Ecuaciones de Yang-Mills

Ecuaciones diferenciales parciales cuyas soluciones son instantones

El coeficiente dx ¹ ⊗σ ₃ de un instantón BPST en la porción (x ¹ ,x ² ) de R ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente dx ² ⊗σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instantón BPST A con g=2, ρ=1,z=0 a esta porción. La intensidad de campo correspondiente centrada alrededor de z=0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactificación S ⁴ de R ⁴ (abajo a la derecha). El instantón BPST es una solución a las ecuaciones de dualidad anti-auto, y por lo tanto de las ecuaciones de Yang–Mills, en R ⁴ . Esta solución puede extenderse mediante el teorema de singularidad removible de Uhlenbeck a una conexión ASD topológicamente no trivial en S ⁴ .

En física y matemáticas , y especialmente en geometría diferencial y teoría de gauge , las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales para una conexión en un fibrado vectorial o fibrado principal . Surgen en física como ecuaciones de Euler-Lagrange del funcional de acción de Yang-Mills . También han encontrado un uso significativo en matemáticas.

Las soluciones de las ecuaciones se denominan conexiones de Yang-Mills o instantones . El espacio de módulos de los instantones fue utilizado por Simon Donaldson para demostrar el teorema de Donaldson .

Motivación

Física

En su artículo fundacional sobre el tema de las teorías de gauge, Robert Mills y Chen-Ning Yang desarrollaron (esencialmente independientemente de la literatura matemática) la teoría de fibrados principales y conexiones para explicar el concepto de simetría de gauge e invariancia de gauge tal como se aplica a las teorías físicas. ^[1] Las teorías de gauge que descubrieron Yang y Mills, ahora llamadas teorías de Yang-Mills , generalizaron el trabajo clásico de James Maxwell sobre las ecuaciones de Maxwell , que habían sido expresadas en el lenguaje de una teoría de gauge por Wolfgang Pauli y otros. ^[2] La novedad del trabajo de Yang y Mills fue definir las teorías de gauge para una elección arbitraria de grupo de Lie , llamado grupo de estructura (o en física grupo de gauge , ver grupo de gauge (matemáticas) para más detalles). Este grupo podría ser no abeliano a diferencia del caso correspondiente al electromagnetismo, y el marco correcto para discutir tales objetos es la teoría de fibrados principales . ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\operatorname {U} (1)}$

Los puntos esenciales del trabajo de Yang y Mills son los siguientes. Se supone que la descripción fundamental de un modelo físico se realiza mediante el uso de campos , y se deduce que, bajo una transformación de norma local (cambio de trivialización local del fibrado principal), estos campos físicos deben transformarse precisamente de la misma manera que se transforma una conexión (en física, un campo de norma ) en un fibrado principal. La intensidad del campo de norma es la curvatura de la conexión, y la energía del campo de norma está dada (hasta una constante) por la función de acción de Yang-Mills. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (A)=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}.}$

El principio de mínima acción dicta que las ecuaciones de movimiento correctas para esta teoría física deben estar dadas por las ecuaciones de Euler-Lagrange de este funcional, que son las ecuaciones de Yang-Mills derivadas a continuación:

${\displaystyle d_{A}\star F_{A}=0.}$

Matemáticas

Además de los orígenes físicos de la teoría, las ecuaciones de Yang-Mills son de importante interés geométrico. En general, no hay una elección natural de conexión en un fibrado vectorial o fibrado principal. En el caso especial en el que este fibrado es el fibrado tangente a una variedad de Riemann , existe una elección natural de este tipo, la conexión de Levi-Civita , pero en general hay un espacio de dimensión infinita de elecciones posibles. Una conexión de Yang-Mills da algún tipo de elección natural de una conexión para un fibrado general, como describimos ahora.

Una conexión se define por sus formas locales para una cubierta abierta trivializadora para el fibrado . El primer intento de elegir una conexión canónica podría ser exigir que estas formas se anulen. Sin embargo, esto no es posible a menos que la trivialización sea plana, en el sentido de que las funciones de transición sean funciones constantes. No todo fibrado es plano, por lo que esto no es posible en general. En cambio, se podría preguntar que las formas de conexión locales sean en sí mismas constantes. En un fibrado principal, la forma correcta de expresar esta condición es que la curvatura se anula. Sin embargo, según la teoría de Chern-Weil, si la curvatura se anula (es decir, es una conexión plana ), entonces el fibrado principal subyacente debe tener clases de Chern triviales , lo que es una obstrucción topológica a la existencia de conexiones planas: no todo fibrado principal puede tener una conexión plana. ${\displaystyle A_{\alpha }\in \Omega ^{1}(U_{\alpha },\operatorname {ad} (P))}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle P\to X}$ ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ ${\displaystyle A_{\alpha }}$ ${\displaystyle F_{A}=dA+{\frac {1}{2}}[A,A]}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle A}$

Lo mejor que se puede esperar es pedir que en lugar de que la curvatura se desvanezca, el fibrado tenga una curvatura lo más pequeña posible . El funcional de acción de Yang-Mills descrito anteriormente es precisamente (el cuadrado de) la -norma de la curvatura, y sus ecuaciones de Euler-Lagrange describen los puntos críticos de este funcional, ya sean los mínimos absolutos o los mínimos locales. Es decir, las conexiones de Yang-Mills son precisamente aquellas que minimizan su curvatura. En este sentido, son la elección natural de conexión en un fibrado principal o vectorial sobre una variedad desde un punto de vista matemático. ${\displaystyle L^{2}}$

Definición

Sea una variedad riemanniana compacta y orientada . Las ecuaciones de Yang-Mills pueden formularse para una conexión en un fibrado vectorial o fibrado principal sobre , para algún grupo de Lie compacto . Aquí se presenta la última convención. Sea denotar un fibrado principal sobre . Entonces una conexión en puede especificarse por una forma diferencial valorada en el álgebra de Lie en el espacio total del fibrado principal. Esta conexión tiene una forma de curvatura , que es una forma bidimensional en con valores en el fibrado adjunto de . Asociada a la conexión hay una derivada covariante exterior , definida en el fibrado adjunto. Además, dado que es compacta, su álgebra de Lie compacta asociada admite un producto interno invariante bajo la representación adjunta . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F_{A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle d_{A}}$ ${\displaystyle G}$

Como es riemanniano, hay un producto interno en el fibrado cotangente , y combinado con el producto interno invariante de hay un producto interno en el fibrado de formas bivalentes de . Como está orientado, hay un producto interno en las secciones de este fibrado. Es decir, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)\otimes \Lambda ^{2}T^{*}X}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle \langle s,t\rangle _{L^{2}}=\int _{X}\langle s,t\rangle \,dvol_{g}}$

donde dentro de la integral se utiliza el producto interno de cada fibra, y es la forma de volumen de Riemann de . Utilizando este producto interno, el operador adjunto formal de se define por ${\displaystyle dvol_{g}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L^{2}}$ ${\displaystyle d_{A}}$

${\displaystyle \langle d_{A}s,t\rangle _{L^{2}}=\langle s,d_{A}^{*}t\rangle _{L^{2}}}$.

Explícitamente, esto se da por donde es el operador de estrella de Hodge actuando en dos formas. ${\displaystyle d_{A}^{*}=\pm \star d_{A}\star }$ ${\displaystyle \star }$

Suponiendo la configuración anterior, las ecuaciones de Yang-Mills son un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (en general no lineales) dadas por

Dado que la estrella de Hodge es un isomorfismo, mediante la fórmula explícita las ecuaciones de Yang-Mills se pueden escribir de manera equivalente ${\displaystyle d_{A}^{*}}$

Una conexión que satisface ( 1 ) o ( 2 ) se denomina conexión Yang-Mills .

Cada conexión satisface automáticamente la identidad de Bianchi , por lo que las conexiones de Yang-Mills pueden verse como un análogo no lineal de las formas diferenciales armónicas , que satisfacen ${\displaystyle d_{A}F_{A}=0}$

${\displaystyle d\omega =d^{*}\omega =0}$.

En este sentido, la búsqueda de conexiones de Yang-Mills puede compararse con la teoría de Hodge , que busca un representante armónico en la clase de cohomología de De Rham de una forma diferencial. La analogía es que una conexión de Yang-Mills es como un representante armónico en el conjunto de todas las conexiones posibles en un fibrado principal.

Derivación

Las ecuaciones de Yang-Mills son las ecuaciones de Euler-Lagrange de la funcional de Yang-Mills , definida por

Para derivar las ecuaciones a partir del funcional, recordemos que el espacio de todas las conexiones en es un espacio afín modelado sobre el espacio vectorial . Dada una pequeña deformación de una conexión en este espacio afín, las curvaturas están relacionadas por ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Omega ^{1}(P;{\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle A+ta}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle F_{A+ta}=F_{A}+td_{A}a+t^{2}a\wedge a.}$

Para determinar los puntos críticos de ( 3 ), calcule

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\left(\operatorname {YM} (A+ta)\right)_{t=0}&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\langle F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a,F_{A}+t\,d_{A}a+t^{2}a\wedge a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&={\frac {d}{dt}}\left(\int _{X}\|F_{A}\|^{2}+2t\langle F_{A},d_{A}a\rangle +2t^{2}\langle F_{A},a\wedge a\rangle +t^{4}\|a\wedge a\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}\right)_{t=0}\\&=2\int _{X}\langle d_{A}^{*}F_{A},a\rangle \,d\mathrm {vol} _{g}.\end{aligned}}}$

La conexión es un punto crítico de la funcional Yang-Mills si y sólo si ésta se desvanece para cada , y esto ocurre precisamente cuando se satisface ( 1 ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a}$

Espacio de módulos de las conexiones de Yang-Mills

Las ecuaciones de Yang-Mills son invariantes de norma . Matemáticamente, una transformación de norma es un automorfismo del fibrado principal y, dado que el producto interno en es invariante, la función de Yang-Mills satisface ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (P)}$

${\displaystyle \operatorname {YM} (g\cdot A)=\int _{X}\|gF_{A}g^{-1}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\int _{X}\|F_{A}\|^{2}\,d\mathrm {vol} _{g}=\operatorname {YM} (A)}$

y entonces si satisface ( 1 ), también lo hace . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle g\cdot A}$

Existe un espacio de módulos de conexiones de Yang–Mills módulo transformaciones de norma. Se denota por el grupo de norma de automorfismos de . El conjunto clasifica todas las conexiones módulo transformaciones de norma, y ​​el espacio de módulos de conexiones de Yang–Mills es un subconjunto. En general, ni o es Hausdorff ni una variedad suave. Sin embargo, al restringir a conexiones irreducibles, es decir, conexiones cuyo grupo de holonomía está dado por todos los , se obtienen espacios de Hausdorff. El espacio de conexiones irreducibles se denota por , y por lo tanto los espacios de módulos se denotan por y . ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}={\mathcal {A}}/{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{*}}$

Los espacios de módulos de las conexiones de Yang–Mills se han estudiado intensamente en circunstancias específicas. Michael Atiyah y Raoul Bott estudiaron las ecuaciones de Yang–Mills para fibrados sobre superficies compactas de Riemann . ^[4] Allí, el espacio de módulos obtiene una descripción alternativa como un espacio de módulos de fibrados vectoriales holomorfos . Este es el teorema de Narasimhan–Seshadri , que fue demostrado en esta forma relacionando las conexiones de Yang–Mills con fibrados vectoriales holomorfos por Donaldson. ^[5] En este contexto, el espacio de módulos tiene la estructura de una variedad compacta de Kähler . Los módulos de las conexiones de Yang–Mills se han estudiado más cuando la dimensión de la variedad base es cuatro. ^{[3] [6]} Aquí las ecuaciones de Yang–Mills admiten una simplificación de una EDP de segundo orden a una EDP de primer orden, las ecuaciones de anti-autodualidad. ${\displaystyle X}$

Ecuaciones anti-auto-dualidad

Cuando la dimensión de la variedad base es cuatro, se produce una coincidencia: el operador de estrella de Hodge asigna dos formas a dos formas, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \star :\Omega ^{2}(X)\to \Omega ^{2}(X)}$.

En este caso, el operador de estrella de Hodge eleva al cuadrado la identidad, por lo que tiene valores propios y . En particular, hay una descomposición ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \Omega ^{2}(X)=\Omega _{+}(X)\oplus \Omega _{-}(X)}$

en los espacios propios positivos y negativos de , las dos formas autoduales y antiautoduales . Si una conexión en un fibrado principal sobre una variedad cuatridimensional satisface o bien , entonces por ( 2 ), la conexión es una conexión de Yang-Mills. Estas conexiones se denominan conexiones autoduales o conexiones antiautoduales , y las ecuaciones las ecuaciones de autodualidad (SD) y las ecuaciones de antiautodualidad (ASD) . ^[3] Los espacios de conexiones autoduales y antiautoduales se denotan por y , y de manera similar para y . ${\displaystyle \star }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F_{A}={\star F_{A}}}$ ${\displaystyle F_{A}=-{\star F_{A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{+}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{-}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{\pm }}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}^{\pm }}$

El espacio de módulos de conexiones ASD, o instantones, fue estudiado más intensamente por Donaldson en el caso donde y es simplemente conexo . ^{[7] [8] [9]} En este contexto, el fibrado principal se clasifica por su segunda clase de Chern , . ^{[Nota 1]} Para varias opciones de fibrado principal, se obtienen espacios de módulos con propiedades interesantes. Estos espacios son de Hausdorff, incluso cuando se permiten conexiones reducibles, y son genéricamente suaves. Donaldson demostró que la parte suave es orientable. Por el teorema del índice de Atiyah-Singer , se puede calcular que la dimensión de , el espacio de módulos de conexiones ASD cuando , es ${\displaystyle G=\operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ ${\displaystyle c_{2}(P)\in H^{4}(X,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{k}^{-}}$ ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{k}^{-}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X))}$

donde es el primer número de Betti de , y es la dimensión del subespacio definido positivo de con respecto a la forma de intersección en . ^[3] Por ejemplo, cuando y , la forma de intersección es trivial y el espacio de módulos tiene dimensión . Esto concuerda con la existencia del instantón BPST , que es el único instantón ASD en una familia de hasta 5 parámetros que define su centro en y su escala. Dichos instantones en pueden extenderse a través del punto en el infinito utilizando el teorema de singularidad removible de Uhlenbeck. De manera más general, para positivos el espacio de módulos tiene dimensión ${\displaystyle b_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{+}(X)}$ ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=S^{4}}$ ${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}_{1}^{-}(S^{4})=8-3=5}$ ${\displaystyle S^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle k,}$ ${\displaystyle 8k-3.}$

Aplicaciones

Teorema de Donaldson

El espacio de módulos de las ecuaciones de Yang-Mills fue utilizado por Donaldson para demostrar el teorema de Donaldson sobre la forma de intersección de cuatro variedades simplemente conexas. Utilizando los resultados analíticos de Clifford Taubes y Karen Uhlenbeck , Donaldson pudo demostrar que en circunstancias específicas (cuando la forma de intersección es definida ) el espacio de módulos de los instantones ASD en una cuatro variedades lisas, compactas, orientadas y simplemente conexas da un cobordismo entre una copia de la propia variedad y una unión disjunta de copias del plano proyectivo complejo . ^{[7] [10] [11] [12]} Podemos contar el número de copias de de dos maneras: una usando que la firma es un invariante del cobordismo, y otra usando una interpretación de la teoría de Hodge de las conexiones reducibles. Interpretando estos conteos cuidadosamente, uno puede concluir que una variedad lisa de este tipo tiene forma de intersección diagonalizable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

El espacio de módulos de los instantones ASD puede utilizarse para definir otros invariantes de cuatro variedades. Donaldson definió polinomios en el segundo grupo de homología de una clase adecuadamente restringida de cuatro variedades, que surgen de emparejamientos de clases de cohomología en el espacio de módulos. ^[9] Este trabajo ha sido superado posteriormente por los invariantes de Seiberg-Witten .

Reducción dimensional y otros espacios de módulos

Mediante el proceso de reducción dimensional, las ecuaciones de Yang-Mills pueden utilizarse para derivar otras ecuaciones importantes en geometría diferencial y teoría de gauge. La reducción dimensional es el proceso de tomar las ecuaciones de Yang-Mills sobre una variedad de cuatro dimensiones, típicamente , e imponer que las soluciones sean invariantes bajo un grupo de simetría. Por ejemplo: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Al requerir que las ecuaciones de anti-autodualidad sean invariantes bajo traslaciones en una sola dirección de , se obtienen las ecuaciones de Bogomolny que describen monopolos magnéticos en . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
• Al exigir que las ecuaciones de autodualidad sean invariantes bajo la traslación en dos direcciones, se obtienen las ecuaciones de Hitchin investigadas por primera vez por Hitchin . Estas ecuaciones conducen naturalmente al estudio de los haces de Higgs y del sistema de Hitchin .
• Al exigir que las ecuaciones anti-auto-dualidad sean invariantes en tres direcciones, se obtienen las ecuaciones de Nahm en un intervalo.

Existe una dualidad entre las soluciones de las ecuaciones ASD reducidas dimensionalmente en y llamada transformada de Nahm, en honor a Werner Nahm , quien describió por primera vez cómo construir monopolos a partir de datos de ecuaciones de Nahm. ^[13] Hitchin mostró lo inverso, y Donaldson demostró que las soluciones de las ecuaciones de Nahm podían vincularse además a espacios de módulos de mapas racionales desde la línea proyectiva compleja hacia sí misma. ^{[14] [15]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Se cree que la dualidad observada para estas soluciones se cumple para grupos duales arbitrarios de simetrías de una variedad cuatridimensional. De hecho, existe una dualidad similar entre los instantones invariantes bajo redes duales dentro de , los instantones sobre toros duales de cuatro dimensiones, y la construcción ADHM puede considerarse como una dualidad entre los instantones sobre y los datos algebraicos duales sobre un único punto. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Las reducciones de simetría de las ecuaciones ASD también conducen a una serie de sistemas integrables , y la conjetura de Ward es que, de hecho, todas las EDO y EDP integrables conocidas provienen de la reducción de simetría de ASDYM. Por ejemplo, las reducciones de SU(2) ASDYM dan la ecuación de seno-Gordon y Korteweg–de Vries , de ASDYM da la ecuación de Tzitzeica , y una reducción particular a dimensiones da el modelo quiral integrable de Ward. ^[16] En este sentido, es una "teoría maestra" para sistemas integrables, que permite recuperar muchos sistemas conocidos eligiendo parámetros apropiados, como la elección del grupo de calibración y el esquema de reducción de simetría. Otras teorías maestras de este tipo son la teoría de Chern–Simons de cuatro dimensiones y el modelo afín de Gaudin . ${\displaystyle \mathrm {SL} (3,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2+1}$

Teoría de Chern-Simons

El espacio de módulos de las ecuaciones de Yang–Mills sobre una superficie compacta de Riemann puede verse como el espacio de configuración de la teoría de Chern–Simons sobre un cilindro . En este caso, el espacio de módulos admite una cuantificación geométrica , descubierta independientemente por Nigel Hitchin y Axelrod–Della Pietra– Witten . ^{[17] [18]} ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma \times [0,1]}$

Véase también

• Conexión (haz vectorial)
• Conexión (haz principal)
• Teoría de Donaldson
• Ecuaciones hermitianas de Yang-Mills
• Ecuaciones de Yang-Mills hermíticas deformadas
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Notas

1. Para una prueba de este hecho, consulte la publicación https://mathoverflow.net/a/265399.

Referencias

1. Yang, CN y Mills, RL, 1954. Conservación del espín isotópico e invariancia de calibración isotópica. Physical review, 96(1), p.191.
2. Pauli, W., 1941. Teorías relativistas de campos de partículas elementales. Reseñas de Física Moderna, 13(3), p.203.
3. Donaldson, SK y Kronheimer, PB (1990). La geometría de cuatro variedades. Oxford University Press.
4. Atiyah, MF y Bott, R. (1983). Las ecuaciones de Yang-Mills sobre superficies de Riemann. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas, 308(1505), 523–615.
5. Donaldson, SK (1983). Una nueva prueba de un teorema de Narasimhan y Seshadri. Journal of Differential Geometry, 18(2), 269–277.
6. Friedman, R., y Morgan, JW (1998). Teoría de calibre y topología de cuatro variedades (Vol. 4). American Mathematical Soc.
7. Donaldson, SK (1983). Una aplicación de la teoría de calibración a la topología de cuatro dimensiones. Journal of Differential Geometry, 18(2), 279–315.
8. Donaldson, SK (1986). Conexiones, cohomología y formas de intersección de 4-variedades. Journal of Differential Geometry, 24(3), 275–341.
9. Donaldson, SK (1990). Invariantes polinomiales para cuatro variedades suaves. Topología, 29(3), 257–315.
10. Taubes, CH (1982). Conexiones Yang-Mills autoduales en variedades 4-duales no autoduales. Journal of Differential Geometry, 17(1), 139–170.
11. Uhlenbeck, KK (1982). Conexiones con los límites de L ^p en la curvatura. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 31–42.
12. Uhlenbeck, KK (1982). Singularidades removibles en campos de Yang-Mills. Communications in Mathematical Physics, 83(1), 11–29.
13. Nahm, W. (1983). Todos los multimonopolos autoduales para grupos de calibración arbitrarios. En Elementos estructurales en física de partículas y mecánica estadística (pp. 301–310). Springer, Boston, MA.
14. Hitchin, NJ (1983). Sobre la construcción de monopolos. Communications in Mathematical Physics, 89(2), 145–190.
15. Donaldson, SK (1984). Ecuaciones de Nahm y la clasificación de monopolos. Communications in Mathematical Physics, 96(3), 387–408.
16. Dunajski, Maciej (2010). Solitones, instantones y twistores . Oxford: Oxford University Press. pp. 151–154. ISBN. 9780198570639.
17. Hitchin, NJ (1990). Conexiones planas y cuantificación geométrica. Comunicaciones en física matemática, 131(2), 347–380.
18. Axelrod, S., Della Pietra, S., y Witten, E. (1991). Cuantización geométrica de la teoría de calibre de Chern Simons. Representaciones, 34, 39.