El grado de una función fue definido por primera vez por Brouwer [1] , quien demostró que el grado es invariante en homotopía ( invariante entre homotopías), y lo utilizó para demostrar el teorema del punto fijo de Brouwer . En las matemáticas modernas, el grado de una función juega un papel importante en la topología y la geometría . En física , el grado de una función continua (por ejemplo, una función del espacio a un conjunto de parámetros de cierto orden) es un ejemplo de un número cuántico topológico .
Sea una función continua. Entonces induce un homomorfismo , donde es el ésimo grupo de homología . Considerando el hecho de que , vemos que debe tener la forma para algún fijo . Esto se denomina entonces grado de .
Una función continua f : X → Y induce un homomorfismo f ∗ de H m ( X ) a H m ( Y ). Sea [ X ], resp. [ Y ] el generador elegido de H m ( X ), resp. H m ( Y ) (o la clase fundamental de X , Y ). Entonces el grado de f se define como f * ([ X ]). En otras palabras,
Si y en Y y f −1 ( y ) es un conjunto finito, el grado de f se puede calcular considerando los m -ésimos grupos de homología local de X en cada punto en f −1 ( y ). Es decir, si , entonces
Topología diferencial
En el lenguaje de la topología diferencial, el grado de una función suavizada se puede definir de la siguiente manera: Si f es una función suavizada cuyo dominio es una variedad compacta y p es un valor regular de f , considere el conjunto finito
Al ser p un valor regular, en un entorno de cada x i la función f es un difeomorfismo local . Los difeomorfismos pueden ser de conservación o de inversión de la orientación. Sea r el número de puntos x i en los que f conserva la orientación y s el número en el que f invierte la orientación. Cuando el codominio de f es conexo, el número r − s es independiente de la elección de p (¡aunque n no lo es!) y se define el grado de f como r − s . Esta definición coincide con la definición topológica algebraica anterior.
La misma definición funciona para variedades compactas con límite pero entonces f debe enviar el límite de X al límite de Y.
También se puede definir el grado módulo 2 (deg 2 ( f )) de la misma manera que antes pero tomando la clase fundamental en homología Z 2 . En este caso deg 2 ( f ) es un elemento de Z 2 (el campo con dos elementos ), las variedades no necesitan ser orientables y si n es el número de preimágenes de p como antes, entonces deg 2 ( f ) es n módulo 2.
La integración de formas diferenciales da un emparejamiento entre la homología singular (C ∞ -) y la cohomología de De Rham : , donde es una clase de homología representada por un ciclo y una forma cerrada que representa una clase de cohomología de De Rham. Para una función suave f : X → Y entre m -variedades orientables , se tiene
donde f ∗ y f ∗ son funciones inducidas en cadenas y formas respectivamente. Como f ∗ [ X ] = deg f · [ Y ], tenemos
para cualquier m -forma ω en Y .
Mapas de regiones cerradas
Si es una región acotada , suave, un valor regular de y , entonces el grado se define mediante la fórmula
Esta definición del grado puede extenderse naturalmente para valores no regulares tales que donde es un punto cercano a . El grado topológico también puede calcularse utilizando una integral de superficie sobre el límite de , [2] y si es un n - politopo conexo , entonces el grado puede expresarse como una suma de determinantes sobre una cierta subdivisión de sus facetas . [3]
El grado satisface las siguientes propiedades: [4]
Si , entonces existe tal que .
Para todos .
Propiedad de descomposición: si son partes disjuntas de y .
Invariancia de homotopía : si y son homotópicamente equivalentes a través de una homotopía tal que y , entonces
La función es constante localmente en
Estas propiedades caracterizan de forma única el grado y éste puede definirse por ellas de forma axiomática.
El grado de una aplicación es un invariante de homotopía ; además, para aplicaciones continuas desde la esfera hacia sí misma, es un invariante de homotopía completo , es decir, dos aplicaciones son homotópicas si y sólo si .
En otras palabras, el grado es un isomorfismo entre y .
Además, el teorema de Hopf establece que para cualquier variedad orientada cerrada M , dos mapas son homotópicos si y solo si
Una automapa de la n- esfera es extensible a una función desde la n+1 -esfera a la n -esfera si y sólo si . (Aquí la función F extiende f en el sentido de que f es la restricción de F a .)
Calculando el grado
Existe un algoritmo para calcular el grado topológico deg( f , B , 0) de una función continua f de una caja n -dimensional B (un producto de n intervalos) a , donde f se da en forma de expresiones aritméticas. [5] Una implementación del algoritmo está disponible en TopDeg, una herramienta de software para calcular el grado (LGPL-3).
Véase también
Número de cobertura , un término con un nombre similar. Tenga en cuenta que no generaliza el número de bobinado, sino que describe las coberturas de un conjunto por bolas.
^ Brouwer, LEJ (1911). "Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten". Annalen Matemáticas . 71 (1): 97-115. doi :10.1007/bf01456931. S2CID 177796823.
^ Polymilis, C.; Servizi, G.; Turchetti, G.; Skokos, Ch.; Vrahatis, MN (mayo de 2003). "LOCALIZACIÓN DE ÓRBITAS PERIÓDICAS MEDIANTE LA TEORÍA DE GRADOS TOPOLÓGICOS". Libration Point Orbits and Applications : 665–676. arXiv : nlin/0211044 . doi :10.1142/9789812704849_0031.
^ Stynes, Martin (junio de 1979). "Una simplificación de la fórmula de grado topológico de Stenger" (PDF) . Numerische Mathematik . 33 (2): 147–155. doi :10.1007/BF01399550 . Consultado el 21 de septiembre de 2024 .
^ Dancer, EN (2000). Cálculo de variaciones y ecuaciones diferenciales parciales . Springer-Verlag. pp. 185–225. ISBN.3-540-64803-8.
^ Franek, Peter; Ratschan, Stefan (2015). "Cálculo efectivo de grados topológicos basado en aritmética de intervalos". Matemáticas de la computación . 84 (293): 1265–1290. arXiv : 1207.6331 . doi :10.1090/S0025-5718-2014-02877-9. ISSN 0025-5718. S2CID 17291092.
Referencias
Flanders, H. (1989). Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas . Dover.
Hirsch, M. (1976). Topología diferencial . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
Milnor, JW (1997). Topología desde el punto de vista diferenciable . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-04833-8.
Outerelo, E.; Ruiz, JM (2009). Mapping Degree Theory . Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-4915-6.