La desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo

Desigualdad 2-sistólica estable óptima

En geometría de Riemann , la desigualdad 2- sistólica estable óptima de Gromov es la desigualdad

${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{n}\leq n!\;\mathrm {vol} _{2n}(\mathbb {CP} ^{n})}$,

válido para una métrica de Riemann arbitraria en el espacio proyectivo complejo , donde el límite óptimo se alcanza mediante la métrica simétrica de Fubini-Study , proporcionando una geometrización natural de la mecánica cuántica . Aquí está la 2-sístole estable, que en este caso se puede definir como el mínimo de las áreas de 2-ciclos racionales que representan la clase de la línea proyectiva compleja en homología bidimensional. ${\displaystyle \operatorname {stsys_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}\subset \mathbb {CP} ^{n}}$

La desigualdad apareció por primera vez en Gromov (1981) como Teorema 4.36.

La prueba de la desigualdad de Gromov se basa en la desigualdad de Wirtinger para 2 formas exteriores .

Planos proyectivos sobre álgebras de división. R , C , h {\displaystyle \mathbb {R,C,H} }

En el caso especial n=2, la desigualdad de Gromov se convierte en . Esta desigualdad puede considerarse como análoga a la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real . En ambos casos, el caso límite de igualdad se alcanza mediante la métrica simétrica del plano proyectivo. Mientras tanto, en el caso cuaterniónico, la métrica simétrica no es su métrica sistólicamente óptima. En otras palabras, la variedad admite métricas riemannianas con una relación sistólica mayor que la de su métrica simétrica (Bangert et al. 2009). ${\displaystyle \mathrm {stsys} _{2}{}^{2}\leq 2\mathrm {vol} _{4}(\mathbb {CP} ^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {HP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathrm {stsys} _{4}{}^{2}/\mathrm {vol} _{8}}$

Ver también

• Desigualdad del toro de Loewner
• La desigualdad de Pu
• La desigualdad de Gromov (desambiguación)
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• Geometría sistólica

Referencias

• Bangert, Víctor; Katz, Mijaíl G.; Shnider, Steve; Weinberger, Shmuel (2009). " E ₇ , desigualdades de Wirtinger, forma 4 de Cayley y homotopía". Revista de Matemáticas de Duke . 146 (1): 35–70. arXiv : math.DG/0608006 . doi :10.1215/00127094-2008-061. SEÑOR  2475399. S2CID  2575584.
• Gromov, Mikhail (1981). J. Lafontaine; P. Pansu. (eds.). Structures métriques pour les variétés riemanniennes [ Estructuras métricas para variedades de Riemann ]. Textos Mathématiques (en francés). vol. 1. París: CEDIC. ISBN 2-7124-0714-8. SEÑOR  0682063.
• Katz, Mikhail G. (2007). Geometría sistólica y topología . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 137. Con un apéndice de Jake P. Solomon. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . pag. 19. doi :10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. SEÑOR  2292367.