Glosario de geometría riemanniana y métrica

Glosario de matemáticas

Este es un glosario de algunos términos utilizados en geometría de Riemann y geometría métrica ; no cubre la terminología de topología diferencial .

Los siguientes artículos también pueden resultar útiles; contienen vocabulario especializado o proporcionan exposiciones más detalladas de las definiciones que se dan a continuación.

• Conexión
• Curvatura
• Espacio métrico
• variedad de riemann

Ver también:

• Glosario de topología general
• Glosario de geometría diferencial y topología.
• Lista de temas de geometría diferencial.

A menos que se indique lo contrario, las letras X , Y , Z a continuación denotan espacios métricos, M , N denotan variedades de Riemann, | xy | o denota la distancia entre los puntos xey en X . La palabra en cursiva denota una autorreferencia a este glosario. ${\displaystyle |xy|_{X}}$

Una advertencia : muchos términos en geometría riemanniana y métrica, como función convexa , conjunto convexo y otros, no tienen exactamente el mismo significado que en el uso matemático general.

A

Espacio de Alexandrov una generalización de las variedades de Riemann con límites de curvatura superior, inferior o integral (el último funciona solo en la dimensión 2)

Colector casi plano

La isometría en arco es la misma que la isometría de trayectoria .

Autoparalelo lo mismo que totalmente geodésico

B

Baricentro , véase centro de masa .

mapa bi-Lipschitz. Una aplicación se llama bi-Lipschitz si existen constantes positivas c y C tales que para cualquier x e y en X ${\displaystyle f:X\to Y}$

${\displaystyle c|xy|_{X}\leq |f(x)f(y)|_{Y}\leq C|xy|_{X}}$

Función de Busemann dado un rayo , γ : [0, ∞)→ X , la función de Busemann está definida por

${\displaystyle B_{\gamma }(p)=\lim _{t\to \infty }(|\gamma (t)-p|-t)}$

C

El teorema de Cartan-Hadamard es la afirmación de que una variedad de Riemann completa conectada, simplemente conectada con curvatura seccional no positiva es difeomorfa a R ⁿ a través del mapa exponencial; para espacios métricos, la afirmación de que un espacio métrico geodésico completo conectado, simplemente conectado con curvatura no positiva en el sentido de Alexandrov es un espacio (globalmente) CAT(0) .

Cartan extendió la relatividad general de Einsteina la teoría de Einstein-Cartan , utilizando la geometría de Riemann-Cartan en lugar de la geometría de Riemann. Esta extensión proporciona torsión afín , lo que permite tensores de curvatura no simétricos y la incorporación de acoplamiento espín-órbita .

Centro de masa . Un punto q  ∈  M se llama centro de masa de los puntos si es un punto de mínimo global de la función ${\displaystyle p_{1},p_{2},\dots ,p_{k}}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{i}|p_{i}x|^{2}}$

Tal punto es único si todas las distancias son menores que el radio de convexidad . ${\displaystyle |p_{i}p_{j}|}$

Símbolo de Christoffel

Colector colapsante

Espacio completo

Terminación

Un mapa conforme es un mapa que conserva los ángulos.

Conformemente plana, una variedad M es conformemente plana si es localmente equivalente a un espacio euclidiano; por ejemplo, la esfera estándar es conformemente plana.

Puntos conjugados: dos puntos p y q en una geodésicase llaman conjugados si hay un campo de Jacobi enel que tiene un cero en p y q . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma }$

Función convexa . Una función f en una variedad de Riemann es convexa si para cualquier geodésicala funciónes convexa . Una función f se llama-convexa si para cualquier geodésicacon parámetro natural, la funciónes convexa . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle f\circ \gamma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle f\circ \gamma (t)-\lambda t^{2}}$

Convexo Un subconjunto K de una variedad de Riemann M se llama convexo si para dos puntos cualesquiera en K existe un camino más corto que los conecta y que se encuentra completamente en K , ver también totalmente convexo .

Paquete cotangente

Derivada covariante

lugar de corte

D

El diámetro de un espacio métrico es el supremo de distancias entre pares de puntos.

La superficie desarrollable es una superficie isométrica al plano.

La dilatación de una aplicación entre espacios métricos es el mínimo de números L tales que la aplicación dada es L - Lipschitz .

mi

Mapa exponencial : Mapa exponencial (teoría de Lie) , Mapa exponencial (geometría de Riemann)

F

Métrica de Finsler

La primera forma fundamental para una incrustación o inmersión es el retroceso del tensor métrico .

GRAMO

Geodésica es una curva que minimiza localmente la distancia .

El flujo geodésico es un flujo sobre un haz tangente TM de una variedad M , generado por un campo vectorial cuyas trayectorias son de la formadondees una geodésica . ${\displaystyle (\gamma (t),\gamma '(t))}$ ${\displaystyle \gamma }$

Convergencia Gromov-Hausdorff

El espacio métrico geodésico es un espacio métrico donde dos puntos cualesquiera son los puntos finales de una geodésica minimizadora .

h

El espacio de Hadamard es un espacio completo simplemente conexo con curvatura no positiva.

Horósfera un conjunto de niveles de la función Busemann .

I

Radio de inyectividad El radio de inyectividad en un punto p de una variedad de Riemann es el radio más grande para el cual el mapa exponencial en p es un difeomorfismo . El radio de inyectividad de una variedad de Riemann es el mínimo de los radios de inyectividad en todos los puntos. Véase también lugar de corte .

Para variedades completas, si el radio de inyectividad en p es un número finito r , entonces hay una geodésica de longitud 2 r que comienza y termina en p o hay un punto q conjugado con p (ver punto conjugado arriba) y en el distancia r de p . Para una variedad de Riemann cerrada, el radio de inyectividad es la mitad de la longitud mínima de una geodésica cerrada o la distancia mínima entre puntos conjugados en una geodésica.

Infranilmanifold Dado un grupo de Lie nilpotente simplemente conectado N que actúa sobre sí mismo mediante multiplicación por la izquierda y un grupo finito de automorfismos F de N , se puede definir una acción del producto semidirecto sobre N. Un espacio orbital de N por un subgrupo discreto del cual actúa libremente sobre N se llama variedad infranil . Una variedad infranil está cubierta finitamente por una variedad nil . ${\displaystyle N\rtimes F}$ ${\displaystyle N\rtimes F}$

La isometría es un mapa que preserva las distancias.

Métrica intrínseca

j

Campo de Jacobi Un campo de Jacobi es un campo vectorial en una geodésica γ que se puede obtener de la siguiente manera: Tome una familia de geodésicas de un parámetro suavecon, luego el campo de Jacobi se describe por ${\displaystyle \gamma _{\tau }}$ ${\displaystyle \gamma _{0}=\gamma }$

${\displaystyle J(t)=\left.{\frac {\partial \gamma _{\tau }(t)}{\partial \tau }}\right|_{\tau =0}.}$

curva de jordania

k

Matar campo vectorial

l

La métrica de longitud es la misma que la métrica intrínseca .

La conexión Levi-Civita es una forma natural de diferenciar campos vectoriales en variedades de Riemann.

Convergencia de Lipschitz la convergencia definida por la métrica de Lipschitz.

La distancia de Lipschitz entre espacios métricos es el mínimo de números r tales que existe un mapa biyectivo bi-Lipschitz entre estos espacios con constantes exp(- r ), exp( r ).

mapa de Lipschitz

El mapa logarítmico es el inverso derecho del mapa exponencial.

METRO

Curvatura media

bola métrica

tensor métrico

La superficie mínima es una subvariedad con (vector de) curvatura media cero.

norte

La parametrización natural es la parametrización por longitud.

Neto . Un subconjunto S de un espacio métrico X se llama -net si para cualquier punto en X hay un punto en S en la distancia . Esto es distinto de las redes topológicas que generalizan límites. ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle \leq \epsilon }$

Nilmanifold : elemento del conjunto mínimo de variedades que incluye un punto y tiene la siguiente propiedad: cualquierpaquete orientado sobre una variedad nil es una variedad nil. También se puede definir como un factor de un grupo de Lie nilpotente conectado mediante una red . ${\displaystyle S^{1}}$

Fibrado normal : asociado a una incrustación de una variedad M en un espacio euclidiano ambiental, el fibrado normal es un fibrado vectorial cuya fibra en cada punto p es el complemento ortogonal (in) del espacio tangente. ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$ ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{N}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$

Mapa no expandible igual que el mapa corto

PAG

Transporte paralelo

Espacio poliédrico un complejo simplicial con una métrica tal que cada simplex con métrica inducida es isométrico a un simplex en el espacio euclidiano .

La curvatura principal son las curvaturas normales máxima y mínima en un punto de una superficie.

La dirección principal es la dirección de las curvaturas principales.

Isometría de ruta

El espacio métrico propio es un espacio métrico en el que toda bola cerrada es compacta . De manera equivalente, si todo subconjunto acotado cerrado es compacto. Todo espacio métrico propio está completo .

q

Cuasigeodésico tiene dos significados; Aquí te damos los más comunes. Un mapa (donde hay un subsegmento) se llama cuasigeodésico si hay constantes y tales que para cada ${\displaystyle f:I\to Y}$ ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C\geq 0}$ ${\displaystyle x,y\in I}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

Tenga en cuenta que una cuasigeodésica no es necesariamente una curva continua.

Cuasiisometría . Un mapase llama cuasi-isometría si hay constantesytales que ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle C\geq 0}$

${\displaystyle {1 \over K}d(x,y)-C\leq d(f(x),f(y))\leq Kd(x,y)+C.}$

y cada punto en Y tiene una distancia como máximo C desde algún punto de f ( X ). Tenga en cuenta que no se supone que una cuasiisometría sea continua. Por ejemplo, cualquier aplicación entre espacios métricos compactos es una cuasi isometría. Si existe una cuasiisometría de X a Y, entonces se dice que X e Y son cuasiisométricos .

R

El radio del espacio métrico es el mínimo de radios de bolas métricas que contienen el espacio por completo.

El radio de convexidad en un punto p de una variedad de Riemann es el radio más grande de una bola que es un subconjunto convexo .

El rayo es una geodésica infinita de un lado que se minimiza en cada intervalo.

tensor de curvatura de Riemann

variedad de riemann

La inmersión de Riemann es un mapa entre variedades de Riemann que es inmersión y submetría al mismo tiempo.

S

La segunda forma fundamental es una forma cuadrática en el espacio tangente de la hipersuperficie, generalmente denotada por II, una forma equivalente de describir el operador de forma de una hipersuperficie.

${\displaystyle {\text{II}}(v,w)=\langle S(v),w\rangle }$

También se puede generalizar a una codimensión arbitraria, en cuyo caso es una forma cuadrática con valores en el espacio normal.

El operador de forma para una hipersuperficie M es un operador lineal en espacios tangentes, S _p :  T _p M → T _p M . Si n es un campo unitario normal a M y v es un vector tangente, entonces

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(No existe un acuerdo estándar sobre si usar + o − en la definición).

El mapa corto es un mapa de distancia que no aumenta.

Colector liso

La variedad solar es un factor de un grupo de Lie conectado y solucionable mediante una red .

Submetría: un mapa corto f entre espacios métricos se llama submetría si existe R > 0 tal que para cualquier punto x y radio r < R tenemos que la imagen de la r -bola métrica es una r -bola, es decir

${\displaystyle f(B_{r}(x))=B_{r}(f(x))}$

Colector subriemanniano

Sístole . La k -sístole de M ,, es el volumen mínimo de k -ciclo no homólogo a cero. ${\displaystyle syst_{k}(M)}$

t

Paquete tangente

Totalmente convexo. Un subconjunto K de una variedad de Riemann M se llama totalmente convexo si para dos puntos cualesquiera en K cualquier geodésica que los conecte se encuentra completamente en K , ver también convexo .

La subvariedad totalmente geodésica es una subvariedad tal que todas las geodésicas de la subvariedad también son geodésicas de la variedad circundante.

Ud.

El espacio métrico exclusivamente geodésico es un espacio métrico donde dos puntos cualesquiera son los puntos finales de una geodésica minimizadora única .

W.

La métrica de palabras en un grupo es una métrica del gráfico de Cayley construida utilizando un conjunto de generadores.