En matemáticas , la geometría sistólica es el estudio de las invariantes sistólicas de variedades y poliedros , tal como las concibió inicialmente Charles Loewner y desarrolló Mikhail Gromov , Michael Freedman , Peter Sarnak , Mikhail Katz , Larry Guth y otros, en sus formas aritmética, ergódica y manifestaciones topológicas. Véase también Introducción a la geometría sistólica .
La sístole de un espacio métrico compacto X es una invariante métrica de X , definida como la longitud mínima de un bucle no contráctil en X (es decir, un bucle que no puede contraerse hasta un punto en el espacio ambiental X ). En un lenguaje más técnico, minimizamos la longitud de los bucles libres que representan clases de conjugación no triviales en el grupo fundamental de X. Cuando X es una gráfica , el invariante generalmente se denomina circunferencia , desde el artículo de 1947 sobre la circunferencia de WT Tutte . [1] Posiblemente inspirado por el artículo de Tutte, Loewner comenzó a pensar en cuestiones sistólicas en superficies a fines de la década de 1940, lo que resultó en una tesis de 1950 de su alumno Pao Ming Pu . El término propiamente dicho "sístole" no fue acuñado hasta un cuarto de siglo después, por Marcel Berger .
Aparentemente, esta línea de investigación recibió un mayor impulso gracias a un comentario de René Thom , en una conversación con Berger en la biblioteca de la Universidad de Estrasburgo durante el año académico 1961-62, poco después de la publicación de los artículos de R. Accola y C. Blatter. Refiriéndose a estas desigualdades sistólicas, Thom supuestamente exclamó: ¡Mais c'est fondamental! [¡Estos resultados son de fundamental importancia!]
Posteriormente, Berger popularizó el tema en una serie de artículos y libros, el más reciente en la edición de marzo de 2008 de Notices of the American Mathematical Society (ver referencia a continuación). Una bibliografía en el sitio web sobre geometría y topología sistólica contiene actualmente más de 160 artículos. La geometría sistólica es un campo en rápido desarrollo, que presenta una serie de publicaciones recientes en revistas líderes. Recientemente (ver el artículo de 2006 de Katz y Rudyak más abajo), ha surgido el vínculo con la categoría Lusternik-Schnirelmann . La existencia de tal vínculo puede considerarse como un teorema de la topología sistólica .
Todo poliedro convexo centralmente simétrico P en R 3 admite un par de puntos opuestos (antipodales) y un camino de longitud L que los une y se encuentra en el límite ∂ P de P , que satisface
Una formulación alternativa es la siguiente. Cualquier cuerpo convexo centralmente simétrico de área de superficie A se puede apretar a través de una soga de longitud , y el ajuste más ajustado se logra con una esfera. Esta propiedad es equivalente a un caso especial de la desigualdad de Pu (ver más abajo), una de las desigualdades sistólicas más tempranas.
Para dar una idea preliminar del sabor del campo, se podrían hacer las siguientes observaciones. La idea central del comentario de Thom a Berger citado anteriormente parece ser el siguiente. Siempre que uno encuentra una desigualdad que relaciona invariantes geométricas, tal fenómeno es en sí mismo interesante; tanto más cuando la desigualdad es marcada (es decir, óptima). La desigualdad isoperimétrica clásica es un buen ejemplo.
En las cuestiones sistólicas sobre superficies, las identidades geométricas integrales juegan un papel particularmente importante. En términos generales, existe un área de relación de identidad integral, por un lado, y un promedio de energías de una familia adecuada de bucles, por el otro. Según la desigualdad de Cauchy-Schwarz , la energía es un límite superior para la longitud al cuadrado; por tanto se obtiene una desigualdad entre el área y el cuadrado de la sístole. Este enfoque funciona tanto para la desigualdad de Loewner
para el toro , donde el caso de igualdad se logra mediante el toro plano cuyas transformaciones de cubierta forman la red de números enteros de Eisenstein ,
y para la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real P 2 ( R ):
con igualdad caracterizando una métrica de curvatura gaussiana constante .
De hecho, una aplicación de la fórmula computacional para la varianza produce la siguiente versión de la desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico:
donde f es el factor de conformidad de la métrica con respecto a una unidad de área métrica plana en su clase conforme. Esta desigualdad puede considerarse análoga a la desigualdad de Bonnesen con defecto isoperimétrico, un fortalecimiento de la desigualdad isoperimétrica.
Recientemente se han descubierto una serie de nuevas desigualdades de este tipo, incluidos los límites inferiores del volumen universal. Aparecen más detalles en sístoles de superficies .
El resultado más profundo en este campo es la desigualdad de Gromov para la homotopía 1-sístole de una n -variedad esencial M :
donde C n es una constante universal que sólo depende de la dimensión de M . Aquí la sístole de homotopía sysπ 1 es , por definición, la longitud mínima de un bucle no contráctil en M. Una variedad se llama esencial si su clase fundamental [M] representa una clase no trivial en la homología de su grupo fundamental . La prueba involucra una nueva invariante llamada radio de llenado , introducida por Gromov, definida de la siguiente manera.
Denotaremos por A el anillo de coeficientes Z o Z 2 , dependiendo de si M es orientable o no. Entonces la clase fundamental , denotada [M] , de una variedad compacta de n dimensiones M es un generador de . Dada una incrustación de M en el espacio euclidiano E , establecemos
donde ι ε es el homomorfismo de inclusión inducido por la inclusión de M en su ε-vecindad U ε M en E .
Para definir un radio de llenado absoluto en una situación en la que M está equipado con una métrica de Riemann g , Gromov procede de la siguiente manera. Se explota una incrustación debida a C. Kuratowski. Se incrusta M en el espacio de Banach L ∞ ( M ) de funciones de Borel acotadas en M , equipadas con la norma sup . Es decir, asignamos un punto x ∈ M a la función f x ∈ L ∞ ( M ) definida por la fórmula f x (y) = d(x,y) para todo y ∈ M , donde d es la función de distancia definida por la métrica. Por la desigualdad del triángulo tenemos y por lo tanto la incrustación es fuertemente isométrica, en el sentido preciso de que la distancia interna y la distancia ambiental coinciden. Una incrustación tan fuertemente isométrica es imposible si el espacio ambiental es un espacio de Hilbert, incluso cuando M es el círculo de Riemann (¡la distancia entre puntos opuestos debe ser π , no 2!). Luego establecemos E = L ∞ ( M ) en la fórmula anterior y definimos
Es decir, Gromov demostró una marcada desigualdad entre la sístole y el radio de llenado,
válido para todos los colectores esenciales M ; así como una desigualdad
válido para todos los colectores cerrados M .
En la Sección 12.2 del libro "Geometría y topología sistólica" al que se hace referencia a continuación aparece un resumen de una prueba, basada en resultados recientes en teoría de medidas geométricas de S. Wenger, basándose en trabajos anteriores de L. Ambrosio y B. Kirchheim. Larry Guth propuso recientemente un enfoque completamente diferente para la prueba de la desigualdad de Gromov . [2]
Debe tenerse en cuenta una diferencia significativa entre los invariantes 1-sistólicos (definidos en términos de longitudes de bucles) y los invariantes k -sistólicos superiores (definidos en términos de áreas de ciclos, etc.). Si bien hasta ahora se han obtenido varias desigualdades sistólicas óptimas que involucran las k-sístoles superiores, casi la única desigualdad óptima que involucra puramente las k -sístoles superiores es la desigualdad sistólica estable óptima de Gromov.
para el espacio proyectivo complejo , donde el límite óptimo se alcanza mediante la métrica simétrica de Fubini-Study , lo que apunta al vínculo con la mecánica cuántica . Aquí la 2-sístole estable de una variedad de Riemann M se define estableciendo
donde es la norma estable, mientras que λ 1 es la norma mínima de un elemento distinto de cero de la red. Hasta hace poco quedó claro cuán excepcional es la desigualdad estable de Gromov. Es decir, se descubrió que, contrariamente a lo esperado, la métrica simétrica en el plano proyectivo cuaterniónico no es su métrica sistólica óptima, a diferencia de la 2-sístole en el caso complejo. Mientras que el plano proyectivo cuaterniónico con su métrica simétrica tiene una relación sistólica estable de dimensión media de 10/3, la relación análoga para la métrica simétrica del 4-espacio proyectivo complejo da el valor 6, mientras que el mejor límite superior disponible para tal La proporción de una métrica arbitraria en ambos espacios es 14. Este límite superior está relacionado con las propiedades del álgebra de Lie E7 . Si existe una variedad de 8 con una holonomía de Spin(7) excepcional y un cuarto Betti número 1, entonces el valor 14 es de hecho óptimo. Dominic Joyce ha estudiado intensamente las variedades con holonomía Spin(7) .
De manera similar, prácticamente el único límite inferior no trivial para una k -sístole con k = 2 es el resultado de un trabajo reciente en teoría de calibre y curvas J-holomórficas . El estudio de los límites inferiores para la 2-sístole conforme de 4-variedades ha llevado a una prueba simplificada de la densidad de la imagen del mapa de períodos, realizada por Jake Solomon.
Quizás una de las aplicaciones más llamativas de las sístoles sea en el contexto del problema de Schottky , de P. Buser y P. Sarnak , quienes distinguieron las superficies jacobianas de Riemann entre variedades abelianas principalmente polarizadas, sentando las bases de la aritmética sistólica.
Hacer preguntas sistólicas a menudo estimula preguntas en campos relacionados. Por lo tanto, se ha definido e investigado una noción de categoría sistólica de una variedad, que muestra una conexión con la categoría de Lusternik-Schnirelmann (categoría LS). Tenga en cuenta que la categoría sistólica (así como la categoría LS) es, por definición, un número entero. Se ha demostrado que las dos categorías coinciden tanto para superficies como para 3 variedades. Además, para 4 variedades orientables, la categoría sistólica es un límite inferior para la categoría LS. Una vez establecida la conexión, la influencia es mutua: los resultados conocidos sobre la categoría LS estimulan preguntas sistólicas y viceversa.
La nueva invariante fue introducida por Katz y Rudyak (ver más abajo). Dado que la invariante resulta estar estrechamente relacionada con la categoría de Lusternik-Schnirelman (categoría LS), se la llamó categoría sistólica .
La categoría sistólica de una variedad M se define en términos de las diversas k -sístoles de M. A grandes rasgos, la idea es la siguiente. Dada una variedad M , se busca el producto más largo de sístoles que dé un límite inferior "libre de curvatura" para el volumen total de M (con una constante independiente de la métrica). Es natural incluir también las invariantes sistólicas de las coberturas de M en la definición. El número de factores en dicho "producto más largo" es, por definición, la categoría sistólica de M.
Por ejemplo, Gromov demostró que una n -variedad esencial admite un límite inferior de volumen en términos de la n-ésima potencia de la homotopía 1-sístole (ver la sección anterior). De ello se deduce que la categoría sistólica de una n -variedad esencial es precisamente n . De hecho, para n -variedades cerradas, el valor máximo tanto de la categoría LS como de la categoría sistólica se alcanza simultáneamente.
Otro indicio de la existencia de una relación intrigante entre las dos categorías es la relación con el invariante llamado longitud de copa. Por tanto, la longitud real de la copa resulta ser un límite inferior para ambas categorías.
La categoría sistólica coincide con la categoría LS en varios casos, incluido el caso de variedades de dimensiones 2 y 3. En la dimensión 4, se demostró recientemente que la categoría sistólica es un límite inferior para la categoría LS.
El estudio del comportamiento asintótico para el género g grande de la sístole de superficies hiperbólicas revela algunas constantes interesantes. Por lo tanto, las superficies de Hurwitz Σ g definidas por una torre de subgrupos de congruencia principales del grupo de triángulos hiperbólicos (2,3,7) satisfacen el límite
y un límite similar se aplica a los grupos fucsianos aritméticos más generales . Este resultado de 2007 de Katz, Schaps y Vishne [3] generaliza los resultados de Peter Buser y Peter Sarnak en el caso de grupos aritméticos definidos sobre Q , de su artículo fundamental de 1994. [4]
Una bibliografía sobre sístoles en geometría hiperbólica cuenta actualmente con cuarenta artículos. Ejemplos interesantes los proporcionan la superficie de Bolza , el cuartico de Klein , la superficie de Macbeath y el primer triplete de Hurwitz .
Se obtiene una familia de desigualdades sistólicas óptimas como aplicación de las técnicas de Burago e Ivanov, explotando mapas de Abel-Jacobi adecuados , definidos a continuación.
Sea M una variedad , π = π 1 ( M ), su grupo fundamental y f : π → π ab su mapa de abelianización . Sea tor el subgrupo de torsión de π ab . Sea g : π ab → π ab / tor el cociente por torsión. Claramente, π ab / tor = Z b , donde b = b 1 ( M ). Sea φ: π → Z b el homomorfismo compuesto.
Definición: La cobertura de la variedad M correspondiente al subgrupo Ker(φ) ⊂ π se denomina cobertura abeliana libre universal (o máxima).
Ahora supongamos que M tiene una métrica de Riemann . Sea E el espacio de formas 1 armónicas en M , con el dual E * identificado canónicamente con H 1 ( M , R ). Al integrar una forma armónica integral 1 a lo largo de caminos desde un punto base x 0 ∈ M , obtenemos un mapa del círculo R / Z = S 1 .
De manera similar, para definir un mapa M → H 1 ( M , R )/ H 1 ( M , Z ) R sin elegir una base para la cohomología, argumentamos lo siguiente. Sea x un punto en la cobertura universal de M . Por tanto, x está representado por un punto de M junto con un camino c desde x 0 hasta él. Integrando a lo largo de la trayectoria c , obtenemos una forma lineal, , en E . Obtenemos así un mapa , que además desciende a un mapa
¿Dónde está la cobertura abeliana gratuita universal?
Definición: La variedad Jacobi (Toro Jacobi) de M es el toro J 1 ( M ) = H 1 ( M , R )/ H 1 ( M , Z ) R
Definición: El mapa de Abel-Jacobi se obtiene del mapa anterior pasando a cocientes. El mapa de Abel-Jacobi es único hasta las traducciones del toro de Jacobi.
Como ejemplo se puede citar la siguiente desigualdad, debida a D. Burago, S. Ivanov y M. Gromov .
Sea M una variedad Riemanniana n -dimensional con el primer número de Betti n , tal que la aplicación de M a su toro de Jacobi tiene un grado distinto de cero . Entonces M satisface la desigualdad sistólica estable óptima
¿Dónde está la constante clásica de Hermite ?
Se ha demostrado que los fenómenos asintóticos de la sístole de superficies de género grande están relacionados con fenómenos ergódicos interesantes y con propiedades de subgrupos de congruencia de grupos aritméticos .
La desigualdad de Gromov de 1983 para la sístole de homotopía implica, en particular, un límite inferior uniforme para el área de una superficie asférica en términos de su sístole. Tal límite generaliza las desigualdades de Loewner y Pu, aunque de una manera no óptima.
El artículo fundamental de Gromov de 1983 también contiene límites asintóticos que relacionan la sístole y el área, lo que mejora el límite uniforme (válido en todas las dimensiones).
Recientemente se descubrió (ver artículo de Katz y Sabourau más abajo) que la entropía de volumen h , junto con la desigualdad óptima de A. Katok para h , es el intermediario "correcto" en una prueba transparente de la cota asintótica de M. Gromov para la relación sistólica de Superficies de género grande.
El resultado clásico de A. Katok establece que toda métrica sobre una superficie cerrada M con característica de Euler negativa satisface una desigualdad óptima que relaciona la entropía y el área.
Resulta que la entropía mínima de una superficie cerrada puede relacionarse con su relación sistólica óptima. Es decir, existe un límite superior para la entropía de una superficie sistólica extrema, en términos de su sístole. Combinando este límite superior con el límite inferior óptimo de Katok en términos de volumen, se obtiene una prueba alternativa más simple de la estimación asintótica de Gromov para la relación sistólica óptima de superficies de género grande. Además, este enfoque produce una constante multiplicativa mejorada en el teorema de Gromov.
Como aplicación, este método implica que cada métrica en una superficie de género al menos 20 satisface la desigualdad del toroide de Loewner. Esto mejora la mejor estimación anterior de 50 que surgió de una estimación de Gromov.
La conjetura del área de llenado de Gromov se ha demostrado en un entorno hiperelíptico (consulte la referencia de Bangert et al. a continuación).
La conjetura del área de llenado afirma que entre todos los posibles llenados del círculo de Riemann de longitud 2π por una superficie con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene el área más pequeña. Aquí, el círculo de Riemann se refiere a la única variedad de Riemann unidimensional cerrada de 1 volumen total 2π y diámetro de Riemann π.
Para explicar la conjetura, comenzamos con la observación de que el círculo ecuatorial de la unidad de 2 esferas, S 2 ⊂ R 3 , es un círculo de Riemann S 1 de longitud 2π y diámetro π.
Más precisamente, la función de distancia de Riemann de S 1 es la restricción de la distancia de Riemann ambiental en la esfera. Esta propiedad no se satisface con la incrustación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano, donde un par de puntos opuestos están a una distancia 2, no π.
Consideramos todos los rellenos de S 1 por una superficie, de modo que la métrica restringida definida por la inclusión del círculo como límite de la superficie es la métrica de Riemann de un círculo de longitud 2π. La inclusión del círculo como límite se denomina entonces incrustación fuertemente isométrica del círculo.
En 1983, Gromov conjeturó que el hemisferio redondo ofrece la "mejor" forma de llenar el círculo entre todas las superficies de relleno.
El caso de empastes simplemente conexos equivale a la desigualdad de Pu . Recientemente, el caso de los empastes del género -1 también se resolvió afirmativamente (ver referencia de Bangert et al. a continuación). Es decir, resulta que se puede explotar una fórmula de J. Hersch de hace medio siglo a partir de la geometría integral. Es decir, considere la familia de bucles en forma de 8 en una pelota de fútbol, con el punto de autointersección en el ecuador (consulte la figura al comienzo del artículo). La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del balón de fútbol, como un promedio de las energías de los bucles en forma de 8 de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann demuestra en este caso la conjetura del área de llenado.
Se han identificado otras ramificaciones sistólicas de la hiperelipticidad en el género 2.
Los estudios de campo incluyen el estudio de M. Berger (1993), el estudio de Gromov (1996), el libro de Gromov (1999), el libro panorámico de Berger (2003) y el libro de Katz (2007). Estas referencias pueden ayudar a un principiante a ingresar al campo. También contienen problemas abiertos en los que trabajar.
![{\displaystyle \mathrm {FillRad} (M\subset E)=\inf \left\{\epsilon >0\left|\;\iota _ {\epsilon }([M])=0\in H_{n} (U_{\epsilon }M)\right.\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11dfe4fcd3f5693d2100f1b8ceac79d7377e43c5)
