Ultralímite

En matemáticas , un ultralímite es una construcción geométrica que asigna un espacio métrico límite a una secuencia de espacios métricos . El concepto captura el comportamiento limitante de las configuraciones finitas en los espacios empleando un ultrafiltro para evitar la necesidad de considerar repetidamente las subsecuencias para asegurar la convergencia. Los ultralímites generalizan la convergencia de Gromov-Hausdorff en espacios métricos. ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}}$

Ultrafiltros

Un ultrafiltro , denotado como ω , en el conjunto de números naturales es un conjunto de subconjuntos no vacíos de (cuya función de inclusión puede considerarse como una medida) que está cerrado bajo intersección finita, cerrado hacia arriba y también que, dado cualquier subconjunto X de , contiene X o \ X . Un ultrafiltro en no es principal si no contiene ningún conjunto finito. ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Límite de una secuencia de puntos con respecto a un ultrafiltro

En lo que sigue, ω es un ultrafiltro no principal en . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Si es una secuencia de puntos en un espacio métrico ( X , d ) y x ∈ X , entonces el punto x se llama ω - límite de x _n , denotado como , si para cada se cumple que ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$ ${\displaystyle \epsilon >0}$

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

Se observa que,

• Si existe un ω -límite de una secuencia de puntos, es único.
• Si en el sentido estándar, . (Para que esta propiedad se cumpla, es crucial que el ultrafiltro no sea principal). ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$ ${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$

Un hecho fundamental ^[1] establece que, si ( X , d ) es compacto y ω es un Ultrafiltro no principal en , el ω -límite de cualquier secuencia de puntos en X existe (y es necesariamente único). ${\displaystyle \mathbb {N} }$

En particular, cualquier secuencia acotada de números reales tiene un límite ω bien definido en , ya que los intervalos cerrados son compactos . ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ultralímite de espacios métricos con puntos base especificados

Sea ω un ultrafiltro no principal en . Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos con puntos base especificados p _n ∈ X _n . ${\displaystyle \mathbb {N} }$

Supóngase que una sucesión , donde x _n ∈ X _n , es admisible. Si la sucesión de números reales ( d _n ( x _n , p _n )) _n está acotada, es decir, si existe un número real positivo C tal que , entonces denotemos el conjunto de todas las sucesiones admisibles por . ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

De la desigualdad triangular se sigue que para dos sucesiones admisibles cualesquiera y la sucesión ( d _n ( x _n , y _n )) _n está acotada y por lo tanto existe un ω -límite . Se puede definir una relación en el conjunto de todas las sucesiones admisibles de la siguiente manera. Para , hay siempre que Esto ayuda a demostrar que es una relación de equivalencia en ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$ ${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}.}$

El ultralímite con respecto a ω de la secuencia ( X _n , d _n , p _n ) es un espacio métrico definido de la siguiente manera. ^[2] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$

Escrito como un conjunto, . ${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$

Para dos clases de equivalencia de secuencias admisibles y , hay ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$ ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$

Esto demuestra que está bien definido y que es una métrica en el conjunto . ${\displaystyle d_{\infty }}$ ${\displaystyle X_{\infty }}$

Denotar . ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Sobre puntos base en el caso de espacios uniformemente acotados

Supóngase que ( X _n , d _n ) es una sucesión de espacios métricos de diámetro uniformemente acotado, es decir, existe un número real C > 0 tal que diam( X _n ) ≤ C para cada . Entonces, para cualquier elección p _n de puntos base en X _n, toda sucesión es admisible. Por lo tanto, en esta situación, la elección de puntos base no tiene que especificarse al definir un ultralímite, y el ultralímite depende solo de ( X _n , d _n ) y de ω pero no depende de la elección de una sucesión de puntos base . En este caso, se escribe . ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })}$ ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$

Propiedades básicas de los ultralímites

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos geodésicos entonces es también un espacio métrico geodésico. ^[1] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
2. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos completos entonces es también un espacio métrico completo. ^{[3] [4]} ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

En realidad, por construcción, el espacio límite siempre está completo, incluso cuando ( X _n , d _n ) es una secuencia repetida de un espacio ( X , d ) que no está completo. ^[5]

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos compactos que convergen a un espacio métrico compacto ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff (esto implica automáticamente que los espacios ( X _n , d _n ) tienen diámetro uniformemente acotado), entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Supóngase que ( X _n , d _n ) son espacios métricos propios y que son puntos base tales que la sucesión puntiaguda ( X _n , d _n , p _n ) converge a un espacio métrico propio ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff . Entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ^[1] ${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
3. Sea κ ≤0 y sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios CAT( κ )-métricos . Entonces el ultralímite también es un CAT( κ )-espacio. ^[1] ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$
4. Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios CAT( κ _n )-métricos donde Entonces el ultralímite es árbol real . ^[1] ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$

Conos asintóticos

Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de los espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal en y sea p _n  ∈  X una secuencia de puntos base. Entonces el ω –ultralímite de la secuencia se llama cono asintótico de X con respecto a ω y y se denota . A menudo se toma la secuencia de puntos base como constante, p _n = p para algún p ∈ X ; en este caso el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por o simplemente . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

La noción de cono asintótico juega un papel importante en la teoría de grupos geométricos ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes cuasi-isométricos de espacios métricos en general y de grupos finitamente generados en particular. ^[6] Los conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. ^[7]

Ejemplos

1. Sea ( X , d ) un espacio métrico compacto y pongamos ( X _n , d _n )=( X , d ) para cada . Entonces el ultralímite es isométrico a ( X , d ). ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
2. Sean ( X , d _X ) y ( Y , d _Y ) dos espacios métricos compactos distintos y sea ( X _n , d _n ) una sucesión de espacios métricos tales que para cada n o bien ( X _n , d _n )=( X , d _X ) o bien ( X _n , d _n )=( Y , d _Y ). Sean y . Por tanto, A ₁ , A ₂ son disjuntos y Por lo tanto, uno de A ₁ , A ₂ tiene ω -medida 1 y el otro tiene ω -medida 0. Por tanto, es isométrica a ( X , d _X ) si ω ( A ₁ )=1 y es isométrica a ( Y , d _Y ) si ω ( A ₂ )=1. Esto demuestra que el ultralímite puede depender de la elección de un ultrafiltro ω . ${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$ ${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$ ${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$
3. Sea ( M , g ) una variedad riemanniana compacta conexa de dimensión m , donde g es una métrica riemanniana sobre M . Sea d la métrica sobre M correspondiente a g , de modo que ( M , d ) es un espacio métrico geodésico . Elijamos un punto base p ∈ M . Entonces el ultralímite (e incluso el límite ordinario de Gromov-Hausdorff ) es isométrico al espacio tangente T _p M de M en p con la función de distancia sobre T _p M dada por el producto interno g(p) . Por lo tanto, el ultralímite es isométrico al espacio euclidiano con la métrica euclidiana estándar . ^[8] ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
4. Sea el espacio euclidiano estándar de dimensión m con la métrica euclidiana estándar. Entonces el cono asintótico es isométrico a . ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$
5. Sea la red entera bidimensional donde la distancia entre dos puntos de la red está dada por la longitud del camino de borde más corto entre ellos en la red. Entonces el cono asintótico es isométrico a donde es la métrica del taxi (o L ¹ -métrica) en . ${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$ ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$ ${\displaystyle d_{1}\,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$
6. Sea ( X , d ) un espacio métrico geodésico δ -hiperbólico para algún δ ≥0. Entonces el cono asintótico es un árbol real . ^{[1] [9]} ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
7. Sea ( X , d ) un espacio métrico de diámetro finito. Entonces el cono asintótico es un único punto. ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$
8. Sea ( X , d ) un espacio CAT(0)-métrico . Entonces el cono asintótico también es un espacio CAT(0). ^[1] ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

Notas al pie

1. M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3-variedades , Análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
2. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. American Mathematical Society , 2003. ISBN  978-0-8218-3332-2 ; Definición 7.19, pág. 107.
3. L. Van den Dries, AJ Wilkie, Sobre el teorema de Gromov relativo a grupos de crecimiento polinomial y lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs. 349–374.
4. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. American Mathematical Society , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Proposición 7.20, pág. 108. 
5. Bridson, Haefliger "Espacios métricos de curvatura no positiva" Lema 5.53
6. John Roe. Conferencias sobre geometría básica. American Mathematical Society , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
7. Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), Espacios graduados en árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), núm. 5, págs. 959–1058.
8. Yu. Burago, M. Gromov y G. Perel'man. Espacios de AD Aleksandrov con curvaturas acotadas por debajo (en ruso), Uspekhi Matematicheskih Nauk vol. 47 (1992), págs. 3-51; traducido en: Russian Math. Surveys vol. 47, no. 2 (1992), págs. 1-58
9. John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. American Mathematical Society , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Ejemplo 7.30, pág. 118. 

Referencias

• John Roe. Conferencias sobre geometría gruesa. American Mathematical Society , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 ; Cap. 7. 
• L. Van den Dries, AJ Wilkie, Sobre el teorema de Gromov relativo a grupos de crecimiento polinomial y lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs. 349–374.
• M. Kapovich B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3-variedades , Análisis geométrico y funcional , vol. 5 (1995), núm. 3, págs. 582–603
• M. Kapovich. Variedades hiperbólicas y grupos discretos. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4 ; Cap. 9. 
• Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), Espacios graduados en árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), núm. 5, págs. 959–1058.
• M. Gromov. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos. Progress in Mathematics vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9 ; Cap. 3. 
• B. Kleiner y B. Leeb, Rigidez de cuasi-isometrías para espacios simétricos y edificios euclidianos. Publications Mathématiques de L'IHÉS . Volumen 86, Número 1, diciembre de 1997, pp. 115–197.

Véase también

• Teoría de grupos geométricos