Álgebra de Lie compacta

Teoría matemática

En el campo matemático de la teoría de Lie , hay dos definiciones de un álgebra de Lie compacta . Extrínsecamente y topológicamente, un álgebra de Lie compacta es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto ; ^[1] esta definición incluye toros. Intrínsecamente y algebraicamente, un álgebra de Lie compacta es un álgebra de Lie real cuya forma de Killing es definida negativa ; esta definición es más restrictiva y excluye toros. ^[2] Un álgebra de Lie compacta puede verse como la forma real más pequeña de un álgebra de Lie compleja correspondiente, es decir, la complejización.

Definición

Formalmente, se puede definir un álgebra de Lie compacta como el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto o como un álgebra de Lie real cuya forma de Killing es definida negativa. Estas definiciones no concuerdan del todo: ^[2]

• La forma de Killing en el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto es semidefinida negativa , no definida negativa en general.
• Si la forma Killing de un álgebra de Lie es definida negativa, entonces el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie semisimple compacto .

En general, el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto se descompone como la suma directa del álgebra de Lie de un sumando conmutativo (para el cual el subgrupo correspondiente es un toro) y un sumando en el que la forma de Killing es definida negativa.

Es importante señalar que el inverso del primer resultado anterior es falso: incluso si la forma de Killing de un álgebra de Lie es semidefinida negativa, esto no significa que el álgebra de Lie sea el álgebra de Lie de algún grupo compacto. Por ejemplo, la forma de Killing en el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg es idénticamente cero, por lo tanto semidefinida negativa, pero esta álgebra de Lie no es el álgebra de Lie de ningún grupo compacto.

Propiedades

• Las álgebras de Lie compactas son reductivas ; ^[3] observe que el resultado análogo es válido para los grupos compactos en general.
• El álgebra de Lie para el grupo de Lie compacto G admite un producto interno Ad( G )-invariante ,. ^[4] A la inversa, si admite un producto interno Ad-invariante, entonces es el álgebra de Lie de algún grupo compacto. ^[5] Si es semisimple, este producto interno puede tomarse como el negativo de la forma de Killing. Por lo tanto, en relación con este producto interno, Ad( G ) actúa por transformaciones ortogonales ( ) y actúa por matrices antisimétricas ( ). ^[4] Es posible desarrollar la teoría de álgebras de Lie semisimples complejas viéndolas como las complejizaciones de álgebras de Lie de grupos compactos; ^[6] la existencia de un producto interno Ad-invariante en la forma real compacta simplifica enormemente el desarrollo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$

  Esto puede verse como un análogo compacto del teorema de Ado sobre la representabilidad de las álgebras de Lie: así como cada álgebra de Lie de dimensión finita en característica 0 se incrusta en cada álgebra de Lie compacta se incrusta en ${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}.}$

• El diagrama de Satake de un álgebra de Lie compacta es el diagrama de Dynkin del álgebra de Lie compleja con todos los vértices en negro.
• Las álgebras de Lie compactas son opuestas a las álgebras de Lie reales divididas entre formas reales , siendo las álgebras de Lie divididas "lo más alejadas posible" de ser compactas.

Clasificación

Las álgebras de Lie compactas se clasifican y nombran según las formas reales compactas de las álgebras de Lie semisimples complejas . Estas son:

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$correspondiente al grupo unitario especial (propiamente, la forma compacta es PSU, el grupo unitario especial proyectivo );
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1},}$correspondiente al grupo ortogonal especial (o correspondiente al grupo ortogonal ); ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n+1},}$
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$correspondiente al grupo simpléctico compacto ; a veces escrito ; ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}_{n},}$
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$correspondiente al grupo ortogonal especial (o correspondiente al grupo ortogonal ) (propiamente, la forma compacta es PSO, el grupo ortogonal especial proyectivo ); ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$
• Formas reales compactas de las álgebras de Lie excepcionales ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

Isomorfismos

Los isomorfismos excepcionales de los diagramas de Dynkin conexos producen isomorfismos excepcionales de álgebras de Lie compactas y grupos de Lie correspondientes.

La clasificación no es redundante si se toma para para para y para Si en cambio se toma o se obtienen ciertos isomorfismos excepcionales . ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Para es el diagrama trivial, correspondiente al grupo trivial ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

Porque al isomorfismo le corresponden los isomorfismos de diagramas y los correspondientes isomorfismos de grupos de Lie (las 3-esferas o cuaterniones unitarios ). ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

Al isomorfismo le corresponden los isomorfismos de diagramas y el correspondiente isomorfismo de grupos de Lie. ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

Al isomorfismo le corresponden los isomorfismos de diagramas y el correspondiente isomorfismo de grupos de Lie. ${\displaystyle n=3,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$ ${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

Si se consideran y como diagramas, estos son isomorfos a y respectivamente, con los correspondientes isomorfismos de las álgebras de Lie. ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{5}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle D_{5},}$

Véase también

• Forma real
• Álgebra de Lie dividida

Notas

1. (Knapp 2002, Sección 4, págs. 248-251)
2. (Knapp 2002, Proposiciones 4.26, 4.27, págs. 249-250)
3. (Knapp 2002, Proposición 4.25, págs.249)
4. (Knapp 2002, Proposición 4.24, págs.249)
5. Enlace de Springer
6. Hall 2015 Capítulo 7

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de Lie más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2.ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.

Enlaces externos

• Grupo de Lie, compacto , en Enciclopedia de Matemáticas