En matemáticas, el programa de Erlangen es un método para caracterizar geometrías basado en la teoría de grupos y la geometría proyectiva . Fue publicado por Felix Klein en 1872 como Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Lleva el nombre de la Universidad Erlangen-Nürnberg , donde trabajaba Klein.
En 1872, habían surgido geometrías no euclidianas , pero sin una forma de determinar su jerarquía y relaciones. El método de Klein fue fundamentalmente innovador en tres sentidos:
Más tarde, Élie Cartan generalizó los espacios modelo homogéneos de Klein a conexiones de Cartan en ciertos paquetes principales , lo que generalizó la geometría de Riemann .
Desde Euclides , la geometría había significado la geometría del espacio euclidiano de dos dimensiones ( geometría plana ) o de tres dimensiones ( geometría sólida ). En la primera mitad del siglo XIX se produjeron varios acontecimientos que complicaron el panorama. Las aplicaciones matemáticas requerían geometría de cuatro o más dimensiones ; el examen minucioso de los fundamentos de la geometría euclidiana tradicional había revelado la independencia del postulado de las paralelas de los demás, y había nacido la geometría no euclidiana . Klein propuso la idea de que todas estas nuevas geometrías son solo casos especiales de la geometría proyectiva , como ya la desarrollaron Poncelet , Möbius , Cayley y otros. Klein también sugirió enfáticamente a los físicos matemáticos que incluso un cultivo moderado del ámbito proyectivo podría reportarles beneficios sustanciales.
Con cada geometría, Klein asoció un grupo subyacente de simetrías . La jerarquía de las geometrías se representa así matemáticamente como una jerarquía de estos grupos y una jerarquía de sus invariantes . Por ejemplo, las longitudes, los ángulos y las áreas se conservan con respecto al grupo de simetrías euclidianas , mientras que bajo las transformaciones proyectivas más generales sólo se conservan la estructura de incidencia y la razón cruzada . Un concepto de paralelismo , que se conserva en la geometría afín , no tiene significado en la geometría proyectiva . Luego, al abstraer los grupos de simetrías subyacentes de las geometrías, las relaciones entre ellos pueden restablecerse a nivel de grupo. Dado que el grupo de geometría afín es un subgrupo del grupo de geometría proyectiva, cualquier noción invariante en geometría proyectiva es a priori significativa en geometría afín; pero no al revés. Si eliminas las simetrías requeridas, tendrás una teoría más poderosa pero menos conceptos y teoremas (que serán más profundos y más generales).
En otras palabras, los "espacios tradicionales" son espacios homogéneos ; pero no para un grupo únicamente determinado. Al cambiar el grupo se cambia el lenguaje geométrico apropiado.
En el lenguaje actual, los grupos interesados en la geometría clásica son todos muy conocidos como grupos de Lie : los grupos clásicos . Las relaciones específicas se describen de forma muy sencilla, utilizando un lenguaje técnico.
Por ejemplo, el grupo de geometría proyectiva en n dimensiones de valores reales es el grupo de simetría del espacio proyectivo real de n dimensiones (el grupo lineal general de grado n + 1 , cociente por matrices escalares ). El grupo afín será el subgrupo que respeta (se asigna a sí mismo, no se fija puntualmente) el hiperplano elegido en el infinito . Este subgrupo tiene una estructura conocida ( producto semidirecto del grupo lineal general de grado n con el subgrupo de traslaciones ). Esta descripción luego nos dice qué propiedades son "afines". En términos de geometría plana euclidiana, ser un paralelogramo es afín ya que las transformaciones afines siempre llevan un paralelogramo a otro. Ser un círculo no es afín ya que un corte afín convertirá un círculo en una elipse.
Para explicar con precisión la relación entre la geometría afín y la euclidiana, ahora necesitamos precisar el grupo de geometría euclidiana dentro del grupo afín. El grupo euclidiano es de hecho (usando la descripción anterior del grupo afín) el producto semidirecto del grupo ortogonal (rotación y reflexión) con las traslaciones. (Consulte Geometría de Klein para obtener más detalles).
Los efectos a largo plazo del programa de Erlangen se pueden ver en todas las matemáticas puras (ver uso tácito en congruencia (geometría) , por ejemplo); y la idea de transformaciones y síntesis utilizando grupos de simetría se ha convertido en estándar en física .
Cuando la topología se describe rutinariamente en términos de propiedades invariantes bajo homeomorfismo , se puede ver la idea subyacente en funcionamiento. Los grupos involucrados serán de dimensión infinita en casi todos los casos –y no grupos de Lie– , pero la filosofía es la misma. Por supuesto, esto habla principalmente de la influencia pedagógica de Klein. Libros como los de HSM Coxeter utilizaban habitualmente el enfoque del programa de Erlangen para ayudar a "colocar" geometrías. En términos pedagógicos, el programa se convirtió en geometría de transformación , una bendición a medias en el sentido de que se basa en intuiciones más fuertes que el estilo de Euclides , pero es menos fácil de convertir en un sistema lógico .
En su libro Estructuralismo (1970), Jean Piaget dice: "A los ojos de los matemáticos estructuralistas contemporáneos, como Bourbaki , el programa de Erlangen equivale sólo a una victoria parcial del estructuralismo, ya que quieren subordinar todas las matemáticas, no sólo la geometría, a la idea de estructura ”.
Para una geometría y su grupo, un elemento del grupo a veces se denomina movimiento de la geometría. Por ejemplo, se puede aprender sobre el modelo de semiplano de geometría hiperbólica de Poincaré a través de un desarrollo basado en movimientos hiperbólicos . Tal desarrollo permite demostrar metódicamente el teorema ultraparalelo mediante movimientos sucesivos.
Muy a menudo, parece que hay dos o más geometrías distintas con grupos de automorfismo isomórficos . Surge la cuestión de leer el programa de Erlangen desde el grupo abstracto hasta la geometría.
Un ejemplo: la geometría elíptica orientada (es decir, reflexiones no incluidas) (es decir, la superficie de una n -esfera con puntos opuestos identificados) y la geometría esférica orientada (la misma geometría no euclidiana , pero con puntos opuestos no identificados) tienen automorfismo isomórfico grupo , SO( n +1) incluso para n . Estos pueden parecer distintos. Sin embargo, resulta que las geometrías están muy relacionadas, de una manera que se puede precisar.
Para tomar otro ejemplo, las geometrías elípticas con diferentes radios de curvatura tienen grupos de automorfismos isomórficos. En realidad, eso no cuenta como una crítica, ya que todas esas geometrías son isomorfas. La geometría general de Riemann queda fuera de los límites del programa.
Los números complejos , duales y dobles (también conocidos como complejos divididos) aparecen como espacios homogéneos SL(2, R )/H para el grupo SL(2, R ) y sus subgrupos H=A, N, K. [1] El grupo SL(2, R ) actúa sobre estos espacios homogéneos mediante transformaciones fraccionarias lineales y una gran parte de las geometrías respectivas se pueden obtener de forma uniforme a partir del programa de Erlangen.
En la física han surgido otros ejemplos notables.
En primer lugar, la geometría hiperbólica n -dimensional , el espacio de Sitter n -dimensional y la geometría inversiva ( n −1) -dimensional tienen grupos de automorfismos isomórficos,
el grupo ortocrónico de Lorentz , para n ≥ 3 . Pero éstas son geometrías aparentemente distintas. Aquí entran algunos resultados interesantes, desde la física. Se ha demostrado que los modelos físicos en cada una de las tres geometrías son "duales" para algunos modelos.
Nuevamente, espacio anti-de Sitter n -dimensional y espacio conforme ( n −1)-dimensional con firma "lorentziana" (en contraste con el espacio conforme con firma "euclidiana", que es idéntico a la geometría inversiva , para tres dimensiones o más) tienen grupos de automorfismo isomórficos, pero son geometrías distintas. Una vez más, existen modelos en física con "dualidades" entre ambos espacios . Consulte AdS/CFT para obtener más detalles.
El grupo de cobertura de SU (2,2) es isomorfo al grupo de cobertura de SO (4,2), que es el grupo de simetría de un espacio de Minkowski conforme 4D y un espacio anti-de Sitter 5D y un tornado complejo de cuatro dimensiones. espacio .
Por lo tanto, el programa de Erlangen todavía puede considerarse fértil en relación con las dualidades en la física.
En el artículo fundamental que introdujo las categorías , Saunders Mac Lane y Samuel Eilenberg afirmaron: "Esto puede considerarse como una continuación del programa de Klein Erlanger, en el sentido de que un espacio geométrico con su grupo de transformaciones se generaliza a una categoría con su álgebra". de mapeos." [2]
En el siguiente artículo de Pradines se analizan las relaciones del programa de Erlangen con el trabajo de Charles Ehresmann sobre grupoides en geometría. [3]
En lógica matemática , el programa de Erlangen también sirvió de inspiración para Alfred Tarski en su análisis de nociones lógicas . [4]
