La desigualdad de Pu

Una animación de la superficie romana que representa RP ² en R ^3.

En geometría diferencial , la desigualdad de Pu , demostrada por Pao Ming Pu , relaciona el área de una superficie riemanniana arbitraria homeomorfa con el plano proyectivo real con las longitudes de las curvas cerradas contenidas en él.

Declaración

Pu, alumno de Charles Loewner , demostró en su tesis de 1950 (Pu 1952) que toda superficie de Riemann homeomorfa al plano proyectivo real satisface la desigualdad ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}\operatorname {Systole} (M)^{2},}$

¿Dónde está la sístole de ? La igualdad se logra precisamente cuando la métrica tiene una curvatura gaussiana constante . ${\displaystyle \operatorname {Systole} (M)}$ ${\displaystyle M}$

En otras palabras, si todos los bucles no contráctiles tienen una longitud de al menos , entonces y la igualdad se cumple si y sólo si se obtiene de una esfera euclidiana de radio identificando cada punto con su antípoda. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \operatorname {Area} (M)\geq {\frac {2}{\pi }}L^{2},}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle r=L/\pi }$

El artículo de Pu también estableció por primera vez la desigualdad de Loewner , un resultado similar para las métricas de Riemann sobre el toro .

Prueba

La prueba original de Pu se basa en el teorema de uniformización y emplea un argumento de promedio, como sigue.

Por uniformización, la superficie de Riemann es conformemente difeomorfa a un plano proyectivo redondo. Esto significa que podemos suponer que la superficie se obtiene de la esfera unitaria euclidiana identificando los puntos antípodas, y que el elemento de longitud de Riemann en cada punto es ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \mathrm {dLength} =f(x)\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}},}$

donde es el elemento de longitud euclidiana y la función , llamada factor conforme , satisface . ${\displaystyle \mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}}$ ${\displaystyle f:S^{2}\to (0,+\infty )}$ ${\displaystyle f(-x)=f(x)}$

Más precisamente, la cobertura universal de es , un bucle no es contráctil si y sólo si su elevación va de un punto a su opuesto, y la longitud de cada curva es ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \gamma \subseteq M}$ ${\displaystyle {\widetilde {\gamma }}\subseteq S^{2}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \operatorname {Length} (\gamma )=\int _{\widetilde {\gamma }}f\,\mathrm {dLength} _{\text{Euclidean}}.}$

Sujeto a la restricción de que cada una de estas longitudes sea al menos , queremos encontrar una que minimice la ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M,g)=\int _{S_{+}^{2}}f(x)^{2}\,\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x),}$

¿Dónde está la mitad superior de la esfera? ${\displaystyle S_{+}^{2}}$

Una observación clave es que si promediamos varios diferentes que satisfacen la restricción de longitud y tienen la misma área , entonces obtenemos un mejor factor de conformidad , que también satisface la restricción de longitud y tiene ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f_{\text{new}}={\frac {1}{n}}\sum _{0\leq i<n}f_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Area} (M,g_{\text{new}})=\int _{S_{+}^{2}}\left({\frac {1}{n}}\sum _{i}f_{i}(x)\right)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)}$

${\displaystyle \qquad \qquad \leq {\frac {1}{n}}\sum _{i}\left(\int _{S_{+}^{2}}f_{i}(x)^{2}\mathrm {dArea} _{\text{Euclidean}}(x)\right)=A,}$

y la desigualdad es estricta a menos que las funciones sean iguales. ${\displaystyle f_{i}}$

Una forma de mejorar cualquier no constante es obtener las diferentes funciones a partir del uso de rotaciones de la esfera , definiendo . Si promediamos todas las rotaciones posibles , obtenemos una que es constante en toda la esfera. Podemos reducir aún más esta constante al valor mínimo permitido por la restricción de longitud. Luego obtenemos la única métrica que alcanza el área mínima . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle R_{i}\in SO^{3}}$ ${\displaystyle f_{i}(x)=f(R_{i}(x))}$ ${\displaystyle f_{\text{new}}}$ ${\displaystyle r={\frac {L}{\pi }}}$ ${\displaystyle 2\pi r^{2}={\frac {2}{\pi }}L^{2}}$

Reformulación

Alternativamente, cada métrica en la esfera invariante bajo el mapa antípoda admite un par de puntos opuestos a una distancia de Riemann que satisface ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle p,q\in S^{2}}$ ${\displaystyle d=d(p,q)}$ ${\displaystyle d^{2}\leq {\frac {\pi }{4}}\operatorname {area} (S^{2}).}$

Una explicación más detallada de este punto de vista se puede encontrar en la página Introducción a la geometría sistólica .

Conjetura del área de llenado

Una formulación alternativa de la desigualdad de Pu es la siguiente. De todos los posibles rellenos del círculo de Riemann de longitud por un disco de dimensiones con la propiedad fuertemente isométrica, el hemisferio redondo tiene el área más pequeña. ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 2}$

Para explicar esta formulación, comenzamos con la observación de que el círculo ecuatorial de la esfera unitaria es un círculo riemanniano de longitud . Más precisamente, la función de distancia de Riemann se induce a partir de la distancia de Riemann ambiental en la esfera. Tenga en cuenta que esta propiedad no se satisface con la incrustación estándar del círculo unitario en el plano euclidiano. De hecho, la distancia euclidiana entre un par de puntos opuestos del círculo es sólo , mientras que en el círculo de Riemann es . ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle S^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle \pi }$

Consideramos todos los rellenos de un disco de dimensiones tales que la métrica inducida por la inclusión del círculo como límite del disco es la métrica de Riemann de un círculo de longitud . La inclusión del círculo como límite se denomina entonces incrustación fuertemente isométrica del círculo. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 2\pi }$

Gromov conjeturó que el hemisferio redondo ofrece la "mejor" forma de llenar el círculo incluso cuando se permite que la superficie de llenado tenga género positivo (Gromov 1983).

Desigualdad isoperimétrica

La desigualdad de Pu tiene un curioso parecido con la desigualdad isoperimétrica clásica.

${\displaystyle L^{2}\geq 4\pi A}$

para curvas de Jordan en el plano, donde es la longitud de la curva mientras que es el área de la región que limita. Es decir, en ambos casos una cantidad bidimensional (área) está limitada por (el cuadrado de) una cantidad unidimensional (longitud). Sin embargo, la desigualdad va en la dirección opuesta. Por tanto, la desigualdad de Pu puede considerarse como una desigualdad isoperimétrica "opuesta". ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A}$

Ver también

• Conjetura del área de llenado
• Desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales
• La desigualdad de Gromov para el espacio proyectivo complejo
• Desigualdad del toro de Loewner
• Geometría sistólica
• Sístoles de superficies

Referencias

• Gromov, Mikhael (1983). "Llenado de variedades de Riemann". J. Geom diferencial. 18 (1): 1–147. doi : 10.4310/jdg/1214509283 . SEÑOR  0697984.
• Gromov, Mikhael (1996). "Sístoles y desigualdades intersistólicas". En Besse, Arthur L. (ed.). Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) [ Actas de la Mesa Redonda sobre Geometría Diferencial ]. Seminarios y Congresos. vol. 1. París: Soc. Matemáticas. Francia. págs. 291–362. ISBN 2-85629-047-7. SEÑOR  1427752.
• Grómov, Misha (1999) [1981]. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos . Progreso en Matemáticas. vol. 152. Con apéndices de M. Katz, P. Pansu y S. Semmes. Traducido del francés por Sean Michael Bates. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. ISBN 0-8176-3898-9. SEÑOR  1699320.
• Katz, Mikhail G. (2007). Geometría sistólica y topología . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 137. Con apéndice de J. Solomon. Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas . doi :10.1090/surv/137. ISBN 978-0-8218-4177-8. SEÑOR  2292367. S2CID  118039315.
• Pu, Pao Ming (1952). "Algunas desigualdades en determinadas variedades de Riemann no orientables". Pacífico J. Matemáticas. 2 (1): 55–71. doi : 10.2140/pjm.1952.2.55 . SEÑOR  0048886.