Convexidad geodésica

En matemáticas —específicamente, en geometría de Riemann— la convexidad geodésica es una generalización natural de la convexidad de conjuntos y funciones a las variedades de Riemann . Es común omitir el prefijo "geodésica" y referirse simplemente a la "convexidad" de un conjunto o función .

Definiciones

Sea ( M ,  g ) una variedad riemanniana.

• Se dice que un subconjunto C de M es un conjunto geodésicamente convexo si, dados dos puntos en C , hay una geodésica minimizadora única contenida dentro de C que une esos dos puntos.
• Sea C un subconjunto geodésicamente convexo de M. Se dice que una función es una función ( estrictamente ) geodésicamente convexa si la composición ${\displaystyle f:C\to \mathbf {R} }$

${\displaystyle f\circ \gamma :[0,T]\to \mathbf {R} }$

es una función (estrictamente) convexa en el sentido habitual para cada arco geodésico de velocidad unitaria γ  : [0,  T ] →  M contenido dentro de C .

Propiedades

• Una variedad de Riemann geodésica convexa (subconjunto de una) es también un espacio métrico convexo con respecto a la distancia geodésica.

Ejemplos

• Un subconjunto del espacio euclidiano n -dimensional E ⁿ con su métrica plana habitual es geodésicamente convexo si y sólo si es convexo en el sentido habitual, y de manera similar para las funciones.
• El "hemisferio norte" de la esfera bidimensional S ² con su métrica habitual es geodésicamente convexo. Sin embargo, el subconjunto A de S ² que consiste en aquellos puntos con latitudes más al norte que 45° sur no es geodésicamente convexo, ya que el arco geodésico ( círculo máximo ) minimizador que une dos puntos distintos en el límite sur de A deja A (por ejemplo, en el caso de dos puntos separados 180° en longitud , el arco geodésico pasa sobre el polo sur).

Referencias

• Rapcsák, Tamás (1997). Optimización no lineal suave en R ⁿ . Optimización no convexa y sus aplicaciones. Vol. 19. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN 0-7923-4680-7.Señor 1480415  .

• Udriste, Constantin (1994). Funciones convexas y métodos de optimización en variedades de Riemann . Matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 297. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. ISBN. 0-7923-3002-1.