Evolución de Schramm-Loewner

Evolución de Schramm-Loewner en el semiplano superior con indicación de tono ${\displaystyle \log(\operatorname {Im} (g_{t}(z)))}$

En teoría de probabilidad , la evolución de Schramm–Loewner con parámetro κ , también conocida como evolución estocástica de Loewner ( SLE _κ ), es una familia de curvas aleatorias planares que han demostrado ser el límite de escala de una variedad de modelos reticulares bidimensionales en mecánica estadística . Dado un parámetro κ y un dominio en el plano complejo U , da una familia de curvas aleatorias en U , con κ controlando cuánto gira la curva. Hay dos variantes principales de SLE, la SLE cordal que da una familia de curvas aleatorias desde dos puntos límite fijos, y la SLE radial , que da una familia de curvas aleatorias desde un punto límite fijo hasta un punto interior fijo. Estas curvas se definen para satisfacer la invariancia conforme y una propiedad de Markov del dominio .

Fue descubierto por Oded Schramm (2000) como un límite de escala conjeturado de los procesos probabilísticos  del árbol de expansión uniforme planar (UST) y del paseo aleatorio borrado de bucles planar (LERW), y desarrollado por él junto con Greg Lawler y Wendelin Werner en una serie de artículos conjuntos.

Además de UST y LERW, se conjetura o se ha demostrado que la evolución de Schramm-Loewner describe el límite de escala de varios procesos estocásticos en el plano, como la percolación crítica , el modelo crítico de Ising , el modelo de doble dímero , los paseos autoevitativos y otros modelos críticos de mecánica estadística que exhiben invariancia conforme. Las curvas SLE son los límites de escala de las interfaces y otras curvas aleatorias no autointersecantes en estos modelos. La idea principal es que la invariancia conforme y una cierta propiedad de Markov inherente a tales procesos estocásticos juntos hacen posible codificar estas curvas planares en un movimiento browniano unidimensional que se ejecuta en el límite del dominio (la función impulsora en la ecuación diferencial de Loewner). De esta manera, muchas preguntas importantes sobre los modelos planares se pueden traducir en ejercicios de cálculo de Itô . De hecho, varias predicciones matemáticamente no rigurosas hechas por físicos utilizando la teoría de campos conforme se han demostrado utilizando esta estrategia.

La ecuación de Loewner

Si es un dominio complejo abierto , simplemente conexo , distinto de , y es una curva simple en que comienza en el límite (una función continua con en el límite de y un subconjunto de ), entonces para cada , el complemento de es simplemente conexo y, por lo tanto, conformemente isomorfo a por el teorema de aplicación de Riemann . Si es un isomorfismo normalizado adecuado de a , entonces satisface una ecuación diferencial encontrada por Loewner (1923, p. 121) en su trabajo sobre la conjetura de Bieberbach . A veces es más conveniente utilizar la función inversa de , que es una aplicación conforme de a . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma (0)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma ((0,\infty ))}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle D_{t}=D\smallsetminus \gamma ([0,t])}$ ${\displaystyle \gamma ([0,t])}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle D_{t}}$ ${\displaystyle D}$

En la ecuación de Loewner, , , y los valores límite en el momento son o . La ecuación depende de una función impulsora que toma valores en el límite de . Si es el disco unitario y la curva está parametrizada por "capacidad", entonces la ecuación de Loewner es ${\displaystyle z\in D}$ ${\displaystyle t\geq 0}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle f_{0}(z)=z}$ ${\displaystyle g_{0}(z)=z}$ ${\displaystyle \zeta (t)}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$   o   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

Cuando el semiplano superior es la ecuación de Loewner difiere de ésta por los cambios de variable y es ${\displaystyle D}$

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}={\frac {2f_{t}^{\prime }(z)}{\zeta (t)-z}}}$   o   ${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}={\dfrac {2}{g_{t}(z)-\zeta (t)}}.}$

La función de conducción y la curva están relacionadas por ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ or }}\zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

donde y se extienden por continuidad. ${\displaystyle f_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$

Ejemplo

Sea el semiplano superior y considere un SLE ₀ , por lo que la función impulsora es un movimiento browniano de difusividad cero. La función es, por lo tanto, idénticamente cero casi con seguridad y ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle \zeta }$

${\displaystyle f_{t}(z)={\sqrt {z^{2}-4t}}}$

${\displaystyle g_{t}(z)={\sqrt {z^{2}+4t}}}$

${\displaystyle \gamma (t)=2i{\sqrt {t}}}$

${\displaystyle D_{t}}$es el semiplano superior con la línea de 0 a eliminada. ${\displaystyle 2i{\sqrt {t}}}$

Evolución de Schramm-Loewner

La evolución de Schramm-Loewner es la curva aleatoria γ dada por la ecuación de Loewner como en la sección anterior, para la función impulsora

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

donde B ( t ) es el movimiento browniano en el límite de D , escalado por algún κ real . En otras palabras, la evolución de Schramm–Loewner es una medida de probabilidad en curvas planas, dada como la imagen de la medida de Wiener bajo este mapa.

En general, la curva γ no necesita ser simple, y el dominio D _t no es el complemento de γ ([0, t ]) en D , sino que es el componente ilimitado del complemento.

Hay dos versiones de SLE, que utilizan dos familias de curvas, cada una de las cuales depende de un parámetro real no negativo κ :

• SLE cordal _κ , que está relacionada con las curvas que conectan dos puntos en el límite de un dominio (generalmente el semiplano superior, donde los puntos son 0 e infinito).
• SLE radial _κ , que está relacionado con las curvas que unen un punto en el límite de un dominio con un punto en el interior (a menudo curvas que unen 1 y 0 en el disco unitario).

El SLE depende de la elección del movimiento browniano en el límite del dominio, y existen diversas variaciones según el tipo de movimiento browniano que se utilice: por ejemplo, puede comenzar en un punto fijo, o comenzar en un punto distribuido uniformemente en el círculo unitario, o puede tener una deriva incorporada, etc. El parámetro κ controla la velocidad de difusión del movimiento browniano, y el comportamiento del SLE depende críticamente de su valor.

Los dos dominios más utilizados en la evolución de Schramm-Loewner son el semiplano superior y el disco unitario. Aunque la ecuación diferencial de Loewner en estos dos casos parece diferente, son equivalentes hasta cambios de variables, ya que el disco unitario y el semiplano superior son equivalentes conformemente. Sin embargo, una equivalencia conforme entre ellos no preserva el movimiento browniano en sus límites utilizado para impulsar la evolución de Schramm-Loewner.

Valores especiales dek

• Para 0 ≤  κ  < 4 la curva γ( t ) es simple (con probabilidad 1).
• Para 4 <  κ  < 8 la curva γ( t ) se interseca a sí misma y cada punto está contenido en un bucle pero la curva no llena el espacio (con probabilidad 1).
• Para κ  ≥ 8 la curva γ( t ) llena el espacio (con probabilidad 1).
• κ  = 2 corresponde al recorrido aleatorio sin bucles o, equivalentemente, a las ramas del árbol de expansión uniforme.
• Para κ  = 8/3, SLE _κ tiene la propiedad de restricción y se conjetura que es el límite de escala de los paseos aleatorios autoevitativos . Una versión de este límite es el límite exterior del movimiento browniano .
• κ  = 3 es el límite de interfaces para el modelo de Ising .
• κ  = 4 corresponde a la trayectoria del explorador armónico y las líneas de contorno del campo libre gaussiano .
• Interfaz de percolación: Haz un rombo con hexágonos de igual tamaño en el plano. Colorea su lado superior e izquierdo con negro, y el lado inferior y derecho con blanco. Luego colorea los otros hexágonos de “blanco” o “negro” independientemente con la misma probabilidad 1/2. Hay un límite entre el negro y el blanco, que va desde la parte inferior izquierda hasta la parte superior derecha. El límite de escala del límite es κ  = 6.
• Para κ  = 6, SLE _κ tiene la propiedad de localidad. Esto surge en el límite de escala de la percolación crítica en la red triangular y conjeturalmente en otras redes.
• κ  = 8 corresponde al camino que separa el árbol de expansión uniforme de su árbol dual.

Cuando SLE corresponde a alguna teoría de campo conforme, el parámetro κ está relacionado con la carga central c de la teoría de campo conforme por

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Cada valor de c  < 1 corresponde a dos valores de κ , un valor κ entre 0 y 4, y un valor "dual" 16/ κ mayor que 4. (ver Bauer & Bernard (2002a) Bauer & Bernard (2002b))

Beffara (2008) demostró que la dimensión de Hausdorff de las trayectorias (con probabilidad 1) es igual a min(2, 1 +  κ /8).

Fórmulas de probabilidad de paso por la izquierda para SLEk

La probabilidad de que el SLE cordal _κ γ esté a la izquierda del punto fijo fue calculada por Schramm (2001a) ^[1] ${\displaystyle x_{0}+iy_{0}=z_{0}\in \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}z_{0}]={\frac {1}{2}}+{\frac {\Gamma ({\frac {4}{\kappa }})}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma ({\frac {8-\kappa }{2\kappa }})}}{\frac {x_{0}}{y_{0}}}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {4}{\kappa }},{\frac {3}{2}},-\left({\frac {x_{0}}{y_{0}}}\right)^{2}\right)}$

donde es la función Gamma y es la función hipergeométrica . Esto se derivó utilizando la propiedad martingala de ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle _{2}F_{1}(a,b,c,d)}$

${\displaystyle h(x,y):=\mathbb {P} [\gamma {\text{ passes to the left }}x+iy]}$

y el lema de Itô para obtener la siguiente ecuación diferencial parcial para ${\displaystyle w:={\tfrac {x}{y}}}$

${\displaystyle {\frac {\kappa }{2}}\partial _{ww}h(w)+{\frac {4w}{w^{2}+1}}\partial _{w}h=0.}$

Para κ = 4, el RHS es , que se utilizó en la construcción del explorador armónico, ^[2] y para κ = 6, obtenemos la fórmula de Cardy , que fue utilizada por Smirnov para demostrar la invariancia conforme en la percolación . ^[3] ${\displaystyle 1-{\tfrac {1}{\pi }}\arg(z_{0})}$

Aplicaciones

Lawler, Schramm y Werner (2001b) utilizaron SLE ₆ para demostrar la conjetura de Mandelbrot (1982) de que el límite del movimiento browniano planar tiene dimensión fractal 4/3.

Stanislav Smirnov demostró que la percolación crítica en la red triangular estaba relacionada con SLE _6. ^[4] Combinado con el trabajo anterior de Harry Kesten , ^[5] esto condujo a la determinación de muchos de los exponentes críticos para la percolación. [ ^6] Este avance, a su vez, permitió un análisis más profundo de muchos aspectos de este modelo. ^{[7] [8]}

Lawler, Schramm y Werner demostraron que el recorrido aleatorio con borrado de bucles convergía a SLE _2. ^[9] Esto permitió la derivación de muchas propiedades cuantitativas del recorrido aleatorio con borrado de bucles (algunas de las cuales fueron derivadas anteriormente por Richard Kenyon ^[10] ). Se demostró que la curva aleatoria de Peano relacionada que describe el árbol de expansión uniforme convergía a SLE 8. _[ ^9]

Rohde y Schramm demostraron que κ está relacionado con la dimensión fractal de una curva mediante la siguiente relación

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

Simulación

En este repositorio de GitHub se presentan programas de computadora (Matlab) para simular curvas planas de evolución de Schramm Loewner.

Referencias

1. Schramm, Oded (2001a), "Fórmula de percolación", Electron. Comm. , 33 (6): 115–120, arXiv : math/0107096 , Bibcode :2001math......7096S, JSTOR  3481779
2. Schramm, Oded; Sheffield, Scott (2005), "Explorador armónico y su convergencia a SLE4.", Annals of Probability , 33 (6): 2127–2148, arXiv : math/0310210 , doi :10.1214/009117905000000477, JSTOR  3481779, S2CID  9055859
3. Smirnov, Stanislav (2001). "Percolación crítica en el plano: invariancia conforme, fórmula de Cardy, límites de escala". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias, Serie I. 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Código Bib : 2001CRASM.333..239S. doi :10.1016/S0764-4442(01)01991-7. ISSN  0764-4442.
4. Smirnov, Stanislav (2001). "Percolación crítica en el avión". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 333 (3): 239–244. arXiv : 0909.4499 . Código Bib : 2001CRASM.333..239S. doi :10.1016/S0764-4442(01)01991-7.
5. Kesten, Harry (1987). "Relaciones de escalado para percolación 2D" (PDF) . Comm. Math. Phys. 109 (1): 109–156. Código Bibliográfico :1987CMaPh.109..109K. doi :10.1007/BF01205674. S2CID  118713698.
6. Smirnov, Stanislav; Werner, Wendelin (2001). "Exponentes críticos para la percolación bidimensional". Math. Res. Lett. 8 (6): 729–744. arXiv : math/0109120 . doi :10.4310/mrl.2001.v8.n6.a4. S2CID  6837772.
7. Schramm, Oded; Steif, Jeffrey E. (2010). "Sensibilidad cuantitativa al ruido y tiempos excepcionales para la percolación". Ann. of Math. 171 (2): 619–672. arXiv : math/0504586 . doi :10.4007/annals.2010.171.619. S2CID  14742163.
8. Garban, Christophe; Pete, Gábor; Schramm, Oded (2013). "Medidas de pivote, clúster e interfaz para percolación planar crítica". J. Amer. Math. Soc. 26 (4): 939–1024. arXiv : 1008.1378 . doi :10.1090/S0894-0347-2013-00772-9. S2CID  119677336.
9. Lawler, Gregory F.; Schramm, Oded; Werner, Wendelin (2004). "Invariancia conforme de recorridos aleatorios con bucles borrados planares y árboles de expansión uniformes". Ann. Probab. 32 (1B): 939–995. arXiv : math/0112234 . doi :10.1214/aop/1079021469.
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Lectura adicional

• Beffara, Vincent (2008), "La dimensión de las curvas SLE", The Annals of Probability , 36 (4): 1421–1452, arXiv : math/0211322 , doi :10.1214/07-AOP364, MR  2435854, S2CID  226992
• Cardy, John (2005), "SLE para físicos teóricos", Annals of Physics , 318 (1): 81–118, arXiv : cond-mat/0503313 , Bibcode :2005AnPhy.318...81C, doi :10.1016/j.aop.2005.04.001, S2CID  17747133
• Goluzina, EG (2001) [1994], "Método de Löwner", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
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• Kager, Wouter; Nienhuis, Bernard (2004), "Una guía para la evolución estocástica de Loewner y sus aplicaciones", J. Stat. Phys. , 115 (5/6): 1149–1229, arXiv : math-ph/0312056 , Bibcode :2004JSP...115.1149K, doi :10.1023/B:JOSS.0000028058.87266.be, S2CID  7239233
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• Lawler, Gregory F. , Evolución estocástica de Loewner
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• Bauer, Michel; Bernard, Denis (2002b), "Teorías de campos conformes de evoluciones estocásticas de Loewner", Communications in Mathematical Physics , 239 (3): 493–521, arXiv : hep-th/0210015 , doi :10.1007/s00220-003-0881-x, S2CID  119596360

Enlaces externos

• Lawler; Schramm; Werner (2001), Tutorial: SLE, Lawrence Hall of Science , Universidad de California, Berkeley{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )(video de la conferencia de MSRI)
• Schramm, Oded (2001), Límites de escala invariantes conformes y SLE, MSRI(Diapositivas de una charla.)