árbol real

En matemáticas , los árboles reales (también llamados árboles ) son una clase de espacios métricos que generalizan árboles simpliciales . Surgen de forma natural en muchos contextos matemáticos, en particular en la teoría de grupos geométricos y la teoría de la probabilidad . También son los ejemplos más simples de espacios hiperbólicos de Gromov . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Definición y ejemplos

Definicion formal

Un triángulo en un árbol real.

Un espacio métrico es un árbol real si es un espacio geodésico donde cada triángulo es un trípode. Es decir, por cada tres puntos existe un punto tal que los segmentos geodésicos se cruzan en el segmento y también . Esta definición equivale a ser un "espacio hiperbólico cero" en el sentido de Gromov (todos los triángulos son "delgados a cero"). Los árboles reales también pueden caracterizarse por una propiedad topológica . Un espacio métrico es un árbol real si para cualquier par de puntos todas las incrustaciones topológicas del segmento tienen la misma imagen (que entonces es un segmento geodésico de a ). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y,\rho \in X}$ ${\displaystyle c=x\wedge y}$ ${\displaystyle [\rho ,x],[\rho ,y]}$ ${\displaystyle [\rho ,c]}$ ${\displaystyle c\in [x,y]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,y\in X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma (0)=x,\,\sigma (1)=y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

Ejemplos simples

• Si es un gráfico conexo con la métrica combinatoria entonces es un árbol real si y sólo si es un árbol (es decir, no tiene ciclos ). A este tipo de árbol se le suele llamar árbol simplicial. Se caracterizan por la siguiente propiedad topológica: un árbol real es simplicial si y sólo si el conjunto de puntos singulares de (puntos cuyo complemento en tiene tres o más componentes conexos) es cerrado y discreto en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$
• El árbol obtenido de la siguiente manera no es simple. Comience con el intervalo [0, 2] y pegue, para cada entero positivo n , un intervalo de longitud 1/ n al punto 1 − 1/ n en el intervalo original. El conjunto de puntos singulares es discreto, pero no puede ser cerrado ya que 1 es un punto ordinario en este árbol. Pegar un intervalo a 1 daría como resultado un conjunto cerrado de puntos singulares a expensas de la discreción. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• La métrica de París convierte al avión en un árbol real. Se define de la siguiente manera: se fija un origen , y si dos puntos están en el mismo rayo desde , su distancia se define como la distancia euclidiana. En caso contrario, su distancia se define como la suma de las distancias euclidianas de estos dos puntos al origen . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$
• El plano bajo la métrica de París es un ejemplo de espacio erizo , una colección de segmentos de línea unidos en un punto final común. Cualquier espacio así es un árbol real.

Caracterizaciones

Visualización de la condición de los cuatro puntos y la hiperbolicidad 0. En verde:  ; en azul: . ${\displaystyle (x,y)_{t}=(y,z)_{t}}$ ${\displaystyle (x,z)_{t}}$

Aquí hay caracterizaciones equivalentes de árboles reales que pueden usarse como definiciones:

1) (similar a los árboles como gráficos) Un árbol real es un espacio métrico geodésico que no contiene ningún subconjunto homeomorfo a un círculo. ^[1]

2) Un árbol real es un espacio métrico conexo que tiene la condición de cuatro puntos ^[2] (ver figura): ${\displaystyle (X,d)}$

Para todos . ${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle d(x,y)+d(z,t)\leq \max[d(x,z)+d(y,t)\,;\,d(x,t)+d(y,z)]}$

3) Un árbol real es un espacio métrico hiperbólico 0 conectado ^[3] (ver figura). Formalmente,

Para todos ${\displaystyle x,y,z,t\in X,}$ ${\displaystyle (x,y)_{t}\geq \min[(x,z)_{t}\,;\,(y,z)_{t}],}$

donde denota el producto de Gromov de y con respecto a , es decir, ${\displaystyle (x,y)_{t}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}\left(d(x,t)+d(y,t)-d(x,y)\right).}$

4) (similar a la caracterización de los plátanos por su proceso de contorno). Considere una excursión positiva de una función. En otras palabras, sea una función continua de valor real y un intervalo tal que y para . ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle e(a)=e(b)=0}$ ${\displaystyle e(t)>0}$ ${\displaystyle t\in ]a,b[}$

Para , defina una relación pseudométrica y de equivalencia con: ${\displaystyle x,y\in [a,b]}$ ${\displaystyle x\leq y}$

${\displaystyle d_{e}(x,y):=e(x)+e(y)-2\min(e(z)\,;z\in [x,y]),}$

${\displaystyle x\sim _{e}y\Leftrightarrow d_{e}(x,y)=0.}$

Entonces, el espacio cociente es un árbol real. ^[3] Intuitivamente, los mínimos locales de la excursión e son los padres de los máximos locales . Otra forma visual de construir el árbol real a partir de una excursión es "poner pegamento" debajo de la curva de e y "doblar" esta curva, identificando los puntos pegados (ver animación). ${\displaystyle ([a,b]/\sim _{e}\,,\,d_{e})}$

HPartant d'une excursion e (en noir), la deformación (en vert) representa le « pliage » de la courbe jusqu'au « collage » des pointes d'une même classe d'equivalence, l'état final est l'arbre réel associé à e .

Ejemplos

Los árboles reales suelen aparecer, en diversas situaciones, como límites de espacios métricos más clásicos.

árboles brownianos

Un árbol browniano ^[4] es un proceso estocástico cuyo valor es casi con seguridad un árbol real (no simple). Los árboles brownianos surgen como límites de varios procesos aleatorios en árboles finitos. ^[5]

Ultralímites de espacios métricos

Cualquier ultralímite de una secuencia de espacios hiperbólicos es un árbol real. En particular, el cono asintótico de cualquier espacio hiperbólico es un árbol real. ${\displaystyle (X_{i})}$ ${\displaystyle \delta _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{i}\to 0}$

Límite de acciones grupales.

Sea un grupo . Para una secuencia de espacios basados ​​existe una noción de convergencia a un espacio basado debido a M. Bestvina y F. Paulin. Cuando los espacios son hiperbólicos y las acciones son ilimitadas, el límite (si existe) es un árbol real. ^[6] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X_{i},*_{i},\rho _{i})}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (X_{\infty },x_{\infty },\rho _{\infty })}$

Un ejemplo sencillo se obtiene tomando donde hay una superficie compacta y la cobertura universal de con la métrica (donde hay una métrica hiperbólica fija en ). ${\displaystyle G=\pi _{1}(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle i\rho }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S}$

Esto es útil para producir acciones de grupos hiperbólicos en árboles reales. Este tipo de acciones se analizan mediante la llamada máquina Rips . Un caso de particular interés es el estudio de la degeneración de grupos que actúan propiamente de forma discontinua en un espacio hiperbólico real (esto es anterior al trabajo de Rips, Bestvina y Paulin y se debe a J. Morgan y P. Shalen ^[7] ).

Grupos algebraicos

Si se trata de un campo con una valoración ultramétrica , entonces el edificio Bruhat-Tits es un árbol real. Es simplicial si y sólo si las valoraciones son discretas. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(F)}$

Generalizaciones

Λ {\displaystyle \Lambda} -árboles

Si es un grupo abeliano totalmente ordenado existe una noción natural de una distancia con valores en (los espacios métricos clásicos corresponden a ). Existe una noción de -tree ^[8] que recupera árboles simpliciales cuando y árboles reales cuando . Se describió la estructura de grupos presentados finitamente que actúan libremente sobre árboles. ^[9] En particular, tal grupo actúa libremente en algún árbol. ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \Lambda =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Edificios reales

Los axiomas de un edificio se pueden generalizar para dar una definición de edificio real. Estos surgen, por ejemplo, como conos asintóticos de espacios simétricos de rango superior o como edificios de Bruhat-Tits de grupos de rango superior sobre campos valorados.

Ver también

• Dendroid (topología)
• Espacio arbolado

Referencias

1. Chiswell, Ian (2001). Introducción a los árboles [lambda]. Singapur: World Scientific. ISBN 978-981-281-053-3. OCLC  268962256.
2. Peter Buneman, Una nota sobre las propiedades métricas de los árboles , Revista de teoría combinatoria, B (17), p. 48-50, 1974.
3. Evans, Stevan N. (2005). Probabilidad y árboles reales . Escuela de Été de Probabilités de Saint-Flour XXXV.
4. Aldous, D. (1991), "El árbol aleatorio continuo I", Annals of Probability , 19 : 1–28, doi : 10.1214/aop/1176990534
5. Aldous, D. (1991), "El árbol aleatorio continuo III", Annals of Probability , 21 : 248–289
6. Bestvina, Mladen (2002), " -árboles en topología, geometría y teoría de grupos", Manual de topología geométrica, Elsevier, págs. 55–91, ISBN ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 9780080532851
7. Shalen, Peter B. (1987), "Dendrología de grupos: una introducción", en Gersten, SM (ed.), Ensayos sobre teoría de grupos , Matemáticas. Ciencia. Res. Inst. Publicado, vol. 8, Springer-Verlag , págs. 265–319, ISBN 978-0-387-96618-2, señor  0919830
8. Chiswell, Ian (2001), Introducción a los árboles Λ , River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 981-02-4386-3, SEÑOR  1851337
9. O. Kharlampovich, A. Myasnikov, D. Serbin, Acciones, funciones de longitud y palabras no arquímedes IJAC 23, No. 2, 2013.{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)