La desigualdad de Bonnesen

Relaciona la longitud, el área y el radio de la circunferencia y la circunferencia de una curva de Jordan.

La desigualdad de Bonnesen es una desigualdad que relaciona la longitud, el área, el radio de la circunferencia y el radio de la circunferencia de una curva de Jordan . Es un fortalecimiento de la desigualdad isoperimétrica clásica .

Más precisamente, considere una curva plana simple cerrada de longitud que limita un dominio de área . Sea y denote los radios del círculo circunstante y del círculo circunstante. Bonnesen demostró la desigualdad. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle \pi ^{2}(R-r)^{2}\leq L^{2}-4\pi A.}$$

El término del lado derecho se conoce como defecto isoperimétrico . ${\displaystyle L^{2}-4\pi A}$

La desigualdad del toro de Loewner con defecto isosistólico es un análogo sistólico de la desigualdad de Bonnesen.

Referencias

• Bonnesen, T. (1921), "Sur une amélioration de l'inégalité isopérimetrique du cercle et la démonstration d'une inégalité de Minkowski", Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences (en francés), 172 : 1087– 1089, JFM  48.0839.01
• Burago, Yu. D. ; Zalgaller, VA (1988), "1.3: La desigualdad de Bonnesen y sus análogos", Desigualdades geométricas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 285, traducido por Sosinskiĭ, AB, Berlín: Springer-Verlag, págs. 3–4, doi :10.1007/978-3-662-07441-1, ISBN 3-540-13615-0, SEÑOR  0936419, Zbl  0633.53002