Espacio torsional

En matemáticas y física teórica (especialmente en la teoría de twistor ), el espacio de twistor es el espacio vectorial complejo de soluciones de la ecuación de twistor . Fue descrito en la década de 1960 por Roger Penrose y Malcolm MacCallum. ^[1] Según Andrew Hodges , el espacio twistor es útil para conceptualizar la forma en que los fotones viajan a través del espacio, utilizando cuatro números complejos . También postula que el espacio twistor puede ayudar a comprender la asimetría de la fuerza nuclear débil . ^[2] ${\displaystyle \nabla _{A'}^{(A}\Omega _{^{}}^{B)}=0}$

motivación informal

En palabras (traducidas) de Jacques Hadamard : "el camino más corto entre dos verdades en el dominio real pasa por el dominio complejo". Por lo tanto, al estudiar el espacio de cuatro dimensiones podría ser valioso identificarlo. Sin embargo, dado que no existe una forma canónica de hacerlo, se consideran todos los isomorfismos con respecto a la orientación y la métrica entre los dos. Resulta que el espacio tridimensional proyectivo complejo parametriza tales isomorfismos junto con coordenadas complejas. Así, una coordenada compleja describe la identificación y las otras dos describen un punto en . Resulta que los paquetes de vectores con conexiones autoduales en ( instantones ) corresponden biyectivamente a paquetes de vectores holomorfos en 3 espacios proyectivos complejos . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Definicion formal

Para el espacio de Minkowski , denotado , las soluciones de la ecuación de Twistor son de la forma ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \Omega ^{A}(x)=\omega ^{A}-ix^{AA'}\pi _{A'}}$

donde y son dos espinores de Weyl constantes y es un punto en el espacio de Minkowski. Son las matrices de Pauli , con los índices de las matrices. Este espacio twistor es un espacio vectorial complejo de cuatro dimensiones, cuyos puntos se denotan por , y con forma hermitiana ${\displaystyle \omega ^{A}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$ ${\displaystyle x^{AA'}=\sigma _{\mu }^{AA'}x^{\mu }}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu }=(I,{\vec {\sigma }})}$ ${\displaystyle A,A^{\prime }=1,2}$ ${\displaystyle Z^{\alpha }=(\omega ^{A},\pi _{A'})}$

${\displaystyle \Sigma (Z)=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}}$

que es invariante bajo el grupo SU(2,2) , que es una cobertura cuádruple del grupo conforme C(1,3) del espaciotiempo compactado de Minkowski.

Los puntos en el espacio de Minkowski están relacionados con los subespacios del espacio twistor a través de la relación de incidencia.

${\displaystyle \omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.}$

Esta relación de incidencia se conserva bajo un cambio de escala general del tornado, por lo que normalmente se trabaja en el espacio del tornado proyectivo, denominado , que es isomorfo como una variedad compleja de . ${\displaystyle \mathbb {PT} }$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{3}}$

Dado un punto, está relacionado con una línea en el espacio twistor proyectivo donde podemos ver que la relación de incidencia da la incrustación lineal de a parametrizado por . ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$ ${\displaystyle \pi _{A'}}$

La relación geométrica entre el espacio twistor proyectivo y el espacio compactificado de Minkowski es la misma que la relación entre líneas y dos planos en el espacio twistor; más precisamente, el espacio twistor es

${\displaystyle \mathbb {T} :=\mathbb {C} ^{4}.}$

Tiene asociada la doble fibración de variedades de bandera donde se encuentra el espacio twistor proyectivo ${\displaystyle \mathbb {P} \xleftarrow {\mu } \mathbb {F} \xrightarrow {\nu } \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbb {P} }$

${\displaystyle \mathbb {P} =F_{1}(\mathbb {T} )=\mathbb {CP} ^{3}=\mathbf {P} (\mathbb {C} ^{4})}$

y es el espacio de Minkowski complejizado y compactado ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {M} =F_{2}(\mathbb {T} )=\operatorname {Gr} _{2}(\mathbb {C} ^{4})=\operatorname {Gr} _{2,4}(\mathbb {C} )}$

y el espacio de correspondencia entre y es ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \mathbb {M} }$

${\displaystyle \mathbb {F} =F_{1,2}(\mathbb {T} )}$

En lo anterior, representa un espacio proyectivo , un Grassmanniano y una variedad de banderas . La doble fibración da lugar a dos correspondencias (ver también transformada de Penrose ), y ${\displaystyle \mathbf {P} }$ ${\displaystyle \operatorname {Gr} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle c=\nu \circ \mu ^{-1}}$ ${\displaystyle c^{-1}=\mu \circ \nu ^{-1}.}$

El espacio de Minkowski, complejizado y compactado, está incrustado mediante la incrustación de Plücker ; la imagen es la cuádrica de Klein . ${\displaystyle \mathbb {M} }$ ${\displaystyle \mathbf {P} _{5}\cong \mathbf {P} (\wedge ^{2}\mathbb {T} )}$

Referencias

1. Penrose, R.; MacCallum, MAH (febrero de 1973). "Teoría del giro: una aproximación a la cuantificación de campos y el espacio-tiempo" . Informes de Física . 6 (4): 241–315. doi :10.1016/0370-1573(73)90008-2.
2. Hodges, Andrés (2010). Del uno al nueve: la vida interior de los números. Doble día Canadá. pag. 142.ISBN _ 978-0-385-67266-5.

• Barrio, RS; Pozos, RO (1991). Geometría Twistor y Teoría de Campos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-42268-X.
• Huggett, SA; Tod, KP (1994). Una introducción a la teoría de los twistores . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-45689-0.