Geometría diferencial de superficies.

Las matemáticas de las superficies lisas

Carl Friedrich Gauss en 1828

En matemáticas , la geometría diferencial de superficies se ocupa de la geometría diferencial de superficies lisas con varias estructuras adicionales, la mayoría de las veces, una métrica de Riemann . Las superficies se han estudiado ampliamente desde varias perspectivas: extrínsecamente , en relación con su incrustación en el espacio euclidiano , e intrínsecamente , reflejando sus propiedades determinadas únicamente por la distancia dentro de la superficie medida a lo largo de curvas en la superficie. Uno de los conceptos fundamentales investigados es la curvatura gaussiana , estudiada en profundidad por primera vez por Carl Friedrich Gauss , ^[1] quien demostró que la curvatura era una propiedad intrínseca de una superficie, independiente de su incrustación isométrica en el espacio euclidiano.

Las superficies surgen naturalmente como gráficas de funciones de un par de variables y, a veces, aparecen en forma paramétrica o como lugares geométricos asociados a curvas espaciales . Los grupos de Lie (en el espíritu del programa de Erlangen ), a saber, los grupos de simetría del plano euclidiano , la esfera y el plano hiperbólico, desempeñaron un papel importante en su estudio . Estos grupos de Lie se pueden utilizar para describir superficies de curvatura gaussiana constante; También proporcionan un ingrediente esencial en el enfoque moderno de la geometría diferencial intrínseca a través de conexiones . Por otro lado, también se han estudiado ampliamente las propiedades extrínsecas que dependen de la incrustación de una superficie en el espacio euclidiano. Esto está bien ilustrado por las ecuaciones no lineales de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones : aunque Euler desarrolló las ecuaciones de una variable para comprender las geodésicas , definidas independientemente de una incrustación, una de las principales aplicaciones de Lagrange de las ecuaciones de dos variables fue a superficies mínimas. , un concepto que sólo puede definirse en términos de incrustación.

Historia

Bernhard Riemann (1826-1866)

Los volúmenes de determinadas superficies cuádricas de revolución fueron calculados por Arquímedes . ^[2] El desarrollo del cálculo en el siglo XVII proporcionó una forma más sistemática de calcularlos. ^[3] Euler estudió por primera vez la curvatura de superficies generales . En 1760 ^[4] demostró una fórmula para la curvatura de una sección plana de una superficie y en 1771 ^[5] consideró superficies representadas en forma paramétrica. Monge sentó las bases de su teoría en sus memorias clásicas L'application de l'analyse à la géometrie, que aparecieron en 1795. Gauss hizo la contribución definitoria a la teoría de superficies en dos artículos notables escritos en 1825 y 1827 ^{. 1]} Esto marcó un nuevo alejamiento de la tradición porque por primera vez Gauss consideró la geometría intrínseca de una superficie, las propiedades que están determinadas únicamente por las distancias geodésicas entre puntos de la superficie, independientemente de la forma particular en que la superficie esté ubicada en el espacio ambiental euclidiano. El resultado culminante, el Teorema Egregium de Gauss, estableció que la curvatura gaussiana es una invariante intrínseca, es decir, invariante bajo isometrías locales . Este punto de vista fue extendido a espacios de dimensiones superiores por Riemann y condujo a lo que hoy se conoce como geometría riemanniana . El siglo XIX fue la época dorada de la teoría de superficies, tanto desde el punto de vista topológico como geométrico diferencial, y la mayoría de los principales geómetras se dedicaron a su estudio. ^{[ cita necesaria ]} Darboux recopiló muchos resultados en su tratado de cuatro volúmenes Théorie des Surfaces (1887-1896).

Descripción general

Es intuitivamente bastante familiar decir que la hoja de una planta, la superficie de un vaso o la forma de una cara están curvadas de cierta manera, y que todas estas formas, incluso después de ignorar cualquier marca distintiva, tienen ciertas características geométricas. rasgos que los distinguen unos de otros. La geometría diferencial de superficies se ocupa de una comprensión matemática de tales fenómenos. El estudio de este campo, que se inició en su forma moderna en el siglo XVIII, ha llevado al desarrollo de la geometría abstracta y de dimensiones superiores, como la geometría de Riemann y la relatividad general . ^{[ ¿ investigacion original? ]}

El objeto matemático esencial es el de una superficie regular. Aunque las convenciones varían en su definición precisa, forman una clase general de subconjuntos de espacio euclidiano tridimensional ( ℝ ³ ) que capturan parte de la noción familiar de "superficie". Analizando la clase de curvas que se encuentran en dicha superficie y el grado en que las superficies las obligan a curvarse en ℝ ³ , se pueden asociar a cada punto de la superficie dos números, llamados curvaturas principales. Su promedio se llama curvatura media de la superficie y su producto se llama curvatura gaussiana.

Hay muchos ejemplos clásicos de superficies regulares, que incluyen:

• Ejemplos familiares como planos, cilindros y esferas.
• Superficies mínimas , que se definen por la propiedad de que su curvatura media es cero en cada punto. Los ejemplos más conocidos son los catenoides y los helicoides , aunque se han descubierto muchos más. Las superficies mínimas también pueden definirse mediante propiedades relacionadas con el área de la superficie , con la consecuencia de que proporcionan un modelo matemático para la forma de las películas de jabón cuando se estiran a lo largo de un marco de alambre.
• superficies regladas , que son superficies que tienen al menos una línea recta que pasa por cada punto; los ejemplos incluyen el cilindro y el hiperboloide de una hoja.

Un sorprendente resultado de Carl Friedrich Gauss , conocido como teorema egregium , demostró que la curvatura gaussiana de una superficie, que por su definición tiene que ver con cómo las curvas en la superficie cambian de dirección en el espacio tridimensional, en realidad puede medirse por las longitudes. de curvas que se encuentran en las superficies junto con los ángulos formados cuando dos curvas en la superficie se cruzan. Terminológicamente, esto dice que la curvatura gaussiana se puede calcular a partir de la primera forma fundamental (también llamada tensor métrico ) de la superficie. La segunda forma fundamental , por el contrario, es un objeto que codifica cómo las longitudes y ángulos de las curvas en la superficie se distorsionan cuando las curvas se separan de la superficie.

A pesar de medir diferentes aspectos de longitud y ángulo, la primera y la segunda forma fundamental no son independientes entre sí y satisfacen ciertas restricciones llamadas ecuaciones de Gauss-Codazzi . Un teorema importante, a menudo llamado teorema fundamental de la geometría diferencial de superficies, afirma que siempre que dos objetos satisfacen las restricciones de Gauss-Codazzi, surgirán como la primera y segunda formas fundamentales de una superficie regular.

Utilizando la primera forma fundamental, es posible definir nuevos objetos en una superficie regular. Las geodésicas son curvas en la superficie que satisfacen una determinada ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que se especifica mediante la primera forma fundamental. Están muy directamente relacionados con el estudio de las longitudes de las curvas; una geodésica de longitud suficientemente corta siempre será la curva de longitud más corta en la superficie que conecta sus dos puntos finales. Por tanto, las geodésicas son fundamentales para el problema de optimización de determinar el camino más corto entre dos puntos dados en una superficie regular.

También se puede definir el transporte paralelo a lo largo de cualquier curva dada, lo que da una receta sobre cómo deformar un vector tangente a la superficie en un punto de la curva a vectores tangentes en todos los demás puntos de la curva. La prescripción está determinada por una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que se especifica mediante la primera forma fundamental.

Básicamente, todos los conceptos anteriores tienen que ver con el cálculo multivariable. El teorema de Gauss-Bonnet es un resultado más global, que relaciona la curvatura gaussiana de una superficie junto con su tipo topológico. Afirma que el valor medio de la curvatura gaussiana está completamente determinado por la característica de Euler de la superficie junto con su área superficial.

La noción de variedad de Riemann y superficie de Riemann son dos generalizaciones de las superficies regulares analizadas anteriormente. En particular, esencialmente toda la teoría de superficies regulares como se analiza aquí tiene una generalización en la teoría de las variedades de Riemann. Este no es el caso de las superficies de Riemann, aunque cada superficie regular da un ejemplo de una superficie de Riemann.

Superficies regulares en el espacio euclidiano

Definición

Intuitivamente está claro que una esfera es lisa, mientras que un cono o una pirámide, por su vértice o aristas, no lo son. La noción de "superficie regular" es una formalización de la noción de superficie lisa. La definición utiliza la representación local de una superficie mediante mapas entre espacios euclidianos . Existe una noción estándar de suavidad para dichos mapas; un mapa entre dos subconjuntos abiertos del espacio euclidiano es suave si sus derivadas parciales de cada orden existen en cada punto del dominio. ^{[6] [7] [8]}

A continuación se ofrecen tres formas equivalentes de presentar la definición; la definición intermedia es quizás la más intuitiva visualmente, ya que esencialmente dice que una superficie regular es un subconjunto de ℝ ³ que es localmente la gráfica de una función suave (ya sea sobre una región en el plano yz , el plano xz o el plano xy ). avión).

Una parametrización local de la forma del parche Monge para el hemisferio superior de las 2 esferas, obtenida proyectando sobre el plano xy .

Los homeomorfismos que aparecen en la primera definición se conocen como parametrizaciones locales o sistemas de coordenadas locales o gráficos locales en S. ^[13] La equivalencia de las dos primeras definiciones afirma que, alrededor de cualquier punto de una superficie regular, siempre existen parametrizaciones locales de la forma ( u , v ) ↦ ( h ( u , v ), u , v ) , ( u , v ) ↦ ( u , h ( u , v ), v ) , o ( u , v ) ↦ ( u , v , h ( u , v )) , conocidos como parches Monge. Las funciones F como en la tercera definición se denominan funciones de definición local . La equivalencia de las tres definiciones se deriva del teorema de la función implícita . ^{[14] [15] [16]}

Los cambios de coordenadas entre diferentes cartas locales deben ser fluidos.

Dadas dos parametrizaciones locales cualesquiera f  : V → U y f ′ : V ′→ U ′ de una superficie regular, la composición f ⁻¹ ∘ f ′ es necesariamente suave como un mapa entre subconjuntos abiertos de ℝ ² . ^[17] Esto muestra que cualquier superficie regular tiene naturalmente la estructura de una variedad suave , con un atlas suave dado por las inversas de las parametrizaciones locales.

En la teoría clásica de la geometría diferencial, las superficies normalmente se estudian sólo en el caso regular. ^{[7] [18]} Sin embargo, también es común estudiar superficies no regulares, en las que las dos derivadas parciales ∂ _u f y ∂ _v f de una parametrización local pueden no ser linealmente independientes . En este caso, S puede tener singularidades como bordes cuspidales . Estas superficies suelen estudiarse en la teoría de la singularidad . Otras formas debilitadas de superficies regulares ocurren en el diseño asistido por computadora , donde una superficie se divide en pedazos inconexos, y los derivados de las parametrizaciones locales ni siquiera logran ser continuos a lo largo de los límites. ^{[ cita necesaria ]}

Un hiperboloide de dos hojas.

un toro

un helicoide

Ejemplos simples. Un ejemplo simple de una superficie regular lo dan las 2 esferas {( x , y , z ) | x ² + y ² + z ² = 1 }; esta superficie puede estar cubierta por seis parches Monge (dos de cada uno de los tres tipos indicados anteriormente), tomando h ( u , v ) = ± (1 − u ² − v ² ) ^1/2 . También puede cubrirse mediante dos parametrizaciones locales, mediante proyección estereográfica . El conjunto {( x , y , z ) : (( x ² + y ² ) ^1/2 − r ) ² + z ² = R ² } es un toro de revolución con radios r y R. Es una superficie regular; las parametrizaciones locales pueden darse de la forma

${\displaystyle f(s,t)={\big (}(R\cos s+r)\cos t,(R\cos s+r)\sin t,R\sin s{\big )}.}$

El hiperboloide sobre dos hojas {( x , y , z ) : z ² = 1 + x ² + y ² } es una superficie regular; puede estar cubierto por dos parches Monge, con h ( u , v ) = ±(1 + u ² + v ² ) ^1/2 . El helicoidal aparece en la teoría de superficies mínimas . Está cubierto por una única parametrización local, f ( u , v ) = ( u sin v , u cos v , v ) .

Vectores tangentes y vectores normales

Sea S una superficie regular en ℝ ³ y sea p un elemento de S. Usando cualquiera de las definiciones anteriores, se pueden señalar ciertos vectores en ℝ ³ como tangentes a S en p , y ciertos vectores en ℝ ³ como ortogonales a S en p .

Se ve que el espacio tangente o plano tangente a S en p , que se define como compuesto por todos los vectores tangentes a S en p , es un subespacio lineal bidimensional de ℝ ³ ; a menudo se denota por T _p S . El espacio normal a S en p , que se define como compuesto por todos los vectores normales a S en p , es un subespacio lineal unidimensional de ℝ ³ que es ortogonal al espacio tangente T _p S. Como tal, en cada punto p de S , hay dos vectores normales de longitud unitaria (vectores unitarios normales). Los vectores unitarios normales en p se pueden dar en términos de parametrizaciones locales, parches de Monge o funciones de definición locales, mediante las fórmulas

${\displaystyle \pm \left.{\frac {{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}}{{\big \|}{\frac {\partial f}{\partial u}}\times {\frac {\partial f}{\partial v}}{\big \|}}}\right|_{f^{-1}(p)},\qquad \pm \left.{\frac {{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}},{\frac {\partial h}{\partial v}},-1{\big )}}{\sqrt {1+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial u}}{\big )}^{2}+{\big (}{\frac {\partial h}{\partial v}}{\big )}^{2}}}}\right|_{(p_{1},p_{2})},\qquad {\text{or}}\qquad \pm {\frac {\nabla F(p)}{{\big \|}\nabla F(p){\big \|}}},}$

siguiendo las mismas notaciones que en las definiciones anteriores.

También es útil observar una definición "intrínseca" de vectores tangentes, que es típica de la generalización de la teoría de superficies regulares al establecimiento de variedades suaves . Define el espacio tangente como un espacio vectorial real bidimensional abstracto, en lugar de un subespacio lineal de ℝ ³ . En esta definición, se dice que un vector tangente a S en p es una asignación, a cada parametrización local f  : V → S con p ∈ f ( V ) , de dos números X ¹ y X ² , tal que para cualquier otro local parametrización f ′ : V → S con p ∈ f ( V ) (y con los números correspondientes ( X ′) ¹ y ( X ′) ² ), se tiene

${\displaystyle {\begin{pmatrix}X^{1}\\X^{2}\end{pmatrix}}=A_{f'(p)}{\begin{pmatrix}(X')^{1}\\(X')^{2}\end{pmatrix}},}$

donde A _{f ′( p )} es la matriz jacobiana del mapeo f ⁻¹ ∘ f ′ , evaluada en el punto f ′( p ) . La colección de vectores tangentes a S en p tiene naturalmente la estructura de un espacio vectorial bidimensional. Un vector tangente en este sentido corresponde a un vector tangente en el sentido anterior considerando el vector

${\displaystyle X^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+X^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}.}$

en ℝ ³ . La condición jacobiana en X ¹ y X ² asegura, por la regla de la cadena , que este vector no depende de f .

Para funciones suaves en una superficie, los campos vectoriales (es decir, campos vectoriales tangentes) tienen una interpretación importante como operadores o derivaciones de primer orden. Sea una superficie regular, un subconjunto abierto del plano y un gráfico de coordenadas. Si , el espacio se puede identificar con . De manera similar identifica campos vectoriales activados con campos vectoriales activados . Tomando las variables estándar u y v , un campo vectorial tiene la forma , con a y b funciones suaves. Si es un campo vectorial y es una función suave, entonces también es una función suave. El operador diferencial de primer orden es una derivación , es decir, satisface la regla de Leibniz ^[19] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f:U\rightarrow S}$ ${\displaystyle V=f(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(U)}$ ${\displaystyle C^{\infty }(V)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X=a\partial _{u}+b\partial _{v}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle Xg}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(gh)=(Xg)h+g(Xh).}$

Para los campos vectoriales X e Y es sencillo comprobar que el operador es una derivación correspondiente a un campo vectorial. Se llama corchete de Lie . Es asimétrico y satisface la identidad de Jacobi: ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle [X,Y]=-[Y,X]}$

${\displaystyle [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y]=0.}$

En resumen, los campos vectoriales forman o forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie. ^[20] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

Primera y segunda formas fundamentales, el operador de forma y la curvatura.

Sea S una superficie regular en ℝ ³ . Dada una parametrización local f  : V → S y un campo vectorial normal unitario n a f ( V ) , se definen los siguientes objetos como funciones de valor real o matriciales en V. La primera forma fundamental depende sólo de f y no de n . La cuarta columna registra la forma en que estas funciones dependen de f , relacionando las funciones E ′, F ′, G ′, L ′, etc., que surgen para una elección diferente de parametrización local, f ′ : V ′ → S , a los que surgen para f . Aquí A denota la matriz jacobiana de f ^–1 ∘ f ′ . La relación clave para establecer las fórmulas de la cuarta columna es entonces

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f'}{\partial u}}\\{\frac {\partial f'}{\partial v}}\end{pmatrix}}=A{\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial u}}\\{\frac {\partial f}{\partial v}}\end{pmatrix}},}$

como sigue por la regla de la cadena .

Mediante un cálculo directo con la matriz que define el operador de forma, se puede comprobar que la curvatura gaussiana es el determinante del operador de forma, la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma y las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma. operador de forma; además, la curvatura gaussiana es el producto de las curvaturas principales y la curvatura media es su suma. Estas observaciones también pueden formularse como definiciones de estos objetos. Estas observaciones también dejan en claro que las últimas tres filas de la cuarta columna siguen inmediatamente a la fila anterior, ya que matrices similares tienen determinantes, trazas y valores propios idénticos. Es fundamental tener en cuenta que E , G y EG − F ² son todos necesariamente positivos. Esto asegura que la matriz inversa en la definición del operador de forma esté bien definida y que las curvaturas principales sean números reales.

Tenga en cuenta también que una negación de la elección del campo vectorial normal unitario negará la segunda forma fundamental, el operador de forma, la curvatura media y las curvaturas principales, pero dejará la curvatura gaussiana sin cambios. En resumen, esto ha demostrado que, dada una superficie regular S , la curvatura gaussiana de S puede considerarse como una función de valor real en S ; en relación con una elección de campo vectorial normal unitario en todo S , las dos curvaturas principales y la curvatura media también son funciones de valor real en S.

Definición de segunda forma fundamental

Las curvaturas principales en un punto de una superficie.

Geométricamente, se puede considerar que la primera y segunda formas fundamentales brindan información sobre cómo f ( u , v ) se mueve en ℝ ³ mientras ( u , v ) se mueve en V. En particular, la primera forma fundamental codifica la rapidez con la que f se mueve, mientras que la segunda forma fundamental codifica la medida en que su movimiento es en la dirección del vector normal n . En otras palabras, la segunda forma fundamental en un punto p codifica la longitud de la proyección ortogonal desde S al plano tangente a S en p ; en particular, proporciona la función cuadrática que mejor se aproxima a esta longitud. Este pensamiento puede precisarse mediante las fórmulas

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big |}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big |}^{2}-{\big (}Eh^{2}+2Fhk+Gk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0\\\lim _{(h,k)\to (0,0)}{\frac {{\big (}f(u+h,v+k)-f(u,v){\big )}\cdot n-{\frac {1}{2}}{\big (}Lh^{2}+2Mhk+Nk^{2}{\big )}}{h^{2}+k^{2}}}&=0,\end{aligned}}}$

como se desprende directamente de las definiciones de las formas fundamentales y del teorema de Taylor en dos dimensiones. Las principales curvaturas se pueden ver de la siguiente manera. En un punto dado p de S , considere la colección de todos los planos que contienen la línea ortogonal a S. Cada uno de estos planos tiene una curva de intersección con S , que puede considerarse como una curva plana dentro del propio plano. Las dos curvaturas principales en p son los valores máximo y mínimo posibles de la curvatura de esta curva plana en p , cuando el plano considerado gira alrededor de la línea normal.

A continuación se resume el cálculo de las cantidades anteriores en relación con un parche Monge f ( u , v ) = ( u , v , h ( u , v )) . Aquí h _u y h _v denotan las dos derivadas parciales de h , con notación análoga para las segundas derivadas parciales. La segunda forma fundamental y todas las cantidades posteriores se calculan en relación con la elección dada del campo vectorial unitario normal.

Símbolos de Christoffel, ecuaciones de Gauss-Codazzi y el teorema egregium

Sea S una superficie regular en ℝ ³ . Los símbolos de Christoffel asignan, a cada parametrización local f  : V → S , ocho funciones sobre V , definidas por ^[22]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\Gamma _{11}^{1}&\Gamma _{12}^{1}&\Gamma _{21}^{1}&\Gamma _{22}^{1}\\\Gamma _{11}^{2}&\Gamma _{12}^{2}&\Gamma _{21}^{2}&\Gamma _{22}^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {\partial F}{\partial v}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{\frac {\partial F}{\partial u}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {1}{2}}{\frac {\partial G}{\partial v}}\end{pmatrix}}.}$

También se pueden definir mediante las siguientes fórmulas, en las que n es un campo vectorial normal unitario a lo largo de f ( V ) y L , M , N son los componentes correspondientes de la segunda forma fundamental:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u^{2}}}&=\Gamma _{11}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{11}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Ln\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial u\partial v}}&=\Gamma _{12}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{12}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Mn\\{\frac {\partial ^{2}f}{\partial v^{2}}}&=\Gamma _{22}^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+\Gamma _{22}^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}+Nn.\end{aligned}}}$

La clave de esta definición es que∂f​/∂ tu,∂f​/∂v​, y n forman una base de ℝ ³ en cada punto, con respecto a la cual cada una de las tres ecuaciones especifica de forma única los símbolos de Christoffel como coordenadas de las segundas derivadas parciales de f . La elección de la unidad normal no tiene ningún efecto sobre los símbolos de Christoffel, ya que si n se cambia por su negación, entonces los componentes de la segunda forma fundamental también se niegan, por lo que los signos de Ln , Mn , Nn se dejan sin cambios.

La segunda definición muestra, en el contexto de las parametrizaciones locales, que los símbolos de Christoffel son geométricamente naturales. Aunque las fórmulas de la primera definición parecen menos naturales, tienen la importancia de mostrar que los símbolos de Christoffel se pueden calcular a partir de la primera forma fundamental, lo que no es inmediatamente evidente en la segunda definición. La equivalencia de las definiciones se puede comprobar sustituyendo directamente la primera definición por la segunda y utilizando las definiciones de E , F , G.

Las ecuaciones de Codazzi afirman que ^[23]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial L}{\partial v}}-{\frac {\partial M}{\partial u}}&=L\Gamma _{12}^{1}+M(\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{1})-N\Gamma _{11}^{2}\\{\frac {\partial M}{\partial v}}-{\frac {\partial N}{\partial u}}&=L\Gamma _{22}^{1}+M(\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{12}^{1})-N\Gamma _{12}^{2}.\end{aligned}}}$

Estas ecuaciones se pueden derivar directamente de la segunda definición de los símbolos de Christoffel dada anteriormente; por ejemplo, la primera ecuación de Codazzi se obtiene derivando la primera ecuación con respecto a v , la segunda ecuación con respecto a u , restando las dos y tomando el producto escalar con n . La ecuación de Gauss afirma que ^[24]

${\displaystyle {\begin{aligned}KE&={\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}\\KF&={\frac {\partial \Gamma _{12}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{22}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{1}\\KG&={\frac {\partial \Gamma _{22}^{1}}{\partial u}}-{\frac {\partial \Gamma _{12}^{1}}{\partial v}}+\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{22}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{22}^{2}-\Gamma _{21}^{1}\Gamma _{12}^{1}-\Gamma _{22}^{1}\Gamma _{12}^{2}\end{aligned}}}$

Éstas se pueden derivar de manera similar a las ecuaciones de Codazzi, utilizando las ecuaciones de Weingarten en lugar de tomar el producto escalar con n . Aunque se escriben como tres ecuaciones separadas, son idénticas cuando se sustituyen las definiciones de los símbolos de Christoffel, en términos de la primera forma fundamental. Hay muchas maneras de escribir la expresión resultante, una de ellas derivada en 1852 por Brioschi . utilizando un hábil uso de los determinantes: ^{[25] [26]}

${\displaystyle K={\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}E}{\partial v^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial u\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial ^{2}G}{\partial u^{2}}}&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial u}}-{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}\\{\frac {\partial F}{\partial v}}-{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial v}}&F&G\end{pmatrix}}-{\frac {1}{(EG-F^{2})^{2}}}\det {\begin{pmatrix}0&{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}\\{1 \over 2}{\frac {\partial E}{\partial v}}&E&F\\{1 \over 2}{\frac {\partial G}{\partial u}}&F&G\end{pmatrix}}.}$

Cuando se considera que los símbolos de Christoffel están definidos por la primera forma fundamental, las ecuaciones de Gauss y Codazzi representan ciertas restricciones entre la primera y la segunda forma fundamental. La ecuación de Gauss es particularmente notable, ya que muestra que la curvatura gaussiana se puede calcular directamente a partir de la primera forma fundamental, sin necesidad de ninguna otra información; de manera equivalente, esto dice que LN − M ² en realidad se puede escribir como una función de E , F , G , aunque los componentes individuales L , M , N no pueden. Esto se conoce como teorema egregium y fue un descubrimiento importante de Carl Friedrich Gauss . Es particularmente sorprendente cuando uno recuerda la definición geométrica de la curvatura gaussiana de S como definida por los radios máximo y mínimo de los círculos osculadores; parecen estar definidos fundamentalmente por la geometría de cómo S se dobla dentro de ℝ ³ . Sin embargo, el teorema muestra que su producto puede determinarse a partir de la geometría "intrínseca" de S , teniendo que ver únicamente con las longitudes de las curvas a lo largo de S y los ángulos formados en sus intersecciones. Como dice Marcel Berger : ^[27]

Este teorema es desconcertante. [...] Es el tipo de teorema que podría haber esperado decenas de años más antes de ser descubierto por otro matemático ya que, a diferencia de gran parte de la historia intelectual, no estaba en absoluto en el aire. [...] Hasta donde sabemos, hoy en día no existe una prueba geométrica simple del teorema egregium.

Las ecuaciones de Gauss-Codazzi también se pueden expresar y derivar de manera sucinta en el lenguaje de las formas de conexión gracias a Élie Cartan . ^[28] En el lenguaje del cálculo tensorial , haciendo uso de métricas naturales y conexiones en haces tensoriales , la ecuación de Gauss se puede escribir como H ² − | h | ² = R y las dos ecuaciones de Codazzi se pueden escribir como ∇ ₁ h ₁₂ = ∇ ₂ h ₁₁ y ∇ ₁ h ₂₂ = ∇ ₂ h ₁₂ ; las complicadas expresiones relacionadas con los símbolos de Christoffel y la primera forma fundamental quedan completamente absorbidas en las definiciones de la derivada tensorial covariante ∇ h y la curvatura escalar R. Pierre Bonnet demostró que dos formas cuadráticas que satisfacen las ecuaciones de Gauss-Codazzi siempre determinan localmente de forma única una superficie incrustada. ^[29] Por esta razón, las ecuaciones de Gauss-Codazzi a menudo se denominan ecuaciones fundamentales para superficies incrustadas, identificando con precisión de dónde provienen las curvaturas intrínsecas y extrínsecas. Admiten generalizaciones a superficies incrustadas en variedades riemannianas más generales .

Isometrias

Un difeomorfismo entre conjuntos abiertos y en una superficie regular se dice que es una isometría si conserva la métrica, es decir, la primera forma fundamental. ^{[30] [31] [32]} Así, para cada punto en y vectores tangentes en , existen igualdades ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle w_{1},\,\,w_{2}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle E(p)w_{1}\cdot w_{1}+2F(p)w_{1}\cdot w_{2}+G(p)w_{2}\cdot w_{2}=E(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{1})+2F(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2})+G(\varphi (p))\varphi ^{\prime }(w_{1})\cdot \varphi ^{\prime }(w_{2}).}$

En términos del producto interno proveniente de la primera forma fundamental, esto se puede reescribir como

${\displaystyle (w_{1},w_{2})_{p}=(\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}}$.

La catenoide es una superficie regular de revolución.

Por otro lado, la longitud de una curva parametrizada se puede calcular como ${\displaystyle \gamma (t)=(x(t),y(t))}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {E{\dot {x}}\cdot {\dot {x}}+2F{\dot {x}}\cdot {\dot {y}}+G{\dot {y}}\cdot {\dot {y}}}}\,dt}$

y, si la curva está en , las reglas para el cambio de variables muestran que ${\displaystyle U}$

${\displaystyle L(\varphi \circ \gamma )=L(\gamma ).}$

Por el contrario, si conserva las longitudes de todas las curvas parametrizadas, entonces es una isometría. De hecho, para elecciones adecuadas de , los vectores tangentes y dan vectores tangentes arbitrarios y . Las igualdades deben ser válidas para toda elección de vectores tangentes y además de y , de modo que . ^[33] ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\dot {x}}}$ ${\displaystyle {\dot {y}}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle w_{1}}$ ${\displaystyle w_{2}}$ ${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{1})}$ ${\displaystyle \varphi ^{\prime }(w_{2})}$ ${\displaystyle (\varphi ^{\prime }(w_{1}),\varphi ^{\prime }(w_{2}))_{\varphi (p)}=(w_{1},w_{1})_{p}}$

Un ejemplo simple de isometría lo proporcionan dos parametrizaciones y de un conjunto abierto en superficies regulares y . Si , y , entonces es una isometría de sobre .^[34] ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}=E_{2}}$ ${\displaystyle F_{1}=F_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}=G_{2}}$ ${\displaystyle \varphi =f_{2}\circ f_{1}^{-1}}$ ${\displaystyle f_{1}(U)}$ ${\displaystyle f_{2}(U)}$

El cilindro y el plano dan ejemplos de superficies que son localmente isométricas pero que no pueden extenderse a una isometría por razones topológicas. ^[35] Como otro ejemplo, el catenoide y el helicoidal son localmente isométricos. ^[36]

Derivadas covariantes

Un campo vectorial tangencial X en S asigna, a cada p en S , un vector tangente X _p a S en p . De acuerdo con la definición "intrínseca" de vectores tangentes dada anteriormente, un campo vectorial tangencial X asigna entonces, a cada parametrización local f  : V → S , dos funciones de valor real X ¹ y X ² en V , de modo que

${\displaystyle X_{p}=X^{1}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial u}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+X^{2}{\big (}f^{-1}(p){\big )}{\frac {\partial f}{\partial v}}{\Big |}_{f^{-1}(p)}}$

para cada p en S . Se dice que X es suave si las funciones X ¹ y X ² son suaves, para cualquier elección de f . ^[37] De acuerdo con las otras definiciones de vectores tangentes dadas anteriormente, también se puede considerar un campo vectorial tangencial X en S como un mapa X  : S → ℝ ³ tal que X ( p ) está contenido en el espacio tangente T _p S ⊂ ℝ ³ por cada p en S . Como es común en la situación más general de variedades suaves , los campos vectoriales tangenciales también pueden definirse como ciertos operadores diferenciales en el espacio de funciones suaves en S.

Las derivadas covariantes (también llamadas "derivadas tangenciales") de Tullio Levi-Civita y Gregorio Ricci-Curbastro proporcionan un medio para diferenciar campos vectoriales tangenciales suaves. Dado un campo vectorial tangencial X y un vector tangente Y a S en p , la derivada covariante ∇ _Y X es un cierto vector tangente a S en p . En consecuencia, si X e Y son ambos campos vectoriales tangenciales, entonces ∇ _Y X también puede considerarse como un campo vectorial tangencial; iterativamente, si X , Y y Z son campos vectoriales tangenciales, uno puede calcular ∇ _Z ∇ _Y X , que será otro campo vectorial tangencial. Hay algunas formas de definir la derivada covariante; el primero a continuación utiliza los símbolos de Christoffel y la definición "intrínseca" de vectores tangentes, y el segundo es más manifiestamente geométrico.

Dado un campo vectorial tangencial X y un vector tangente Y a S en p , se define ∇ _Y X como el vector tangente a p que asigna a una parametrización local f  : V → S los dos números

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{k}=D_{(Y^{1},Y^{2})}X^{k}{\Big |}_{f^{-1}(p)}+\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\big (}\Gamma _{ij}^{k}X^{j}{\big )}{\Big |}_{f^{-1}(p)}Y^{i},\qquad (k=1,2)}$

donde D _{( Y ¹ , Y ² )} es la derivada direccional . ^[38] Esto a menudo se abrevia en la forma menos engorrosa (∇ _Y X ) ^k = ∂ _Y ( X ^k ) + Y ⁱ Γ ^k
_ijX ^j , haciendo uso de la notación de Einstein y entendiéndose implícitamente las ubicaciones de evaluación de funciones. Esto sigue una prescripción estándar en geometría de Riemann para obtener una conexión a partir de una métrica de Riemann . Es un hecho fundamental que el vector

${\displaystyle (\nabla _{Y}X)^{1}{\frac {\partial f}{\partial u}}+(\nabla _{Y}X)^{2}{\frac {\partial f}{\partial v}}}$

en ℝ ³ es independiente de la elección de la parametización local f , aunque esto es bastante tedioso de comprobar.

También se puede definir la derivada covariante mediante el siguiente enfoque geométrico, que no utiliza símbolos de Christoffel ni parametrizaciones locales. ^{[39] [40] [41]} Sea X un campo vectorial en S , visto como una función S → ℝ ³ . Dada cualquier curva c  : ( a , b ) → S , se puede considerar la composición X ∘ c  : ( a , b ) → ℝ ³ . Como mapa entre espacios euclidianos, se puede diferenciar en cualquier valor de entrada para obtener un elemento ( X ∘ c )′( t ) de ℝ ³ . La proyección ortogonal de este vector sobre T _{c ( t )} S define la derivada covariante ∇ _{c ′( t )} X . Aunque ésta es una definición muy limpia geométricamente, es necesario demostrar que el resultado sólo depende de c ′( t ) y X , y no de c y X ; Se pueden utilizar parametrizaciones locales para este pequeño argumento técnico.

No resulta inmediatamente evidente a partir de la segunda definición que la diferenciación covariante dependa sólo de la primera forma fundamental de S ; sin embargo, esto es inmediato desde la primera definición, ya que los símbolos de Christoffel pueden definirse directamente desde la primera forma fundamental. Es sencillo comprobar que las dos definiciones son equivalentes. La clave es que cuando uno considera X ¹∂f​/∂ tu+ X2^​∂f​/∂v​como función con valor ℝ ³ , su diferenciación a lo largo de una curva da como resultado segundas derivadas parciales ∂ ² f ; los símbolos de Christoffel entran con proyección ortogonal al espacio tangente, debido a la formulación de los símbolos de Christoffel como las componentes tangenciales de las segundas derivadas de f con respecto a la base∂f​/∂ tu,∂f​/∂v​, norte . ^[38] Esto se analiza en la sección anterior.

El lado derecho de las tres ecuaciones de Gauss se puede expresar mediante diferenciación covariante. Por ejemplo, el lado derecho

${\displaystyle {\frac {\partial \Gamma _{11}^{2}}{\partial v}}-{\frac {\partial \Gamma _{21}^{2}}{\partial u}}+\Gamma _{21}^{2}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{22}^{2}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{21}^{1}-\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{21}^{2}}$

puede reconocerse como la segunda coordenada de

${\displaystyle \nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}{\frac {\partial f}{\partial u}}-\nabla _{\frac {\partial f}{\partial u}}\nabla _{\frac {\partial f}{\partial v}}{\frac {\partial f}{\partial u}}}$

en relación con la base∂f​/∂ tu,∂f​/∂v​, como se puede verificar directamente utilizando la definición de diferenciación covariante mediante símbolos de Christoffel. En el lenguaje de la geometría riemanniana , esta observación también puede expresarse como si dijera que los lados derechos de las ecuaciones de Gauss son varios componentes de la curvatura de Ricci de la conexión Levi-Civita de la primera forma fundamental, cuando se interpreta como una métrica riemanniana. .

Ejemplos

La superficie de revolución obtenida al girar la curva x = 2 + cos z alrededor del eje z .

Superficies de revolución

Una superficie de revolución se obtiene girando una curva en el plano xz alrededor del eje z . Tales superficies incluyen esferas, cilindros, conos, toros y catenoide . Los elipsoides , hiperboloides y paraboloides generales no lo son. Supongamos que la curva está parametrizada por

${\displaystyle x=c_{1}(s),\,\,z=c_{2}(s)}$

con s extraído de un intervalo ( a , b ) . Si c ₁ nunca es cero, si c ₁ ′ y c ₂ ′ nunca son iguales a cero, y si c ₁ y c ₂ son ambos lisos, entonces la superficie de revolución correspondiente

${\displaystyle S={\Big \{}{\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}\colon s\in (a,b){\text{ and }}t\in \mathbb {R} {\Big \}}}$

será una superficie regular en ℝ ³ . Una parametrización local f  : ( a , b ) × (0, 2π) → S viene dada por

${\displaystyle f(s,t)={\big (}c_{1}(s)\cos t,c_{1}(s)\sin t,c_{2}(s){\big )}.}$

En relación con esta parametrización, los datos geométricos son: ^[42]

En el caso especial de que la curva original esté parametrizada por longitud de arco, es decir ( c ₁ ′( s )) ² + ( c ₂ ′( s )) ² = 1 , se puede diferenciar para encontrar c ₁ ′( s ) c ₁ ′ ′( s ) + c ₂ ′( s ) c ₂ "( s ) = 0 . Al sustituir en la curvatura gaussiana, se tiene la simplificada

${\displaystyle K=-{\frac {c_{1}''(s)}{c_{1}(s)}}\qquad {\text{and}}\qquad H=c_{1}'(s)c_{2}''(s)-c_{2}'(s)c_{1}''(s)+{\frac {c_{2}'(s)}{c_{1}(s)}}.}$

La simplicidad de esta fórmula hace que sea particularmente fácil estudiar la clase de superficies rotacionalmente simétricas con curvatura gaussiana constante. ^[43] Por reducción al caso alternativo de que c ₂ (s) = s , se pueden estudiar las superficies mínimas rotacionalmente simétricas, con el resultado de que dicha superficie es parte de un plano o una catenoide escalada. ^[44]

Cada curva t constante en S se puede parametrizar como una geodésica; una curva constante- s en S se puede parametrizar como geodésica si y sólo si c ₁ ′(s) es igual a cero. Generalmente, las geodésicas en S se rigen por la relación de Clairaut .

Un elipsoide cuádrico

Superficies cuádricas

Considere la superficie cuádrica definida por ^[45]

${\displaystyle {x^{2} \over a}+{y^{2} \over b}+{z^{2} \over c}=1.}$

Esta superficie admite una parametrización

${\displaystyle x={\sqrt {a(a-u)(a-v) \over (a-b)(a-c)}},\,\,y={\sqrt {b(b-u)(b-v) \over (b-a)(b-c)}},\,\,z={\sqrt {c(c-u)(c-v) \over (c-b)(c-a)}}.}$

La curvatura gaussiana y la curvatura media están dadas por

${\displaystyle K={abc \over u^{2}v^{2}},\,\,K_{m}=-(u+v){\sqrt {abc \over u^{3}v^{3}}}.}$

Un hiperboloide cuádrico de una sola hoja que es una superficie reglada de dos maneras diferentes.

Superficies regladas

Una superficie reglada es aquella que puede generarse mediante el movimiento de una línea recta en E ³ . ^[46] Eligiendo una directriz en la superficie, es decir, una curva de velocidad unitaria suave c ( t ) ortogonal a las líneas rectas, y luego eligiendo u ( t ) como vectores unitarios a lo largo de la curva en la dirección de las líneas, el vector de velocidad v = c _t y u satisfacen

${\displaystyle u\cdot v=0,\,\,\|u\|=1,\,\,\|v\|=1.}$

La superficie está formada por puntos.

${\displaystyle c(t)+s\cdot u(t)}$

ya que s y t varían.

Entonces sí

${\displaystyle a=\|u_{t}\|,\,\,b=u_{t}\cdot v,\,\,\alpha =-{\frac {b}{a^{2}}},\,\,\beta ={\frac {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}{a^{2}}},}$

la curvatura gaussiana y media están dadas por

${\displaystyle K=-{\beta ^{2} \over ((s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})^{2}},\,\,K_{m}=-{r[(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2})]+\beta _{t}(s-\alpha )+\beta \alpha _{t} \over [(s-\alpha )^{2}+\beta ^{2}]^{\frac {3}{2}}}.}$

La curvatura gaussiana de la superficie reglada desaparece si y sólo si u _t y v son proporcionales, ^[47] Esta condición es equivalente a que la superficie sea la envoltura de los planos a lo largo de la curva que contiene el vector tangente v y el vector ortogonal u , es decir a la superficie siendo urbanizable a lo largo de la curva. ^[48] ​​De manera más general, una superficie en E ³ tiene una curvatura gaussiana que desaparece cerca de un punto si y sólo si es desarrollable cerca de ese punto. ^[49] (A continuación se proporciona una condición equivalente en términos de métrica).

Superficies mínimas

En 1760 , Lagrange amplió los resultados de Euler sobre el cálculo de variaciones que involucran integrales en una variable a dos variables. ^[50] Tenía en mente el siguiente problema:

Dada una curva cerrada en E ³ , encuentre una superficie que tenga la curva como límite con un área mínima.

Esta superficie se llama superficie mínima .

En 1776, Jean Baptiste Meusnier demostró que la ecuación diferencial derivada de Lagrange era equivalente a la desaparición de la curvatura media de la superficie:

Una superficie es mínima si y sólo si su curvatura media desaparece.

Las superficies mínimas tienen una interpretación simple en la vida real: son la forma que adoptará una película de jabón si un marco de alambre con forma de curva se sumerge en una solución jabonosa y luego se levanta con cuidado. La cuestión de si existe una superficie mínima con un límite determinado se denomina problema de Plateau en honor al físico belga Joseph Plateau , que llevó a cabo experimentos con películas de jabón a mediados del siglo XIX. En 1930, Jesse Douglas y Tibor Radó dieron una respuesta afirmativa al problema de Plateau (Douglas recibió una de las primeras medallas Fields por este trabajo en 1936). ^[51]

Se conocen explícitamente muchos ejemplos explícitos de superficie mínima, como la catenoide , la helicoide , la superficie de Scherk y la superficie de Enneper . Ha habido una extensa investigación en esta área, resumida en Osserman (2002). En particular, un resultado de Osserman muestra que si una superficie mínima no es plana, entonces su imagen bajo el mapa de Gauss es densa en S ² .

Superficies con (de izq. a r.) curvatura gaussiana constante negativa, cero y positiva

Superficies de curvatura gaussiana constante

Eugenio Beltrami (1835-1899)

Si una superficie tiene curvatura gaussiana constante, se llama superficie de curvatura constante . ^[52]

• La esfera unitaria en E ³ tiene una curvatura gaussiana constante +1.
• Tanto el plano euclidiano como el cilindro tienen una curvatura gaussiana constante 0.
• Las superficies de revolución con φ _tt = φ tienen curvatura gaussiana constante –1. Los casos particulares se obtienen tomando φ ( t ) = C cosh t , C sinh t y C e ^t . ^[53] El último caso es la pseudoesfera clásica generada al girar una tractriz alrededor de un eje central. En 1868 Eugenio Beltrami demostró que la geometría de la pseudoesfera estaba directamente relacionada con la del plano hiperbólico , descubierto independientemente por Lobachevsky (1830) y Bolyai (1832). Ya en 1840, F. Minding, alumno de Gauss, había obtenido fórmulas trigonométricas para la pseudoesfera idénticas a las del plano hiperbólico. ^[54] La geometría intrínseca de esta superficie ahora se comprende mejor en términos de la métrica de Poincaré en el semiplano superior o disco unitario , y ha sido descrita por otros modelos como el modelo de Klein o el modelo hiperboloide , obtenido considerando la Hiperboloide de dos hojas q ( x , y , z ) = −1 en el espacio tridimensional de Minkowski , donde q ( x , y , z ) = x ² + y ² – z ² . ^[55]

Cada una de estas superficies de curvatura constante tiene un grupo de simetrías de Lie transitivo . Este hecho de la teoría de grupos tiene consecuencias de gran alcance, tanto más notables por el papel central que desempeñan estas superficies especiales en la geometría de las superficies, debido al teorema de uniformización de Poincaré (ver más abajo).

Otros ejemplos de superficies con curvatura gaussiana 0 incluyen conos , desarrollables tangentes y, más generalmente, cualquier superficie desarrollable.

Estructura métrica local

Para cualquier superficie incrustada en un espacio euclidiano de dimensión 3 o superior, es posible medir la longitud de una curva en la superficie, el ángulo entre dos curvas y el área de una región en la superficie. Esta estructura está codificada infinitesimalmente en una métrica de Riemann en la superficie mediante elementos de línea y elementos de área . Clásicamente, en el siglo XIX y principios del XX sólo se consideraban superficies incrustadas en R ³ y la métrica se daba como una matriz definida positiva de 2×2 que variaba suavemente de un punto a otro en una parametrización local de la superficie. La idea de parametrización local y cambio de coordenadas se formalizó más tarde a través de la noción abstracta actual de una variedad , un espacio topológico donde la estructura suave está dada por cartas locales en la variedad, exactamente como el planeta Tierra está mapeado por los atlas hoy. Es necesario que los cambios de coordenadas entre diferentes cartas de la misma región sean fluidos. Así como las curvas de nivel en los mapas de la vida real codifican cambios en la elevación, teniendo en cuenta las distorsiones locales de la superficie de la Tierra para calcular distancias reales, la métrica de Riemann describe distancias y áreas "en lo pequeño" en cada carta local. En cada gráfico local se proporciona una métrica de Riemann asignando suavemente una matriz definida positiva de 2 × 2 a cada punto; cuando se toma un gráfico diferente, la matriz se transforma según la matriz jacobiana del cambio de coordenadas. La variedad tiene entonces la estructura de una variedad de Riemann bidimensional .

Operador de forma

Wilhelm Blaschke (1885-1962)

El diferencial dn del mapa de Gauss n se puede utilizar para definir un tipo de curvatura extrínseca, conocido como operador de forma ^[56] o mapa de Weingarten . Este operador apareció por primera vez implícitamente en la obra de Wilhelm Blaschke y luego explícitamente en un tratado de Burali-Forti y Burgati. ^[57] Dado que en cada punto x de la superficie, el espacio tangente es un espacio producto interno , el operador de forma S _x puede definirse como un operador lineal en este espacio mediante la fórmula

${\displaystyle (S_{x}v,w)=(dn(v),w)}$

para vectores tangentes v , w (el producto interno tiene sentido porque dn ( v ) y w se encuentran en E ³ ). ^[a] El lado derecho es simétrico en v y w , por lo que el operador de forma es autoadjunto en el espacio tangente. Los valores propios de S _x son solo las curvaturas principales k ₁ y k ₂ en x . En particular, el determinante del operador de forma en un punto es la curvatura gaussiana, pero también contiene otra información, ya que la curvatura media es la mitad de la traza del operador de forma. La curvatura media es una invariante extrínseca. En geometría intrínseca, un cilindro es desarrollable, lo que significa que cada pieza de él es intrínsecamente indistinguible de una pieza de un plano ya que su curvatura de Gauss desaparece de manera idéntica. Sin embargo, su curvatura media no es cero; por tanto, extrínsecamente es diferente de un plano.

De manera equivalente, el operador de forma se puede definir como un operador lineal en espacios tangentes, S _p :  T _p M → T _p M . Si n es un campo unitario normal a M y v es un vector tangente, entonces

${\displaystyle S(v)=\pm \nabla _{v}n}$

(No existe un acuerdo estándar sobre si usar + o − en la definición).

En general, los vectores propios y valores propios del operador de forma en cada punto determinan las direcciones en las que la superficie se dobla en cada punto. Los valores propios corresponden a las curvaturas principales de la superficie y los vectores propios son las direcciones principales correspondientes. Las direcciones principales especifican las direcciones que debe recorrer una curva incrustada en la superficie para tener una curvatura máxima y mínima, estas están dadas por las curvaturas principales.

Curvas geodésicas en una superficie.

Las curvas en una superficie que minimizan la longitud entre los puntos finales se llaman geodésicas ; son la forma que tomaría una banda elástica estirada entre los dos puntos. Matemáticamente se describen mediante ecuaciones diferenciales ordinarias y el cálculo de variaciones . La geometría diferencial de superficies gira en torno al estudio de las geodésicas. Todavía es una cuestión abierta si cada métrica de Riemann en un mapa local bidimensional surge de una incrustación en un espacio euclidiano tridimensional: la teoría de las geodésicas se ha utilizado para demostrar que esto es cierto en el caso importante en el que los componentes de la métrica son analíticos .

Geodésicas

Un triángulo geodésico en la esfera. Las geodésicas son arcos de círculo máximo .

Dada una trayectoria suave por partes c ( t ) = ( x ( t ), y ( t ) ) en el gráfico para t en [ a , b ] , su longitud está definida por

${\displaystyle L(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})^{\frac {1}{2}}\,dt}$

y energía por

${\displaystyle E(c)=\int _{a}^{b}(E{\dot {x}}^{2}+2F{\dot {x}}{\dot {y}}+G{\dot {y}}^{2})\,dt.}$

La longitud es independiente de la parametrización de una ruta. Según las ecuaciones de Euler-Lagrange , si c ( t ) es un camino que minimiza la longitud, parametrizado por la longitud del arco , debe satisfacer las ecuaciones de Euler.

${\displaystyle {\ddot {x}}+\Gamma _{11}^{1}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{1}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{1}{\dot {y}}^{2}=0}$

${\displaystyle {\ddot {y}}+\Gamma _{11}^{2}{\dot {x}}^{2}+2\Gamma _{12}^{2}{\dot {x}}{\dot {y}}+\Gamma _{22}^{2}{\dot {y}}^{2}=0}$

donde los símbolos de Christoffel Γ^k
_ijestán dados por

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}={\tfrac {1}{2}}\sum _{m}g^{km}(\partial _{j}g_{im}+\partial _{i}g_{jm}-\partial _{m}g_{ij})}$

donde g ₁₁ = E , g ₁₂ = F , g ₂₂ = G y g ^ij es la matriz inversa de g _ij . Un camino que satisface las ecuaciones de Euler se llama geodésica . Según la desigualdad de Cauchy-Schwarz, un camino que minimiza la energía es simplemente una geodésica parametrizada por la longitud del arco; y, para cualquier geodésica, el parámetro t es proporcional a la longitud del arco. ^[58]

Curvatura geodésica

La curvatura geodésica kg _g en un punto de una curva c ( t ) , parametrizada por la longitud del arco, en una superficie orientada se define como ^[59]

${\displaystyle k_{g}={\ddot {c}}(t)\cdot \mathbf {n} (t).}$

donde n ( t ) es la unidad "principal" normal a la curva en la superficie, construida girando el vector unitario tangente ċ ( t ) en un ángulo de +90°.

• La curvatura geodésica en un punto es una invariante intrínseca que depende únicamente de la métrica cerca del punto.
• Una curva de velocidad unitaria sobre una superficie es una geodésica si y sólo si su curvatura geodésica desaparece en todos los puntos de la curva.
• Una curva de velocidad unitaria c ( t ) en una superficie incrustada es una geodésica si y solo si su vector de aceleración c̈ ( t ) es normal a la superficie.

La curvatura geodésica mide de forma precisa qué tan lejos está una curva en la superficie de ser geodésica.

Coordenadas ortogonales

Cuando F = 0 en un gráfico de coordenadas, como ocurre con las coordenadas polares geodésicas que se analizan a continuación, las imágenes de líneas paralelas a los ejes x e y son ortogonales y proporcionan coordenadas ortogonales . Si H = ( EG ) ^{1 ⁄ 2} , entonces la curvatura gaussiana viene dada por ^[60]

${\displaystyle K=-{1 \over 2H}\left[\partial _{x}\left({\frac {G_{x}}{H}}\right)+\partial _{y}\left({\frac {E_{y}}{H}}\right)\right].}$

Si además E = 1 , de modo que H = G ^{1 ⁄ 2} , entonces el ángulo φ en la intersección entre la geodésica ( x ( t ), y ( t )) y la recta y = constante viene dada por la ecuación

${\displaystyle \tan \varphi =H\cdot {\frac {\dot {y}}{\dot {x}}}.}$

La derivada de φ viene dada por una fórmula derivada clásica de Gauss: ^[61]

${\displaystyle {\dot {\varphi }}=-H_{x}\cdot {\dot {y}}.}$

Coordenadas polares geodésicas

Carl Jacobi (1804–1851)

Líneas de contorno que siguen el movimiento de puntos en una curva fija que se mueven a lo largo de geodésicas hacia un punto base

Una vez que se proporciona una métrica en una superficie y se fija un punto base, hay una geodésica única que conecta el punto base con cada punto suficientemente cercano. La dirección de la geodésica en el punto base y la distancia determinan de forma única el otro punto final. Estos dos bits de datos, una dirección y una magnitud, determinan así un vector tangente en el punto base. El mapa desde los vectores tangentes hasta los puntos finales barre suavemente una vecindad del punto base y define lo que se llama el "mapa exponencial", que define un gráfico de coordenadas local en ese punto base. La vecindad barrida tiene propiedades similares a las bolas en el espacio euclidiano, es decir, dos puntos cualesquiera en él están unidos por una geodésica única. Esta propiedad se denomina "convexidad geodésica" y las coordenadas se denominan "coordenadas normales". El cálculo explícito de las coordenadas normales se puede lograr considerando la ecuación diferencial satisfecha por las geodésicas. Las propiedades de convexidad son consecuencias del lema de Gauss y sus generalizaciones. En términos generales, este lema establece que las geodésicas que comienzan en el punto base deben cortar las esferas de radio fijo centradas en el punto base en ángulos rectos. Las coordenadas polares geodésicas se obtienen combinando el mapa exponencial con coordenadas polares en vectores tangentes en el punto base. La curvatura gaussiana de la superficie viene dada entonces por la desviación de segundo orden de la métrica en el punto respecto de la métrica euclidiana. En particular, la curvatura gaussiana es una invariante de la métrica, el célebre Theorema Egregium de Gauss . Una manera conveniente de entender la curvatura proviene de una ecuación diferencial ordinaria, primero considerada por Gauss y luego generalizada por Jacobi, que surge del cambio de coordenadas normales alrededor de dos puntos diferentes. La ecuación de Gauss-Jacobi proporciona otra forma de calcular la curvatura gaussiana. Geométricamente explica lo que sucede con las geodésicas desde un punto base fijo a medida que el punto final varía a lo largo de un pequeño segmento de curva a través de datos registrados en el campo Jacobi , un campo vectorial a lo largo de la geodésica. ^[62] Un siglo y cuarto después de Gauss y Jacobi, Marston Morse dio una interpretación más conceptual del campo de Jacobi en términos de segundas derivadas de la función de energía en la variedad de caminos de Hilbert de dimensión infinita . ^[63]

mapa exponencial

La teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias muestra que si f ( t , v ) es suave entonces la ecuación diferencialdv/dt= f ( t , v ) con condición inicial v (0) = v ₀ tiene una solución única para | t | suficientemente pequeño y la solución depende suavemente de t y v ₀ . Esto implica que para vectores tangentes v suficientemente pequeños en un punto dado p = ( x ₀ , y ₀ ) , hay una c _v ( t ) geodésica definida en (−2, 2) con c _v (0) = ( x ₀ , y ₀ ) y ċ _v (0) = v . Además, si | s | ≤ 1 , entonces c _sv = c _v ( st ) . El mapa exponencial está definido por

exp _p ( v ) = c _v (1)

y da un difeomorfismo entre un disco ‖ v ‖ < δ y una vecindad de p ; de manera más general, el mapa que envía ( p , v ) a exp _p ( v ) da un difeomorfismo local en una vecindad de ( p , p ) . El mapa exponencial da coordenadas normales geodésicas cerca de p . ^[64]

Cálculo de coordenadas normales.

Existe una técnica estándar (ver, por ejemplo, Berger (2004)) para calcular el cambio de variables a coordenadas normales u , v en un punto como una expansión formal de la serie de Taylor . Si las coordenadas x , y en (0,0) son localmente ortogonales, escribe

x ( u , v ) = αu + L ( u , v ) + λ ( u , v ) +…

y ( u , v ) = βv + M ( u , v ) + μ ( u , v ) +…

donde L , M son polinomios homogéneos cuadráticos y λ , μ cúbicos en u y v . Si u y v son fijos, x ( t ) = x ( tu , tv ) e y ( t ) = y ( tu , tv ) pueden considerarse soluciones formales en series de potencias de las ecuaciones de Euler: esto determina de forma única α , β , L , M , λ y μ .

Lema de Gauss

En coordenadas polares geodésicas, las geodésicas que irradian desde el origen cortan ortogonalmente los círculos de radio constante. Las distancias a lo largo de los radios son distancias verdaderas, pero en los círculos concéntricos los arcos pequeños tienen una longitud H ( r , θ ) = G ( r , θ ) ^{1 ⁄ 2} veces el ángulo que subtienden.

En estas coordenadas la matriz g ( x ) satisface g (0) = I y las rectas t ↦ tv son geodésicas hasta 0. Las ecuaciones de Euler implican la ecuación matricial

gramo ( v ) v = v ,

un resultado clave, generalmente llamado lema de Gauss . Geométricamente afirma que

Tomando coordenadas polares ( r , θ ) , se deduce que la métrica tiene la forma

ds ² = dr ² + GRAMO ( r , θ ) dθ ² .

En coordenadas geodésicas, es fácil comprobar que las geodésicas hasta el cero minimizan la longitud. La topología de la variedad de Riemann viene dada entonces por una función de distancia d ( p , q ) , es decir, el mínimo de las longitudes de caminos suaves por tramos entre p y q . Esta distancia se realiza localmente mediante geodésicas, de modo que en coordenadas normales d (0, v ) = ‖ v ‖ . Si el radio δ se toma lo suficientemente pequeño, un ligero enfoque del lema de Gauss muestra que la imagen U del disco ‖ v ‖ < δ bajo el mapa exponencial es geodésicamente convexa , es decir, dos puntos cualesquiera en U están unidos por una única superficie geodésica. enteramente dentro de U. ^{[65] [66]}

Teorema Egregium

El Teorema Egregium de Gauss , el "Teorema Notable", muestra que la curvatura gaussiana de una superficie se puede calcular únicamente en términos de la métrica y, por lo tanto, es una invariante intrínseca de la superficie, independiente de cualquier incrustación isométrica en E ³ y sin cambios bajo transformaciones de coordenadas. . En particular, las isometrías de superficies conservan la curvatura gaussiana. ^[67]

Este teorema se puede expresar en términos de la expansión en serie de potencias de la métrica, ds , y se da en coordenadas normales ( u , v ) como

ds ² = du ² + dv ² − K ( u dv – v du ) ² /12 +… .

Ecuación de Gauss-Jacobi

Tomando un cambio de coordenadas de las coordenadas normales en p a las coordenadas normales en un punto cercano q , se obtiene la ecuación de Sturm-Liouville satisfecha por H ( r , θ ) = G ( r , θ ) ^{1 ⁄ 2} , descubierta por Gauss y luego generalizada por Jacobi ,

El jacobiano de este cambio de coordenadas en q es igual a H _r . Esto proporciona otra forma de establecer la naturaleza intrínseca de la curvatura gaussiana. Debido a que H ( r , θ ) puede interpretarse como la longitud del elemento lineal en la dirección θ , la ecuación de Gauss-Jacobi muestra que la curvatura gaussiana mide la dispersión de las geodésicas en una superficie geométrica a medida que se alejan de un punto. ^[68]

Operador de Laplace-Betrami

En una superficie con métrica local

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

y operador Laplace-Betrami

${\displaystyle \Delta f={1 \over H}\left(\partial _{x}{G \over H}\partial _{x}f-\partial _{x}{F \over H}\partial _{y}f-\partial _{y}{F \over H}\partial _{x}f+\partial _{y}{E \over H}\partial _{y}f\right),}$

donde H ² = EG − F ² , la curvatura gaussiana en un punto viene dada por la fórmula ^[69]

${\displaystyle K=-3\lim _{r\rightarrow 0}\Delta (\log r),}$

donde r denota la distancia geodésica desde el punto.

En coordenadas isotérmicas , consideradas por primera vez por Gauss, se requiere que la métrica tenga la forma especial

${\displaystyle ds^{2}=e^{\varphi }(dx^{2}+dy^{2}).\,}$

En este caso el operador de Laplace-Betrami viene dado por

${\displaystyle \Delta =e^{-\varphi }\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}\right)}$

y φ satisface la ecuación de Liouville ^[70]

${\displaystyle \Delta \varphi =-2K.\,}$

Se sabe que existen coordenadas isotérmicas en las proximidades de cualquier punto de la superficie, aunque todas las pruebas hasta la fecha se basan en resultados no triviales de ecuaciones diferenciales parciales . ^[71] Existe una prueba elemental para superficies mínimas. ^[72]

Teorema de Gauss-Bonnet

Una triangulación del toroide .

Sobre una esfera o un hiperboloide , el área de un triángulo geodésico , es decir, un triángulo cuyos lados son geodésicos, es proporcional a la diferencia de la suma de los ángulos interiores y π . La constante de proporcionalidad es simplemente la curvatura gaussiana, una constante para estas superficies. Para el toro, la diferencia es cero, lo que refleja el hecho de que su curvatura gaussiana es cero. Estos son resultados estándar en trigonometría esférica, hiperbólica y de escuela secundaria (ver más abajo). Gauss generalizó estos resultados a una superficie arbitraria mostrando que la integral de la curvatura gaussiana sobre el interior de un triángulo geodésico también es igual a esta diferencia o exceso de ángulo. Su fórmula demostró que la curvatura gaussiana se podía calcular cerca de un punto como el límite del área sobre el exceso de ángulo para los triángulos geodésicos que se reducían al punto. Dado que cualquier superficie cerrada se puede descomponer en triángulos geodésicos, la fórmula también podría usarse para calcular la integral de la curvatura de toda la superficie. Como caso especial de lo que ahora se llama teorema de Gauss-Bonnet , Gauss demostró que esta integral era sorprendentemente siempre 2π veces un número entero, una invariante topológica de la superficie llamada característica de Euler . Esta invariante es fácil de calcular combinatoriamente en términos del número de vértices, aristas y caras de los triángulos en la descomposición, también llamada triangulación . Esta interacción entre análisis y topología fue la precursora de muchos resultados posteriores en geometría, que culminaron en el teorema del índice de Atiyah-Singer . En particular, las propiedades de la curvatura imponen restricciones a la topología de la superficie.

Triángulos geodésicos

Gauss demostró que, si Δ es un triángulo geodésico sobre una superficie con ángulos α , β y γ en los vértices A , B y C , entonces

${\displaystyle \int _{\Delta }K\,dA=\alpha +\beta +\gamma -\pi .}$

De hecho, tomando coordenadas polares geodésicas con origen A y AB , AC los radios en los ángulos polares 0 y α :

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\Delta }K\,dA&=\int _{\Delta }KH\,dr\,d\theta =-\int _{0}^{\alpha }\int _{0}^{r_{\theta }}\!H_{rr}\,dr\,d\theta \\&=\int _{0}^{\alpha }1-H_{r}(r_{\theta },\theta )\,d\theta =\int _{0}^{\alpha }d\theta +\int _{\pi -\beta }^{\gamma }\!\!d\varphi \\&=\alpha +\beta +\gamma -\pi ,\end{aligned}}}$

donde la segunda igualdad se deriva de la ecuación de Gauss-Jacobi y la cuarta de la fórmula derivada de Gauss en las coordenadas ortogonales ( r , θ ) .

La fórmula de Gauss muestra que la curvatura en un punto se puede calcular como el límite del exceso de ángulo α + β + γ − π sobre el área para triángulos geodésicos sucesivamente más pequeños cerca del punto. Cualitativamente, una superficie se curva positiva o negativamente según el signo del exceso de ángulo para triángulos geodésicos arbitrariamente pequeños. ^[49]

Teorema de Gauss-Bonnet

La característica de Euler de una esfera, triangulada como un icosaedro , es V −- E + F = 12 − 30 + 20 = 2 .

Dado que cada M compacto de 2 colectores orientado puede triangularse mediante pequeños triángulos geodésicos, se deduce que

${\displaystyle \int _{M}KdA=2\pi \,\chi (M)}$

donde χ ( M ) denota la característica de Euler de la superficie.

De hecho, si hay F caras, E aristas y V vértices, entonces 3 F = 2 E y el lado izquierdo es igual a 2π V – π F = 2π( V – E + F ) = 2π χ ( M ) .

Este es el célebre teorema de Gauss-Bonnet : muestra que la integral de la curvatura gaussiana es una invariante topológica de la variedad, es decir, la característica de Euler. Este teorema se puede interpretar de muchas maneras; quizás uno de los de mayor alcance haya sido el teorema del índice para un operador diferencial elíptico en M , uno de los casos más simples del teorema del índice de Atiyah-Singer . Otro resultado relacionado, que puede demostrarse utilizando el teorema de Gauss-Bonnet, es el teorema del índice de Poincaré-Hopf para campos vectoriales en M que desaparecen sólo en un número finito de puntos: la suma de los índices en estos puntos es igual a la característica de Euler, donde el índice de un punto se define de la siguiente manera: en un pequeño círculo alrededor de cada cero aislado, el campo vectorial define un mapa en el círculo unitario; el índice es solo el número sinuoso de este mapa.) ^{[49] [73] [74]}

Curvatura e incrustaciones

Si la curvatura gaussiana de una superficie M es positiva en todas partes, entonces la característica de Euler es positiva, por lo que M es homeomorfa (y por lo tanto difeomorfa) con respecto a S ² . Si además la superficie está isométricamente incrustada en E ³ , el mapa de Gauss proporciona un difeomorfismo explícito. Como observó Hadamard , en este caso la superficie es convexa ; Este criterio de convexidad puede verse como una generalización bidimensional del conocido criterio de la segunda derivada para la convexidad de curvas planas. Hilbert demostró que toda superficie cerrada isométricamente incrustada debe tener un punto de curvatura positiva. Por lo tanto, una variedad 2 de Riemann cerrada de curvatura no positiva nunca puede incrustarse isométricamente en E ³ ; sin embargo, como demostró Adriano Garsia usando la ecuación de Beltrami para mapeos cuasiconformes , esto siempre es posible para alguna métrica conformemente equivalente . ^[75]

Superficies de curvatura constante.

Las superficies simplemente conectadas de curvatura constante 0, +1 y –1 son el plano euclidiano, la esfera unitaria en E ³ y el plano hiperbólico . Cada uno de estos tiene un grupo de Lie tridimensional transitivo de orientación que preserva las isometrías G , que se pueden utilizar para estudiar su geometría. Cada una de las dos superficies no compactas se puede identificar con el cociente G / K donde K es un subgrupo compacto máximo de G . Aquí K es isomorfo a SO(2) . Cualquier otra variedad M cerrada de Riemann de curvatura gaussiana constante, después de escalar la métrica por un factor constante si es necesario, tendrá una de estas tres superficies como su espacio de cobertura universal . En el caso orientable, el grupo fundamental Γ de M se puede identificar con un subgrupo uniforme libre de torsión de G y M luego se puede identificar con el espacio de doble clase lateral Γ \ G / K. En el caso de la esfera y el plano euclidiano, los únicos ejemplos posibles son la propia esfera y los toros obtenidos como cocientes de R ² por subgrupos discretos de rango 2. Para superficies cerradas de género g ≥ 2 , el espacio de módulos de las superficies de Riemann obtenidas como Γ varía en todos esos subgrupos, tiene una dimensión real 6 g - 6 . ^{[76] Según} el teorema de uniformización de Poincaré , cualquier 2-variedad cerrada orientable es conformemente equivalente a una superficie de curvatura constante 0, +1 o –1. En otras palabras, multiplicando la métrica por un factor de escala positivo, se puede hacer que la curvatura gaussiana tome exactamente uno de estos valores (el signo de la característica de Euler de M ). ^[77]

Geometría euclidiana

Un triángulo en el avión.

En el caso del plano euclidiano, el grupo de simetría es el grupo de movimiento euclidiano , el producto semidirecto del grupo bidimensional de traslaciones por el grupo de rotaciones. ^[78] Las geodésicas son líneas rectas y la geometría está codificada en las fórmulas elementales de la trigonometría , como la regla del coseno para un triángulo con lados a , b , c y ángulos α , β , γ :

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma .}$

Los toros planos se pueden obtener tomando el cociente de R ² por una red , es decir, un subgrupo abeliano libre de rango 2. Estas superficies cerradas no tienen incrustaciones isométricas en E ³ . Sin embargo, admiten incrustaciones isométricas en E ⁴ ; en el caso más sencillo, esto se deriva del hecho de que el toroide es producto de dos círculos y cada círculo puede estar incrustado isométricamente en E ² . ^[79]

Geometría esférica

Un triángulo esférico

El área de un triángulo esférico en la esfera unitaria es α + β + γ − π .

El grupo de isometría de la esfera unitaria S ² en E ³ es el grupo ortogonal O(3) , con el grupo de rotación SO(3) como subgrupo de isometrías que conservan la orientación. Es el producto directo de SO (3) con el mapa antípoda , enviando x a –x . ^[80] El grupo SO(3) actúa transitivamente sobre S ² . El subgrupo estabilizador del vector unitario (0,0,1) se puede identificar con SO(2) , de modo que S ² = SO(3)/SO(2) .

Las geodésicas entre dos puntos de la esfera son los arcos de círculo máximo con estos puntos finales dados. Si los puntos no son antípodas, existe una geodésica más corta única entre los puntos. Las geodésicas también se pueden describir en grupo teóricamente: cada geodésica que pasa por el polo norte (0,0,1) es la órbita de un subgrupo de rotaciones alrededor de un eje que pasa por las antípodas del ecuador.

Un triángulo esférico es un triángulo geodésico sobre la esfera. Está definido por los puntos A , B , C en la esfera con lados BC , CA , AB formados a partir de arcos de círculo máximo de longitud menor que π . Si las longitudes de los lados son a , b , c y los ángulos entre los lados α , β , γ , entonces la ley del coseno esférico establece que

${\displaystyle \cos c=\cos a\,\cos b+\sin a\,\sin b\,\cos \gamma .}$

El área del triángulo está dada por

Área = α + β + γ − π .

Utilizando una proyección estereográfica desde el polo Norte, la esfera se puede identificar con el plano complejo extendido C ∪ {∞} . El mapa explícito está dado por

${\displaystyle \pi (x,y,z)={x+iy \over 1-z}\equiv u+iv.}$

Bajo esta correspondencia cada rotación de S ² corresponde a una transformación de Möbius en SU(2) , única hasta el signo. ^[81] Con respecto a las coordenadas ( u , v ) en el plano complejo, la métrica esférica pasa a ser ^[82]

${\displaystyle ds^{2}={4(du^{2}+dv^{2}) \over (1+u^{2}+v^{2})^{2}}.}$

La esfera unitaria es la única superficie cerrada orientable con curvatura constante +1. El cociente SO(3)/O(2) se puede identificar con el plano proyectivo real . No es orientable y puede describirse como el cociente de S ² por el mapa antípoda (multiplicación por −1). La esfera es simplemente conexa, mientras que el plano proyectivo real tiene grupo fundamental Z ₂ . Los subgrupos finitos de SO(3) , ^{correspondientes} a los subgrupos finitos de O(2) y los grupos de simetría de los sólidos platónicos , no actúan libremente sobre S2 , por lo que los cocientes correspondientes no son 2-variedades, solo orbifolds .

Geometría hiperbólica

Henri Poincaré (1854-1912)

La geometría no euclidiana ^[83] se discutió por primera vez en cartas de Gauss, quien hizo extensos cálculos a principios del siglo XIX que, aunque circularon de manera privada, decidió no publicar. En 1830 Lobachevsky e independientemente en 1832 Bolyai , hijo de un corresponsal de Gauss, publicaron versiones sintéticas de esta nueva geometría, por las que fueron severamente criticados. Sin embargo, no fue hasta 1868 que Beltrami, seguido por Klein en 1871 y Poincaré en 1882, dieron modelos analíticos concretos para lo que Klein denominó geometría hiperbólica . Los cuatro modelos de geometría hiperbólica bidimensional que surgieron fueron:

• el modelo Beltrami-Klein ;
• el disco de Poincaré ;
• el semiplano superior de Poincaré ;
• el modelo hiperboloide de Wilhelm Killing en el espacio tridimensional de Minkowski .

El primer modelo, basado en un disco, tiene la ventaja de que las geodésicas son en realidad segmentos de línea (es decir, intersecciones de líneas euclidianas con el disco unitario abierto). El último modelo tiene la ventaja de que proporciona una construcción completamente paralela a la de la esfera unitaria en el espacio euclidiano tridimensional. Sin embargo, por su aplicación en análisis y geometría complejos, los modelos de Poincaré son los más utilizados: son intercambiables gracias a las transformaciones de Möbius entre el disco y el semiplano superior.

Dejar

${\displaystyle D=\{z\,\colon |z|<1\}}$

ser el disco de Poincaré en el plano complejo con métrica de Poincaré

${\displaystyle ds^{2}={4(dx^{2}+dy^{2}) \over (1-x^{2}-y^{2})^{2}}.}$

En coordenadas polares ( r , θ ) la métrica viene dada por

${\displaystyle ds^{2}={4(dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}) \over (1-r^{2})^{2}}.}$

La longitud de una curva γ :[ a , b ] → D viene dada por la fórmula

${\displaystyle \ell (\gamma )=\int _{a}^{b}{2|\gamma ^{\prime }(t)|\,dt \over 1-|\gamma (t)|^{2}}.}$

El grupo G = SU(1,1) dado por

${\displaystyle G=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &\beta \\{\overline {\beta }}&{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,\,|\alpha |^{2}-|\beta |^{2}=1\right\}}$

actúa transitivamente mediante transformaciones de Möbius en D y el subgrupo estabilizador de 0 es el grupo de rotación

${\displaystyle K=\left\{{\begin{pmatrix}\zeta &0\\0&{\overline {\zeta }}\end{pmatrix}}:\zeta \in \mathbf {C} ,\,|\zeta |=1\right\}.}$

El grupo cociente SU(1,1)/± I es el grupo de isometrías de D que preservan la orientación . Dos puntos cualesquiera z , w en D están unidos por una geodésica única, dada por la porción del círculo o línea recta que pasa por z y w y es ortogonal al círculo límite. La distancia entre z y w está dada por

${\displaystyle d(z,w)=2\tanh ^{-1}{\frac {|z-w|}{|1-{\overline {w}}z|}}.}$

En particular d (0, r ) = 2 tanh ⁻¹ r y c ( t ) =1/2tanh t es la geodésica que pasa por 0 a lo largo del eje real, parametrizada por la longitud del arco.

La topología definida por esta métrica es equivalente a la topología euclidiana habitual, aunque como espacio métrico ( D , d ) es completa.

Un triángulo hiperbólico en el modelo de disco de Poincaré

Un triángulo hiperbólico es un triángulo geodésico para esta métrica: tres puntos cualesquiera en D son vértices de un triángulo hiperbólico. Si los lados tienen longitud a , b , c con ángulos correspondientes α , β , γ , entonces la regla del coseno hiperbólico establece que

${\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma .}$

El área del triángulo hiperbólico viene dada por ^[84]

Área = π – α – β – γ .

El disco unitario y el semiplano superior.

${\displaystyle H=\{w=x+iy\,\colon \,y>0\}}$

son conformemente equivalentes por las transformaciones de Möbius

${\displaystyle w=i{1+z \over 1-z},\,\,z={w-i \over w+i}.}$

Bajo esta correspondencia , la acción de SL(2,R) por transformaciones de Möbius en H corresponde a la de SU(1,1) en D. La métrica en H se convierte en

${\displaystyle ds^{2}={dx^{2}+dy^{2} \over y^{2}}.}$

Dado que las líneas o círculos se conservan bajo las transformaciones de Möbius, las geodésicas se describen nuevamente mediante líneas o círculos ortogonales al eje real.

El disco unitario con la métrica de Poincaré es la única variedad de Riemann bidimensional orientada simplemente conectada con curvatura constante −1. Cualquier superficie cerrada orientada M con esta propiedad tiene D como su espacio de cobertura universal. Su grupo fundamental se puede identificar con un subgrupo compacto libre de torsión Γ de SU(1,1) , de tal manera que

${\displaystyle M=\Gamma \backslash G/K.}$

En este caso Γ es un grupo presentado finitamente . Los generadores y las relaciones están codificados en un polígono geodésico fundamental geodésicamente convexo en D (o H ) que corresponde geométricamente a geodésicas cerradas en M.

Ejemplos .

• la superficie de Bolza del género 2;
• el cuártico de Klein del género 3;
• la superficie Macbeath del género 7;
• el primer triplete de Hurwitz del género 14.

Uniformización

Dada una superficie cerrada orientada M con curvatura gaussiana K , la métrica en M se puede cambiar conforme ampliándola por un factor e ^{2 u} . La nueva curvatura gaussiana K′ viene dada por

${\displaystyle K^{\prime }(x)=e^{-2u}(K(x)-\Delta u),}$

donde Δ es el laplaciano de la métrica original. Así, para demostrar que una superficie dada es conformemente equivalente a una métrica con curvatura constante K′ , basta resolver la siguiente variante de la ecuación de Liouville :

${\displaystyle \Delta u=K^{\prime }e^{2u}+K(x).}$

Cuando M tiene la característica de Euler 0, entonces es difeomorfa a un toro , K′ = 0 , por lo que esto equivale a resolver

${\displaystyle \Delta u=K(x).}$

Según la teoría elíptica estándar, esto es posible porque la integral de K sobre M es cero, según el teorema de Gauss-Bonnet. ^[85]

Cuando M tiene característica de Euler negativa, K′ = −1 , entonces la ecuación a resolver es:

${\displaystyle \Delta u=-e^{2u}+K(x).}$

Utilizando la continuidad del mapa exponencial en el espacio de Sobolev debido a Neil Trudinger , esta ecuación no lineal siempre se puede resolver. ^[86]

Finalmente, en el caso de las 2 esferas, K′ = 1 y la ecuación queda:

${\displaystyle \Delta u=e^{2u}+K(x).}$

Hasta ahora esta ecuación no lineal no se ha analizado directamente, aunque resultados clásicos como el teorema de Riemann-Roch implican que siempre tiene solución. ^[87] El método del flujo de Ricci , desarrollado por Richard S. Hamilton , proporciona otra prueba de existencia basada en ecuaciones diferenciales parciales no lineales para probar la existencia. ^[88] De hecho, el flujo de Ricci en métricas conformes en S ² se define en funciones u ( x , t ) por

${\displaystyle u_{t}=4\pi -K'(x,t)=4\pi -e^{-2u}(K(x)-\Delta u).}$

Después de un tiempo finito, Chow demostró que K′ se vuelve positivo; Los resultados anteriores de Hamilton podrían usarse para demostrar que K′ converge a +1. ^[89] Antes de estos resultados sobre el flujo de Ricci, Osgood, Phillips y Sarnak (1988) habían ofrecido un enfoque alternativo y técnicamente más simple para la uniformización basado en el flujo en métricas riemannianas g definidas por log det Δ _g .

En Ding (2001) se puede encontrar una prueba que utiliza operadores elípticos, descubierta en 1988. Sea G la función de Green en S ² que satisface Δ G = 1 + 4π δ _P , donde δ _P es la medida puntual en un punto fijo P de S ² . La ecuación Δ v = 2 K – 2 tiene una solución suave v , porque el lado derecho tiene integral 0 según el teorema de Gauss-Bonnet. Así φ = 2 G + v satisface Δ φ = 2 K lejos de P . De ello se deduce que g ₁ = e ^φ g es una métrica completa de curvatura constante 0 en el complemento de P , que por lo tanto es isométrica al plano. Componiendo con proyección estereográfica , se deduce que existe una función suave u tal que e ^{2 u} g tiene curvatura gaussiana +1 en el complemento de P. La función u se extiende automáticamente a una función suave en todo S ² . ^[b]

Conexión de Riemann y transporte paralelo

Tulio Levi-Civita (1873-1941)

El enfoque clásico de Gauss sobre la geometría diferencial de superficies fue el enfoque elemental estándar ^[90] que precedió al surgimiento de los conceptos de variedad riemanniana iniciados por Bernhard Riemann a mediados del siglo XIX y de conexión desarrollados por Tullio Levi-Civita , Élie Cartan y Hermann Weyl a principios del siglo XX. La noción de conexión, derivada covariante y transporte paralelo proporcionó una forma más conceptual y uniforme de entender la curvatura, que no sólo permitió generalizaciones a variedades de dimensiones superiores sino que también proporcionó una herramienta importante para definir nuevas invariantes geométricas, llamadas clases características . ^[91] El enfoque que utiliza derivadas y conexiones covariantes es hoy en día el adoptado en los libros de texto más avanzados. ^[92]

Derivada covariante

Las conexiones en una superficie se pueden definir desde varios puntos de vista equivalentes pero igualmente importantes. La conexión riemanniana o conexión Levi-Civita . ^[93] quizás se entienda más fácilmente en términos de elevación de campos vectoriales , considerados como operadores diferenciales de primer orden que actúan sobre funciones en la variedad, a operadores diferenciales en el haz tangente o en el haz de marcos . En el caso de una superficie incrustada, la elevación de un operador en campos vectoriales, llamada derivada covariante , se describe de manera muy simple en términos de proyección ortogonal. De hecho, un campo vectorial en una superficie incrustada en R ³ puede considerarse como una función desde la superficie hasta R ³ . Otro campo vectorial actúa como operador diferencial por componentes. El campo vectorial resultante no será tangente a la superficie, pero esto se puede corregir tomando su proyección ortogonal sobre el espacio tangente en cada punto de la superficie. Como se dieron cuenta Ricci y Levi-Civita a principios del siglo XX, este proceso depende sólo de la métrica y puede expresarse localmente en términos de los símbolos de Christoffel.

Transporte paralelo de un vector alrededor de un triángulo geodésico en la esfera. La longitud del vector transportado y el ángulo que forma con cada lado permanecen constantes.

Transporte paralelo

El transporte paralelo de vectores tangentes a lo largo de una curva en la superficie fue el siguiente gran avance en el tema, debido a Levi-Civita . ^[49] Está relacionado con la noción anterior de derivada covariante, porque es la monodromía de la ecuación diferencial ordinaria en la curva definida por la derivada covariante con respecto al vector velocidad de la curva. El transporte paralelo a lo largo de las geodésicas, las "líneas rectas" de la superficie, también se puede describir de forma sencilla y directa. Un vector en el plano tangente se transporta a lo largo de una geodésica como el único campo vectorial con longitud constante y que forma un ángulo constante con el vector de velocidad de la geodésica. Para una curva general, este proceso debe modificarse utilizando la curvatura geodésica, que mide hasta qué punto la curva se aleja de ser geodésica. ^{[sesenta y cinco]}

Un campo vectorial v ( t ) a lo largo de una curva de velocidad unitaria c ( t ) , con curvatura geodésica k _g ( t ) , se dice que es paralelo a lo largo de la curva si

• tiene longitud constante
• el ángulo θ ( t ) que forma con el vector velocidad ċ ( t ) satisface

${\displaystyle {\dot {\theta }}(t)=-k_{g}(t)}$

Esto recupera la regla para el transporte paralelo a lo largo de una curva geodésica o geodésica por tramos, porque en ese caso k _g = 0 , de modo que el ángulo θ ( t ) debe permanecer constante en cualquier segmento geodésico. La existencia de transporte paralelo se deduce porque θ ( t ) se puede calcular como la integral de la curvatura geodésica. Dado que, por lo tanto, depende continuamente de la norma L ² de kg _g , se deduce que el transporte paralelo para una curva arbitraria se puede obtener como el límite del transporte paralelo al aproximar curvas geodésicas por partes. ^[94]

Por tanto, la conexión puede describirse en términos de trayectorias de elevación en la variedad a trayectorias en el haz de marcos tangente u ortonormal, formalizando así la teoría clásica del " marco móvil ", favorecida por los autores franceses. ^[95] Los levantamientos de bucles alrededor de un punto dan lugar al grupo de holonomía en ese punto. La curvatura gaussiana en un punto se puede recuperar a partir del transporte paralelo alrededor de bucles cada vez más pequeños en el punto. De manera equivalente, la curvatura se puede calcular directamente a un nivel infinitesimal en términos de corchetes de Lie de campos vectoriales elevados.

Élie Cartan en 1904

Conexión 1-forma

El enfoque de Cartan y Weyl, utilizando formas de conexión 1 en el haz de marcos de M , ofrece una tercera forma de entender la conexión riemanniana. Se dieron cuenta de que el transporte paralelo dicta que un camino en la superficie se eleve a un camino en el haz de marcos de modo que sus vectores tangentes se encuentren en un subespacio especial de codimensión uno en el espacio tangente tridimensional del haz de marcos. La proyección sobre este subespacio está definida por una forma diferencial 1 en el haz de marcos ortonormal, la forma de conexión . Esto permitió codificar las propiedades de curvatura de la superficie en formas diferenciales en el haz de marcos y fórmulas que involucran sus derivadas exteriores .

Este enfoque es particularmente sencillo para una superficie empotrada. Gracias a un resultado de Kobayashi (1956), la conexión de forma 1 en una superficie incrustada en el espacio euclidiano E ³ es solo el retroceso bajo el mapa de Gauss de la conexión de forma 1 en S ² . ^[96] Utilizando la identificación de S ² con el espacio homogéneo SO(3)/SO(2) , la conexión forma 1 es solo un componente de la forma 1 de Maurer-Cartan en SO(3) . ^[97]

Geometría diferencial global de superficies.

Aunque la caracterización de la curvatura involucra sólo la geometría local de una superficie, existen aspectos globales importantes como el teorema de Gauss-Bonnet , el teorema de uniformización , el teorema de von Mangoldt-Hadamard y el teorema de incrustabilidad. Hay otros aspectos importantes de la geometría global de las superficies. ^[98] Estos incluyen:

• Radio de inyectividad , definido como el mayor r tal que dos puntos a una distancia menor que r están unidos por una geodésica única. Wilhelm Klingenberg demostró en 1959 que el radio de inyectividad de una superficie cerrada está limitado por debajo por el mínimo de δ =π/√ sup Ky la longitud de su geodésica cerrada más pequeña. Esto mejoró un teorema de Bonnet, quien demostró en 1855 que el diámetro de una superficie cerrada de curvatura gaussiana positiva siempre está limitado arriba por δ ; en otras palabras, una geodésica que realiza la distancia métrica entre dos puntos no puede tener una longitud mayor que δ .
• Rigidez . En 1927, Cohn-Vossen demostró que dos ovaloides (superficies cerradas con curvatura gaussiana positiva) que son isométricos son necesariamente congruentes mediante una isometría de E ³ . Además, una superficie incrustada cerrada con curvatura gaussiana positiva y curvatura media constante es necesariamente una esfera; Asimismo, una superficie incrustada cerrada de curvatura gaussiana constante debe ser una esfera (Liebmann 1899). Heinz Hopf demostró en 1950 que una superficie incrustada cerrada con curvatura media constante y género 0, es decir, homeomorfa a una esfera, es necesariamente una esfera; cinco años después, Alexandrov eliminó el supuesto topológico. En la década de 1980, Wente construyó toros sumergidos de curvatura media constante en un espacio tridimensional euclidiano.
• Conjetura de Carathéodory : Esta conjetura establece que una superficie convexa cerrada tres veces diferenciable admite al menos dos puntos umbilicales . El primer trabajo sobre esta conjetura fue en 1924 por Hans Hamburger , quien señaló que se desprende de la siguiente afirmación más fuerte: el índice de valor medio entero de la foliación de curvatura principal de un umbilical aislado es como máximo uno.
• Curvatura gaussiana cero : una superficie completa en E ³ con curvatura gaussiana cero debe ser un cilindro o un plano.
• Teorema de Hilbert (1901): ninguna superficie completa con curvatura negativa constante puede sumergirse isométricamente en E ³ .

Bucle más corto en un toroide

• La conjetura de Willmore . Esta conjetura establece que la integral del cuadrado de la curvatura media de un toro sumergido en E ³ debe estar acotada por debajo por 2π ² . Se sabe que la integral es invariante de Moebius. Fue solucionado en 2012 por Fernando Codá Marques y André Neves . ^[99]
• Desigualdades isoperimétricas . En 1939, Schmidt demostró que la desigualdad isoperimétrica clásica para curvas en el plano euclidiano también es válida en la esfera o en el plano hiperbólico: es decir, demostró que entre todas las curvas cerradas que limitan un dominio de área fija, el perímetro se minimiza cuando la curva es un círculo para la métrica. En una dimensión superior, se sabe que entre todas las superficies cerradas en E ³ que surgen como límite de un dominio acotado de unidad de volumen, el área de superficie se minimiza para una bola euclidiana.
• Desigualdades sistólicas para curvas en superficies . Dada una superficie cerrada, su sístole se define como la longitud más pequeña de cualquier curva cerrada no contráctil en la superficie. En 1949, Loewner demostró una desigualdad del toro para métricas del toro, es decir, que el área del toro sobre el cuadrado de su sístole está limitada por debajo por√ 3/2, con igualdad en el caso plano (curvatura constante). Un resultado similar lo da la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real de 1952, con un límite inferior de2/πtambién se logra en el caso de curvatura constante. Para la botella de Klein , Blatter y Bavard obtuvieron más tarde un límite inferior de√ 8/π. Para una superficie cerrada de género g , Hebda y Burago demostraron que la relación está limitada por debajo de1/2. Tres años más tarde, Mikhail Gromov encontró un límite inferior dado por una constante multiplicada por g ^{1 ⁄ 2} , aunque esto no es óptimo. Límites superior e inferior asintóticamente definidos dados por tiempos constantesgramo/(log g ) ²se deben a Gromov y Buser-Sarnak, y se pueden encontrar en Katz (2007). También existe una versión para métricas sobre la esfera, tomando por sístole la longitud de la geodésica cerrada más pequeña . Gromov conjeturó un límite inferior de1/2 √ 3en 1980: el mejor resultado hasta ahora es el límite inferior de1/8obtenido por Regina Rotman en 2006. ^[100]

guía de lectura

Uno de los estudios introductorios más completos sobre el tema, que traza el desarrollo histórico desde antes de Gauss hasta los tiempos modernos, es el de Berger (2004). Eisenhart (2004), Kreyszig (1991) y Struik (1988) ofrecen explicaciones de la teoría clásica; los libros de texto universitarios más modernos, profusamente ilustrados, de Gray, Abbena y Salamon (2006), Pressley (2001) y Wilson (2008) podrían resultar más accesibles. Una explicación accesible de la teoría clásica se puede encontrar en Hilbert y Cohn-Vossen (1952). Se pueden encontrar tratamientos de posgrado más sofisticados que utilizan la conexión Riemanniana en una superficie en Singer & Thorpe (1967), do Carmo (2016) y O'Neill (2006).

Ver también

• Planitud (matemáticas)
• Vector tangente
• Superficie de Zoll

Notas

1. Tenga en cuenta que en algunos textos más recientes la forma bilineal simétrica del lado derecho se denomina segunda forma fundamental; sin embargo, en general no corresponde a la segunda forma fundamental definida clásicamente.
2. A esto le sigue un argumento que involucra un teorema de Sacks & Uhlenbeck (1981) sobre singularidades removibles de mapas armónicos de energía finita.

1. Gauss 1902.
2. Struik 1987, págs. 50–53
3. Pozos 2017, págs. 17-30
4. Euler 1760
5. Euler 1771
6. Kreyszig 1991
7. Struik 1988
8. Warner 1983
9. Hitchin 2013, pag. 45
10. do Carmo 2016, págs. 54–56
11. Wilson 2008, pag. 115
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13. do Carmo 2016, págs.55
14. do Carmo 2016, págs.60–65
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17. do Carmo 2016, págs.72
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19. Cantante y Thorpe 1967, pág. 100-114
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31. do Carmo 2016, pag. 221–222
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34. do Carmo 2016, pag. 223
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36. do Carmo 2016, págs.224-225
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89. Chen, Lu y Tian (2006) señalaron y corrigieron un paso faltante en el enfoque de Hamilton y Chow; véase también Andrews y Bryan (2010).
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enlaces externos

• Medios relacionados con la geometría diferencial de superficies en Wikimedia Commons