Espacio métrico convexo

Una ilustración de un espacio métrico convexo.

En matemáticas , los espacios métricos convexos son, intuitivamente, espacios métricos con la propiedad de que cualquier "segmento" que una dos puntos en ese espacio tiene otros puntos además de los puntos finales.

Formalmente, considere un espacio métrico ( X ,  d ) y sean x e y dos puntos en X . Se dice que un punto z en X está entre xey si los tres puntos son distintos, y

${\displaystyle d(x,z)+d(z,y)=d(x,y),\,}$

es decir, la desigualdad del triángulo se convierte en una igualdad. Un espacio métrico convexo es un espacio métrico ( X ,  d ) tal que, para dos puntos distintos x e y en X , existe un tercer punto z en X que se encuentra entre x e y .

Convexidad métrica:

• no implica convexidad en el sentido habitual para subconjuntos del espacio euclidiano (ver el ejemplo de los números racionales)
• ni implica conexión de caminos (ver el ejemplo de los números racionales)
• tampoco implica convexidad geodésica para variedades de Riemann (considérese, por ejemplo, el plano euclidiano al que se le ha quitado un disco cerrado).

Ejemplos

• Los espacios euclidianos, es decir, el espacio tridimensional habitual y sus análogos para otras dimensiones, son espacios métricos convexos. Dados dos puntos distintos y en tal espacio, el conjunto de todos los puntos que satisfacen la "igualdad del triángulo" anterior forma el segmento de línea entre y que siempre tiene otros puntos, excepto que , de hecho, tiene un continuo de puntos. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y,}$

Un círculo como espacio métrico convexo.

• Cualquier conjunto convexo en un espacio euclidiano es un espacio métrico convexo con la norma euclidiana inducida. Para conjuntos cerrados lo contrario también es cierto: si un subconjunto cerrado de un espacio euclidiano junto con la distancia inducida es un espacio métrico convexo, entonces es un conjunto convexo (este es un caso particular de una afirmación más general que se analizará más adelante). .
• Un círculo es un espacio métrico convexo, si la distancia entre dos puntos se define como la longitud del arco más corto del círculo que los conecta.

Segmentos métricos

Sea un espacio métrico (que no es necesariamente convexo). Un subconjunto de se llama segmento métrico entre dos puntos distintos y en caso de que exista un intervalo cerrado en la recta real y una isometría ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle \gamma :[a,b]\to X,\,}$

tal que y ${\displaystyle \gamma ([a,b])=S,}$ ${\displaystyle \gamma (a)=x}$ ${\displaystyle \gamma (b)=y.}$

Está claro que cualquier punto en dicho segmento métrico, excepto los "puntos finales" y está entre y. Como tal, si un espacio métrico admite segmentos métricos entre dos puntos distintos en el espacio, entonces es un espacio métrico convexo. ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle (X,d)}$

Lo contrario no es cierto, en general. Los números racionales forman un espacio métrico convexo con la distancia habitual, pero no existe ningún segmento que conecte dos números racionales y esté formado únicamente por números racionales. Sin embargo, si es un espacio métrico convexo y, además, es completo , se puede demostrar que para dos puntos cualesquiera existe un segmento métrico que los conecta (que no es necesariamente único). ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle x\neq y}$ ${\displaystyle X}$

Espacios métricos convexos y conjuntos convexos.

Como se menciona en la sección de ejemplos, los subconjuntos cerrados de espacios euclidianos son espacios métricos convexos si y sólo si son conjuntos convexos. Entonces es natural pensar que los espacios métricos convexos generalizan la noción de convexidad más allá de los espacios euclidianos, con los segmentos lineales habituales reemplazados por segmentos métricos.

Es importante señalar, sin embargo, que la convexidad métrica definida de esta manera no tiene una de las propiedades más importantes de los conjuntos convexos euclidianos, que es que la intersección de dos conjuntos convexos es convexa. De hecho, como se menciona en la sección de ejemplos, un círculo, con la distancia entre dos puntos medida a lo largo del arco más corto que los conecta, es un espacio métrico convexo ( completo ). Sin embargo, si y son dos puntos en un círculo diametralmente opuestos entre sí, existen dos segmentos métricos que los conectan (los dos arcos en los que estos puntos dividen el círculo), y esos dos arcos son métricamente convexos, pero su intersección es el conjunto que no es métricamente convexo. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \{x,y\}}$

Ver también

• Métrica intrínseca

Referencias

• Khamsi, Mohamed A.; Kirk, William A. (2001). Introducción a los espacios métricos y la teoría del punto fijo . Wiley-IEEE. ISBN 0-471-41825-0.

• Kaplansky, Irving (2001). Teoría de conjuntos y espacios métricos . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-2694-8.