Transformada de Penrose

En física teórica , la transformada de Penrose , introducida por Roger Penrose  (1967, 1968, 1969), es un análogo complejo de la transformada de radón que relaciona campos sin masa en el espacio-tiempo, o más precisamente el espacio de soluciones de ecuaciones de campos sin masa , con la cohomología de gavilla. grupos en el espacio proyectivo complejo . El espacio proyectivo en cuestión es el espacio twistor , un espacio geométrico naturalmente asociado al espacio-tiempo original, y la transformada twistor también es geométricamente natural en el sentido de geometría integral . La transformada de Penrose es un componente importante de la teoría clásica del twistor .

Descripción general

De manera abstracta, la transformada de Penrose opera en una doble fibración de un espacio Y , sobre dos espacios X y Z.

${\displaystyle Z{\xleftarrow {\eta }}Y{\xrightarrow {\tau }}X.}$

En la transformada de Penrose clásica, Y es el haz de espines , X es una forma compactada y compleja del espacio de Minkowski (que como variedad compleja es ) y Z es el espacio twistor (que es ). De manera más general, los ejemplos provienen de fibraciones dobles de la forma. ${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle G/H_{1}{\xleftarrow {\eta }}G/(H_{1}\cap H_{2}){\xrightarrow {\tau }}G/H_{2}}$

donde G es un grupo de Lie complejo semisimple y H ₁ y H ₂ son subgrupos parabólicos .

La transformada de Penrose opera en dos etapas. Primero, se retiran los grupos de cohomología de la gavilla H ^r ( Z , F ) a la cohomología de la gavilla H ^r ( Y , η ⁻¹ F ) en Y ; En muchos casos en los que la transformada de Penrose es de interés, este retroceso resulta ser un isomorfismo. Luego se empujan las clases de cohomología resultantes hasta X ; es decir, se investiga la imagen directa de una clase de cohomología mediante la secuencia espectral de Leray . Luego, la imagen directa resultante se interpreta en términos de ecuaciones diferenciales. En el caso de la transformada de Penrose clásica, las ecuaciones diferenciales resultantes son precisamente las ecuaciones de campo sin masa para un espín dado.

Ejemplo

El ejemplo clásico se da de la siguiente manera.

• El "espacio giratorio" Z es CP ³ proyectivo complejo de 3 espacios , que también es el Gr ₁ ( C ^{4 ) de} Grassmann de líneas en un espacio complejo de 4 dimensiones.
• X = Gr ₂ ( C ⁴ ), el Grassmanniano de 2 planos en un espacio complejo de 4 dimensiones. Se trata de una compactación del espacio complejo de Minkowski.
• Y es la variedad bandera cuyos elementos corresponden a una recta en un plano de C ⁴ .
• G es el grupo SL ₄ ( C ) y H ₁ y H ₂ son los subgrupos parabólicos que fijan una recta o un plano que contiene esta recta.

Los mapas de Y a X y Z son las proyecciones naturales.

Utilizando la notación del índice de espín, la transformada de Penrose proporciona una biyección entre soluciones de la ecuación del campo sin masa de espín. ${\displaystyle \pm n/2}$

$${\displaystyle \partial _{A}\,^{A_{1}'}\phi _{A_{1}'A_{2}'\cdots A_{n}'}=0}$$

esfera de Riemannhaces de líneas holomorfashacessecciones^[1] ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(\pm n-2))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$

Transformación de Penrose-Ward

La transformada de Penrose-Ward es una modificación no lineal de la transformada de Penrose, introducida por Ward (1977), que (entre otras cosas) relaciona paquetes de vectores holomórficos en el espacio proyectivo complejo tridimensional CP ³ con soluciones del autodual Yang-Mills. ecuaciones en S ⁴ . Atiyah y Ward (1977) usaron esto para describir instantenes en términos de paquetes de vectores algebraicos en 3 espacios proyectivos complejos y Atiyah (1979) explicó cómo esto podría usarse para clasificar instantenes en 4 esferas.

Ver también

• Correspondencia de torsión

Referencias

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