En matemáticas , la teoría de la obstrucción es el nombre que se da a dos teorías matemáticas diferentes , las cuales producen invariantes cohomológicos .
En el trabajo original de Stiefel y Whitney , las clases características se definieron como obstrucciones a la existencia de ciertos campos de vectores lineales independientes . La teoría de obstrucciones resulta ser una aplicación de la teoría de cohomología al problema de construir una sección transversal de un fibrado .
El significado más antiguo de la teoría de obstrucción en la teoría de homotopía se relaciona con el procedimiento, inductivo con respecto a la dimensión, para extender una aplicación continua definida en un complejo simplicial , o complejo CW . Se llama tradicionalmente teoría de obstrucción de Eilenberg , en honor a Samuel Eilenberg . Implica grupos de cohomología con coeficientes en grupos de homotopía para definir obstrucciones a extensiones. Por ejemplo, con una aplicación de un complejo simplicial X a otro, Y , definido inicialmente en el 0-esqueleto de X (los vértices de X ), será posible una extensión al 1-esqueleto siempre que la imagen del 0-esqueleto pertenezca al mismo componente conexo por trayectorias de Y. Extender desde el 1-esqueleto al 2-esqueleto significa definir la aplicación en cada triángulo sólido desde X , dada la aplicación ya definida en sus bordes límite. De la misma manera, extender la aplicación al 3-esqueleto implica extender la aplicación a cada 3-símplex sólido de X , dada la aplicación ya definida en su límite.
En algún momento, digamos extendiendo la aplicación desde el (n-1)-esqueleto de X al n-esqueleto de X , este procedimiento podría ser imposible. En ese caso, uno puede asignar a cada n-símplex la clase de homotopía π n-1 ( Y ) de la aplicación ya definida en su frontera, (al menos una de las cuales será distinta de cero). Estas asignaciones definen una n-cocadena con coeficientes en π n-1 ( Y ) . Sorprendentemente, esta cocadena resulta ser un cociclo y por lo tanto define una clase de cohomología en el n-ésimo grupo de cohomología de X con coeficientes en π n-1 ( Y ) . Cuando esta clase de cohomología es igual a 0, resulta que la aplicación puede ser modificada dentro de su clase de homotopía en el (n-1)-esqueleto de X de modo que la aplicación puede ser extendida al n-esqueleto de X . Si la clase no es igual a cero, se denomina obstrucción para extender la aplicación sobre el n-esqueleto, dada su clase de homotopía en el (n-1)-esqueleto.
Supongamos que B es un complejo simplicial simplemente conexo y que p : E → B es una fibración con fibra F . Además, supongamos que tenemos una sección parcialmente definida σ n : B n → E en el n -esqueleto de B .
Para cada ( n + 1) -símplex Δ en B , σ n puede restringirse al límite ∂Δ (que es una n -esfera topológica ). Debido a que p envía cada σ n ( ∂Δ ) de vuelta a ∂Δ , σ n define una función desde la n -esfera a p −1 ( Δ ) . Debido a que las fibraciones satisfacen la propiedad de elevación de homotopía, y Δ es contráctil ; p −1 ( Δ ) es homotópicamente equivalente a F . Por lo tanto, esta sección parcialmente definida asigna un elemento de π n ( F ) a cada ( n + 1) -símplex. Estos son precisamente los datos de una cocadena simplicial π n ( F ) -valuada en grado n + 1 en B , es decir, un elemento de C n + 1 (B; π n ( F )) . Esta cocadena se llama cocadena de obstrucción porque al ser el cero significa que todos estos elementos de π n ( F ) son triviales, lo que significa que nuestra sección parcialmente definida se puede extender al ( n + 1) -esqueleto usando la homotopía entre (la sección parcialmente definida en el límite de cada Δ ) y la función constante.
El hecho de que esta cocadena provenga de una sección parcialmente definida (en oposición a una colección arbitraria de aplicaciones de todos los límites de todos los ( n + 1) -símplices) se puede utilizar para demostrar que esta cocadena es un cociclo. Si uno comenzó con una sección parcialmente definida diferente σ n que concordaba con la original en el ( n − 1) -esqueleto, entonces también se puede demostrar que el cociclo resultante diferiría del primero por un colímite. Por lo tanto, tenemos un elemento bien definido del grupo de cohomología H n + 1 ( B ; π n ( F )) tal que si existe una sección parcialmente definida en el ( n + 1) -esqueleto que concuerda con la elección dada en el ( n − 1) -esqueleto, entonces esta clase de cohomología debe ser trivial.
Lo inverso también es cierto si se permiten cosas como secciones de homotopía , es decir, una función σ : B → E tal que p ∘ σ es homotópica (en oposición a igual) a la función identidad en B. Por lo tanto, proporciona un invariante completo de la existencia de secciones hasta la homotopía en el ( n + 1) -esqueleto.
En topología geométrica , la teoría de la obstrucción se ocupa de cuándo una variedad topológica tiene una estructura lineal por partes y cuándo una variedad lineal por partes tiene una estructura diferencial .
En dimensión 2 (Rado) y 3 (Moise) como máximo, las nociones de variedades topológicas y variedades lineales por partes coinciden. En dimensión 4 no son las mismas.
En dimensiones como máximo 6 coinciden las nociones de variedades lineales por partes y variedades diferenciables.
Las dos preguntas básicas de la teoría de la cirugía son si un espacio topológico con dualidad de Poincaré n -dimensional es homotópicamente equivalente a una variedad n -dimensional , y también si una equivalencia homotópica de variedades n -dimensionales es homotópica a un difeomorfismo . En ambos casos hay dos obstrucciones para n>9 , una obstrucción primaria de la teoría K topológica a la existencia de un fibrado vectorial : si esta se desvanece existe una función normal , lo que permite la definición de la obstrucción secundaria de la cirugía en la función normal para obtener una equivalencia homotópica en la teoría L algebraica .