Charles Loewner

Matemático estadounidense (1893-1968)

Charles Loewner (29 de mayo de 1893 – 8 de enero de 1968) fue un matemático estadounidense . Su nombre era Karel Löwner en checo y Karl Löwner en alemán.

Vida temprana y carrera

Karl Loewner nació en una familia judía en Lany, a unos 30 kilómetros de Praga, donde su padre Sigmund Löwner era dueño de una tienda. ^{[1] [2]}

Loewner recibió su doctorado en la Universidad de Praga en 1917 bajo la supervisión de Georg Pick . Una de sus contribuciones matemáticas centrales es la prueba de la conjetura de Bieberbach en el primer caso altamente no trivial del tercer coeficiente. La técnica que introdujo, la ecuación diferencial de Loewner , ha tenido implicaciones de largo alcance en la teoría de funciones geométricas ; fue utilizada en la solución final de la conjetura de Bieberbach por Louis de Branges en 1985. Loewner trabajó en la Universidad de Berlín , la Universidad de Praga , la Universidad de Louisville , la Universidad Brown , la Universidad de Syracuse y, finalmente, en la Universidad de Stanford . Entre sus estudiantes se incluyen Lipman Bers , Roger Horn , Adriano Garsia y PM Pu .

Desigualdad del toro de Loewner

En 1949, Loewner demostró su desigualdad del toro , en el sentido de que cada métrica en el 2-toro satisface la desigualdad óptima.

${\displaystyle \operatorname {sys} ^{2}\leq {\frac {2}{\sqrt {3}}}\operatorname {area} (\mathbb {T} ^{2}),}$

donde sys es su sístole . El caso límite de igualdad se alcanza si y solo si la métrica es plana y homotética al llamado toro equilátero , es decir, toro cuyo grupo de transformaciones de cubierta es precisamente la red hexagonal abarcada por las raíces cúbicas de la unidad en . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Teorema de la matriz de Loewner

La matriz de Loewner (en álgebra lineal ) es una matriz cuadrada o, más específicamente, un operador lineal (de funciones reales) asociado con 2 parámetros de entrada que consisten en (1) una función real continuamente diferenciable en un subintervalo de los números reales y (2) un vector -dimensional con elementos elegidos del subintervalo; a los 2 parámetros de entrada se les asigna un parámetro de salida que consiste en una matriz. ^[3] ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\times n}$

Sea una función de valor real que es continuamente diferenciable en el intervalo abierto . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (a,b)}$

Para cualquier definición de la diferencia dividida de en como ${\displaystyle s,t\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s,t}$

${\displaystyle f^{[1]}(s,t)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {f(s)-f(t)}{s-t}},&{\text{if }}s\neq t\\f'(s),&{\text{if }}s=t\end{cases}}}$.

Dado , la matriz de Loewner asociada con para se define como la matriz cuya entrada es . ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle f^{[1]}(t_{i},t_{j})}$

En su artículo fundamental de 1934, Loewner demostró que para cada entero positivo , es -monótono en si y solo si es semidefinido positivo para cualquier elección de . ^{[3] [4] [5]} Lo más significativo es que, utilizando esta equivalencia, demostró que es -monótono en para todos si y solo si es analítico real con una continuación analítica en el semiplano superior que tiene una parte imaginaria positiva en el plano superior. Véase Operador función monótona . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle L_{f}(t_{1},\ldots ,t_{n})}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$

Grupos continuos

"Durante la visita de [Loewner] a Berkeley en 1955, impartió un curso sobre grupos continuos , y sus conferencias fueron reproducidas en forma de notas duplicadas. Loewner planeaba escribir un libro detallado sobre grupos continuos basado en estas notas de la conferencia, pero el proyecto todavía estaba en la etapa formativa en el momento de su muerte". Harley Flanders y Murray H. Protter "decidieron revisar y corregir las notas de la conferencia original y ponerlas a disposición en forma permanente". ^[6] Charles Loewner: Theory of Continuous Groups (1971) fue publicado por The MIT Press , ^[7] y reeditado en 2008. ^[8]

En la terminología de Loewner, si y se realiza una acción grupal sobre , entonces se denomina cantidad (página 10). Se hace la distinción entre un grupo abstracto y una realización de en términos de transformaciones lineales que producen una representación grupal . Estas transformaciones lineales se denominan jacobianos (página 41). El término densidad invariante se utiliza para la medida de Haar , que Loewner atribuye a Adolph Hurwitz (página 46). Loewner demuestra que los grupos compactos tienen densidades invariantes izquierdas y derechas iguales (página 48). ${\displaystyle x\in S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}},}$ ${\displaystyle J({\overset {u}{v}})}$

Un crítico dijo: "El lector se ve ayudado por ejemplos esclarecedores y comentarios sobre las relaciones con el análisis y la geometría". ^[9]

Véase también

• Elipsoide de Löwner-John
• Evolución de Schramm-Loewner
• Paseo aleatorio con bucles borrados
• Sístoles de superficies

Referencias

• Berger, Marcel : À l'ombre de Loewner. (Francés) Ana. Ciencia. Norma de la escuela. Sorber. (4) 5 (1972), 241–260.
• Loewner, Charles; Nirenberg, Louis: Ecuaciones diferenciales parciales invariantes bajo transformaciones conformes o proyectivas. Contribuciones al análisis (una colección de artículos dedicados a Lipman Bers), pp. 245–272. Academic Press, Nueva York, 1974.

1. Biografía de Loewner
2. 2.2 Charles Loewner
3. Hiai, Fumio; Sano, Takashi (2012). "Matrices de Loewner de funciones matriciales convexas y monótonas". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 54 (2): 343–364. arXiv : 1007.2478 . doi :10.2969/jmsj/06420343. S2CID  : 117532480.
4. Lowner, Karl (1934). "Funciones Matrix súper monótonas". Mathematische Zeitschrift . 38 (1): 177–216. doi :10.1007/BF01170633. S2CID  121439134.
5. Loewner, Charles (1950). "Algunas clases de funciones definidas por diferencias o desigualdades diferenciales". Bull. Amer. Math. Soc . 56 (4): 308–319. doi : 10.1090/S0002-9904-1950-09405-1 .
6. Prefacio, página ix
7. Loewner, Charles (1971). Teoría de grupos continuos . ISBN 0-262-06-041-8.
8. Löwner, Charles; Flandes, Harley; Protter, Murray H. (2008). Reimpresión de Dover. ISBN 9780486462929.
9. Deane Montgomery, Sr. 0315038

Enlaces externos

• Resolución conmemorativa de Stanford
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Charles Loewner", Archivo de Historia de las Matemáticas MacTutor , Universidad de St Andrews