos. Al componer f con g′ se obtiene la acción deseada. Y en el otro modelo es solo la aplicación de g y la reducción cíclica de la palabra resultante.
Cada punto del espacio exterior determina una función de longitud única . Una palabra en determina, a través de la equivalencia de homotopía elegida, un camino cerrado en X. La longitud de la palabra es entonces la longitud mínima de un camino en la clase de homotopía libre de ese camino cerrado. Dicha función de longitud es constante en cada clase de conjugación. La asignación define una incrustación del espacio exterior en algún espacio proyectivo de dimensión infinita.
En el segundo modelo, un símplex abierto está dado por todos aquellos grafos que tienen combinatoriamente el mismo grafo subyacente y las mismas aristas están etiquetadas con las mismas palabras (solo la longitud de las aristas puede diferir). Los símplices de contorno de dicho símplex consisten en todos los grafos que surgen de este grafo al colapsar una arista. Si esa arista es un bucle, no se puede colapsar sin cambiar el tipo de homotopía del grafo. Por lo tanto, no hay símplex de contorno. Por lo tanto, uno puede pensar en el espacio exterior como un complejo simplicial con algunos símplices eliminados. Es fácil verificar que la acción de es simplicial y tiene grupos de isotropía finitos.
