Entropía de volumen

La entropía de volumen es una invariante asintótica de una variedad de Riemann compacta que mide la tasa de crecimiento exponencial del volumen de bolas métricas en su cubierta universal . Este concepto está estrechamente relacionado con otras nociones de entropía que se encuentran en los sistemas dinámicos y juega un papel importante en la geometría diferencial y la teoría geométrica de grupos . Si la variedad tiene una curvatura no positiva, entonces su entropía de volumen coincide con la entropía topológica del flujo geodésico . Es de considerable interés en geometría diferencial encontrar la métrica de Riemann en una variedad suave dada que minimice la entropía del volumen, con espacios localmente simétricos que forman una clase básica de ejemplos.

Definición

Sea ( M , g ) una variedad de Riemann compacta, con cubierta universal . Elija un punto . ${\displaystyle {\tilde {M}}.}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}\in {\tilde {M}}}$

La entropía de volumen (o crecimiento de volumen asintótico) se define como el límite ${\displaystyle h=h(M,g)}$

${\displaystyle h(M,g)=\lim _{R\to +\infty }{\frac {\log \left(\operatorname {vol} B(R)\right)}{R}},}$

donde B ( R ) es la bola de radio R in centrada en y vol es el volumen riemanniano en la cubierta universal con la métrica riemanniana natural. ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle {\tilde {x}}_{0}}$

A. Manning demostró que el límite existe y no depende de la elección del punto base. Esta invariante asintótica describe la tasa de crecimiento exponencial del volumen de bolas en la cubierta universal en función del radio.

Propiedades

• La entropía de volumen h siempre está limitada arriba por la entropía topológica h _superior del flujo geodésico en M . Además, si M tiene una curvatura seccional no positiva, entonces h = h _top . Estos resultados se deben a Manning.
• De manera más general, la entropía de volumen es igual a la entropía topológica bajo el supuesto más débil de que M es una variedad de Riemann cerrada sin puntos conjugados (Freire y Mañé).
• Los espacios localmente simétricos minimizan la entropía cuando se prescribe el volumen. Éste es un corolario de un resultado muy general debido a Besson, Courtois y Gallot (que también implica la rigidez de Mostow y sus diversas generalizaciones debidas a Corlette, Siu y Thurston ):

  Sean X e Y variedades lisas de n dimensiones conectadas y orientadas compactas y f : Y → X un mapa continuo de grado distinto de cero . Si g ₀ es una métrica de Riemann localmente simétrica curvada negativamente en X y g es cualquier métrica de Riemann en Y , entonces

  ${\displaystyle h^{n}(Y,g)\operatorname {vol} (Y,g)\geq \left|\deg(f)\right|h^{n}(X,g_{0})\operatorname {vol} (X,g_{0}),}$

  y para n ≥ 3, la igualdad ocurre si y sólo si ( Y , g ) es localmente simétrica del mismo tipo que ( X , g ₀ ) y f es homotópica a una cobertura homotética ( Y , g ) → ( X , g ₀ ).

Aplicación en geometría diferencial de superficies.

La desigualdad de entropía de Katok se aprovechó recientemente para obtener un límite asintótico estrecho para la relación sistólica de superficies de género grande, ver sístoles de superficies .

Referencias

• Besson, G., Courtois, G., Gallot, S. Entropies et rigidités des espaces localement symétriques de courbure estricto négative. (Francés) [Entropía y rigidez de espacios localmente simétricos con curvatura estrictamente negativa] Geom. Función. Anal. 5 (1995), núm. 5, 731–799
• Katok, A.: Entropía y geodésicas cerradas, Erg. Th. Din. Sistema 2 (1983), 339–365
• Katok, A.; Hasselblatt, B.: Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos. Con un capítulo complementario de Katok y L. Mendoza. Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones, 54. Cambridge University Press, Cambridge, 1995
• Katz, M.; Sabourau, S.: Entropía de superficies sistólicamente extremas y límites asintóticos. Ergio. Th. Din. Sistema 25 (2005), 1209-1220
• Manning, A.: Entropía topológica para flujos geodésicos. Ana. de Matemáticas. (2) 110 (1979), núm. 3, 567–573