En geometría diferencial , la conjetura del área de llenado de Mikhail Gromov afirma que el hemisferio tiene un área mínima entre las superficies orientables que llenan una curva cerrada de longitud dada sin introducir atajos entre sus puntos.
Toda superficie lisa M o curva en el espacio euclidiano es un espacio métrico , en el que la distancia (intrínseca) d M ( x , y ) entre dos puntos x , y de M se define como el mínimo de las longitudes de las curvas que van desde xay a lo largo de M . Por ejemplo, en una curva cerrada de longitud 2 L , para cada punto x de la curva hay otro punto único de la curva (llamado antípoda de x ) a una distancia L de x .
Una superficie compacta M llena una curva cerrada C si su borde (también llamado límite , denotado ∂ M ) es la curva C. Se dice que el relleno M es isométrico si para dos puntos cualesquiera x , y de la curva límite C , la distancia d M ( x , y ) entre ellos a lo largo de M es igual (no menor) que la distancia d C ( x , y ) a lo largo del límite. En otras palabras, rellenar una curva isométricamente es rellenarla sin introducir atajos.
Pregunta: ¿Qué tan pequeña puede ser el área de una superficie que llena isométricamente su curva límite, de una longitud dada?
Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional, el círculo
(de longitud 2 π ) se llena con el disco plano
que no es un relleno isométrico, porque cualquier cuerda recta a lo largo del mismo es un atajo. En cambio, el hemisferio
es un relleno isométrico del mismo círculo C , que tiene el doble de área que el disco plano . ¿Es esta la superficie mínima posible?
Se puede imaginar que la superficie está hecha de un material flexible pero no estirable, lo que permite moverla y doblarla en el espacio euclidiano. Ninguna de estas transformaciones modifica el área de la superficie ni la longitud de las curvas dibujadas sobre ella, que son las magnitudes relevantes para el problema. La superficie se puede eliminar por completo del espacio euclidiano, obteniendo una superficie de Riemann , que es una superficie lisa abstracta con una métrica de Riemann que codifica las longitudes y el área. Recíprocamente, según el teorema de Nash-Kuiper , cualquier superficie de Riemann con límite puede incrustarse en el espacio euclidiano conservando las longitudes y el área especificadas por la métrica de Riemann. Por lo tanto, el problema del llenado puede plantearse de manera equivalente como una cuestión sobre superficies de Riemann , que no están ubicadas en el espacio euclidiano de ninguna manera particular.
En el mismo artículo donde Gromov planteó la conjetura, demostró que
Prueba: Sea un disco de Riemann que llena isométricamente su límite de longitud . Pega cada punto con su antípoda , definida como el único punto que se encuentra a la máxima distancia posible . Pegando de esta manera obtenemos una superficie de Riemann cerrada que es homeomorfa al plano proyectivo real y cuya sístole (la longitud de la curva no contráctil más corta) es igual a . (Y recíprocamente, si abrimos un plano proyectivo a lo largo de un bucle de longitud no contráctil más corto , obtenemos un disco que llena isométricamente su límite de longitud ). Por lo tanto, el área mínima que puede tener el relleno isométrico es igual al área mínima que un El plano proyectivo de sístole de Riemann puede tener. Pero entonces la desigualdad sistólica de Pu afirma precisamente que un plano proyectivo de Riemann de una sístole dada tiene un área mínima si y sólo si es redondo (es decir, obtenido de una esfera euclidiana identificando cada punto con su opuesto). El área de este plano proyectivo redondo es igual al área del hemisferio (porque cada uno de ellos tiene la mitad del área de la esfera).
La prueba de la desigualdad de Pu se basa, a su vez, en el teorema de uniformización .
En 2001, Sergei Ivanov presentó otra forma de demostrar que el hemisferio tiene el área más pequeña entre los rellenos isométricos homeomorfos a un disco. [2] [3] [4] Su argumento no emplea el teorema de uniformización y se basa en cambio en el hecho topológico de que dos curvas en un disco deben cruzarse si sus cuatro puntos finales están en el límite y entrelazados. Además, la prueba de Ivanov se aplica de manera más general a los discos con métricas de Finsler , que se diferencian de las métricas de Riemann en que no necesitan satisfacer la ecuación de Pitágoras en el nivel infinitesimal. El área de una superficie de Finsler se puede definir de varias formas no equivalentes, y la que se emplea aquí es el área de Holmes-Thompson , que coincide con el área habitual cuando la métrica es riemanniana. Lo que Ivanov demostró es que
A diferencia del caso de Riemann, existe una gran variedad de discos de Finsler que llenan isométricamente una curva cerrada y tienen la misma área de Holmes-Thompson que el hemisferio. Si en su lugar se utiliza el área de Hausdorff , entonces la minimalidad del hemisferio aún se mantiene, pero el hemisferio se convierte en el único minimizador. Esto se desprende del teorema de Ivanov ya que el área de Hausdorff de una variedad de Finsler nunca es menor que el área de Holmes-Thompson , y las dos áreas son iguales si y sólo si la métrica es riemanniana.
Un disco euclidiano que llena un círculo puede ser reemplazado, sin disminuir las distancias entre los puntos límite, por un disco de Finsler que llena el mismo círculo N = 10 veces (en el sentido de que su límite rodea el círculo N veces), pero cuyo Holmes –El área de Thompson es menor que N veces el área del disco. [6] Para el hemisferio, se puede encontrar un reemplazo similar. En otras palabras, la conjetura del área de relleno es falsa si se permiten como rellenos 2 cadenas de Finsler con coeficientes racionales , en lugar de superficies orientables (que pueden considerarse como 2 cadenas con coeficientes enteros ).
Una superficie riemanniana orientable de género uno que llena isométricamente el círculo no puede tener menos área que el hemisferio. [7] La prueba en este caso comienza nuevamente pegando los puntos antípodas del límite. La superficie cerrada no orientable así obtenida tiene una doble cubierta orientable de género dos, y por tanto es hiperelíptica . La prueba utiliza entonces una fórmula de J. Hersch a partir de la geometría integral. Es decir, consideremos la familia de bucles en forma de 8 en una pelota de fútbol, con el punto de autointersección en el ecuador. La fórmula de Hersch expresa el área de una métrica en la clase conforme del balón de fútbol, como un promedio de las energías de los bucles en forma de 8 de la familia. Una aplicación de la fórmula de Hersch al cociente hiperelíptico de la superficie de Riemann demuestra en este caso la conjetura del área de llenado.
Si una variedad de Riemann M (de cualquier dimensión) es casi plana (más precisamente, M es una región con una métrica de Riemann que está cerca de la métrica euclidiana estándar), entonces M es un minimizador de volumen : no puede ser reemplazado por una variedad orientable. Variedad de Riemann que llena el mismo límite y tiene menos volumen sin reducir la distancia entre algunos puntos límite. [8] Esto implica que si un trozo de esfera es lo suficientemente pequeño (y por lo tanto, casi plano), entonces es un minimizador de volumen. Si este teorema puede extenderse a regiones grandes (es decir, a todo el hemisferio), entonces la conjetura del área de llenado es cierta. Se ha conjeturado que todas las variedades riemannianas simples (aquellas que son convexas en su límite y donde cada dos puntos están unidos por una geodésica única) son minimizadores de volumen. [8]
La prueba de que cada variedad casi plana M es un minimizador de volumen implica incrustar M en , y luego mostrar que cualquier reemplazo isométrico de M también puede mapearse en el mismo espacio y proyectarse sobre M , sin aumentar su volumen. Esto implica que el reemplazo no tiene menos volumen que el colector original M.
