En física teórica y matemática aplicada , una ecuación de campo es una ecuación diferencial parcial que determina la dinámica de un campo físico , específicamente la evolución temporal y la distribución espacial del campo. Las soluciones de la ecuación son funciones matemáticas que corresponden directamente al campo, como funciones del tiempo y del espacio. Dado que la ecuación de campo es una ecuación diferencial parcial, existen familias de soluciones que representan una variedad de posibilidades físicas. Por lo general, no hay una sola ecuación, sino un conjunto de ecuaciones acopladas que deben resolverse simultáneamente. Las ecuaciones de campo no son ecuaciones diferenciales ordinarias , ya que un campo depende del espacio y del tiempo, lo que requiere al menos dos variables.
Aunque la " ecuación de onda ", la " ecuación de difusión " y la " ecuación de continuidad " tienen formas estándar (y varios casos especiales o generalizaciones), no existe una única ecuación especial denominada "ecuación de campo".
El tema se divide en ecuaciones de la teoría clásica de campos y la teoría cuántica de campos . Las ecuaciones de campo clásicas describen muchas propiedades físicas como la temperatura de una sustancia, la velocidad de un fluido, las tensiones en un material elástico, los campos eléctricos y magnéticos de una corriente, etc. [1] También describen las fuerzas fundamentales de la naturaleza, como el electromagnetismo y la gravedad. [2] [3] En la teoría cuántica de campos, las partículas o sistemas de "partículas" como los electrones y los fotones están asociados con campos, lo que permite infinitos grados de libertad (a diferencia de los grados de libertad finitos en la mecánica de partículas) y números variables de partículas que pueden crearse o aniquilarse .
Por lo general, las ecuaciones de campo se postulan (como las ecuaciones de campo de Einstein y la ecuación de Schrödinger , que subyace a todas las ecuaciones de campo cuánticas) o se obtienen a partir de los resultados de experimentos (como las ecuaciones de Maxwell ). El alcance de su validez es su capacidad para predecir correctamente y concordar con los resultados experimentales.
Desde un punto de vista teórico, las ecuaciones de campo se pueden formular en los marcos de la teoría de campos lagrangiana , la teoría de campos hamiltoniana y las formulaciones teóricas de campo del principio de acción estacionaria . [4] Dada una densidad lagrangiana o hamiltoniana adecuada, una función de los campos en un sistema dado, así como sus derivadas, el principio de acción estacionaria obtendrá la ecuación de campo.
En las teorías clásicas y cuánticas, las ecuaciones de campo satisfacen la simetría de la teoría física de base. La mayoría de las veces, la simetría galileana es suficiente para velocidades (de campos que se propagan) mucho menores que la de la luz. Cuando las partículas y los campos se propagan a velocidades cercanas a la de la luz, la simetría de Lorentz es una de las configuraciones más comunes porque la ecuación y sus soluciones son entonces consistentes con la relatividad especial.
Otra simetría surge de la libertad de calibración , que es intrínseca a las ecuaciones de campo. Los campos que corresponden a interacciones pueden ser campos de calibración , lo que significa que pueden derivarse de un potencial y ciertos valores de potenciales corresponden al mismo valor del campo.
Las ecuaciones de campo se pueden clasificar de muchas maneras: clásicas o cuánticas, no relativistas o relativistas, según el espín o masa del campo, y el número de componentes que tiene el campo y cómo cambian bajo transformaciones de coordenadas (por ejemplo , campos escalares , campos vectoriales , campos tensoriales , campos de espinores , campos de twistores , etc.). También pueden heredar la clasificación de las ecuaciones diferenciales, como lineales o no lineales , el orden de la derivada más alta, o incluso como ecuaciones diferenciales fraccionarias . Los campos de gauge se pueden clasificar como en la teoría de grupos , como abelianos o no abelianos.
Las ecuaciones de campo son la base de las ecuaciones de onda, porque los campos que cambian periódicamente generan ondas. Las ecuaciones de onda pueden considerarse ecuaciones de campo, en el sentido de que a menudo pueden derivarse de ecuaciones de campo. Alternativamente, dadas densidades lagrangianas o hamiltonianas adecuadas y utilizando el principio de acción estacionaria, también pueden obtenerse las ecuaciones de onda.
Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell se pueden utilizar para derivar ecuaciones de ondas electromagnéticas no homogéneas , y a partir de las ecuaciones de campo de Einstein se pueden derivar ecuaciones para ondas gravitacionales .
No todas las ecuaciones diferenciales parciales (EDP) en física se denominan automáticamente "ecuaciones de campo", incluso si hay campos involucrados. Son ecuaciones adicionales que brindan restricciones adicionales para un sistema físico determinado.
Las " ecuaciones de continuidad " y las " ecuaciones de difusión " describen fenómenos de transporte , aunque pueden involucrar campos que influyen en los procesos de transporte.
Si una " ecuación constitutiva " adopta la forma de una ecuación diferencial parcial e involucra campos, no se la suele llamar ecuación de campo porque no rige el comportamiento dinámico de los campos. Relacionan un campo con otro en un material determinado. Las ecuaciones constitutivas se utilizan junto con las ecuaciones de campo cuando es necesario tener en cuenta los efectos de la materia.
Las ecuaciones de campo clásicas surgen en la mecánica del medio continuo (incluida la elastodinámica y la mecánica de fluidos ), la transferencia de calor , el electromagnetismo y la gravitación .
Las ecuaciones de campo clásicas fundamentales incluyen
Las ecuaciones importantes derivadas de las leyes fundamentales incluyen:
Como parte de los procesos de modelado matemático de la vida real , las ecuaciones de campo clásicas están acompañadas de otras ecuaciones de movimiento , ecuaciones de estado , ecuaciones constitutivas y ecuaciones de continuidad.
En la teoría cuántica de campos, las partículas se describen mediante campos cuánticos que satisfacen la ecuación de Schrödinger . También son operadores de creación y aniquilación que satisfacen relaciones de conmutación y están sujetos al teorema de estadística de espín .
Los casos particulares de ecuaciones de campo cuánticas relativistas incluyen [5]
En las ecuaciones de campo cuántico, es común utilizar componentes de momento de la partícula en lugar de coordenadas de posición de la ubicación de la partícula, los campos están en el espacio de momento y las transformadas de Fourier los relacionan con la representación de la posición.
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