Convexidad geodésica

En matemáticas , específicamente en geometría de Riemann , la convexidad geodésica es una generalización natural de la convexidad para conjuntos y funciones de variedades de Riemann . Es común eliminar el prefijo "geodésico" y referirse simplemente a "convexidad" de un conjunto o función.

Definiciones

Sea ( M ,  g ) una variedad de Riemann.

• Se dice que un subconjunto C de M es un conjunto geodésicamente convexo si, dados dos puntos cualesquiera en C , hay una geodésica minimizadora única contenida dentro de C que une esos dos puntos.
• Sea C un subconjunto geodésicamente convexo de M . Se dice que una función es ( estrictamente ) geodésicamente convexa si la composición ${\displaystyle f:C\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f\circ \gamma :[0,T]\to \mathbf {R} }$

es una función (estrictamente) convexa en el sentido habitual para cada arco geodésico de velocidad unitaria γ  : [0,  T ] →  M contenido dentro de C .

Propiedades

• Una variedad de Riemann geodésicamente convexa (subconjunto de una) es también un espacio métrico convexo con respecto a la distancia geodésica.

Ejemplos

• Un subconjunto del espacio euclidiano de n dimensiones E ⁿ con su métrica plana habitual es geodésicamente convexo si y sólo si es convexo en el sentido habitual, y de manera similar para las funciones.
• El "hemisferio norte" de la esfera bidimensional S ² con su métrica habitual es geodésicamente convexo. Sin embargo, el subconjunto A de S ² que consta de aquellos puntos con latitud más al norte que 45° sur no es geodésicamente convexo, ya que el arco geodésico minimizador ( círculo máximo ) que une dos puntos distintos en el límite sur de A deja a A (por ejemplo, en el caso de dos puntos separados 180° en longitud , el arco geodésico pasa sobre el polo sur).

Referencias

• Rapcsák, Tamás (1997). Optimización no lineal suave en R ⁿ . Optimización no convexa y sus aplicaciones. vol. 19. Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-4680-7. SEÑOR  1480415.

• Udriste, Constantin (1994). Funciones convexas y métodos de optimización en variedades de Riemann . Matemáticas y sus Aplicaciones. vol. 297. Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. ISBN 0-7923-3002-1.