En matemáticas , la noción de forma real relaciona objetos definidos sobre el campo de los números reales y complejos . Un álgebra de Lie real g 0 se denomina forma real de un álgebra de Lie compleja g si g es la complejización de g 0 :
La noción de forma real también se puede definir para grupos de Lie complejos . Las formas reales de los grupos de Lie complejos semisimples y de las álgebras de Lie han sido completamente clasificadas por Élie Cartan .
Utilizando la correspondencia de Lie entre grupos de Lie y álgebras de Lie , se puede definir la noción de forma real para los grupos de Lie. En el caso de los grupos algebraicos lineales , las nociones de complejización y forma real tienen una descripción natural en el lenguaje de la geometría algebraica .
Así como las álgebras de Lie semisimples complejas se clasifican mediante diagramas de Dynkin , las formas reales de un álgebra de Lie semisimple se clasifican mediante diagramas de Satake , que se obtienen del diagrama de Dynkin de la forma compleja etiquetando algunos vértices en negro (rellenos) y conectando algunos otros vértices en pares mediante flechas, de acuerdo con ciertas reglas.
Es un hecho básico en la teoría de la estructura de las álgebras de Lie semisimples complejas que cada una de estas álgebras tiene dos formas reales especiales: una es la forma real compacta y corresponde a un grupo de Lie compacto bajo la correspondencia de Lie (su diagrama de Satake tiene todos los vértices ennegrecidos), y la otra es la forma real dividida y corresponde a un grupo de Lie que está lo más lejos posible de ser compacto (su diagrama de Satake no tiene vértices ennegrecidos ni flechas). En el caso del grupo lineal especial complejo SL ( n , C ), la forma real compacta es el grupo unitario especial SU ( n ) y la forma real dividida es el grupo lineal especial real SL ( n , R ). La clasificación de las formas reales de las álgebras de Lie semisimples fue realizada por Élie Cartan en el contexto de los espacios simétricos de Riemann . En general, puede haber más de dos formas reales.
Supóngase que g 0 es un álgebra de Lie semisimple sobre el cuerpo de números reales. Por el criterio de Cartan , la forma de Killing no es degenerada y puede diagonalizarse en una base adecuada con las entradas diagonales +1 o −1. Por la ley de inercia de Sylvester , el número de entradas positivas, o el índice positivo de inercia, es un invariante de la forma bilineal, es decir, no depende de la elección de la base diagonalizadora. Este es un número entre 0 y la dimensión de g que es un invariante importante del álgebra de Lie real, llamado su índice .
Se dice que una forma real g 0 de un álgebra de Lie semisimple compleja de dimensión finita g es dividida o normal si en cada descomposición de Cartan g 0 = k 0 ⊕ p 0 , el espacio p 0 contiene una subálgebra abeliana máxima de g 0 , es decir, su subálgebra de Cartan . Élie Cartan demostró que cada álgebra de Lie semisimple compleja g tiene una forma real dividida, que es única salvo isomorfismo. [1] Tiene un índice máximo entre todas las formas reales.
La forma dividida corresponde al diagrama de Satake sin vértices en negro y sin flechas.
Una álgebra de Lie real g 0 se denomina compacta si la forma de Killing es definida negativa , es decir, el índice de g 0 es cero. En este caso g 0 = k 0 es un álgebra de Lie compacta . Se sabe que, según la correspondencia de Lie , las álgebras de Lie compactas corresponden a grupos de Lie compactos .
La forma compacta corresponde al diagrama de Satake con todos los vértices en negro.
En general, la construcción de la forma real compacta utiliza la teoría de la estructura de las álgebras de Lie semisimples. Para las álgebras de Lie clásicas existe una construcción más explícita.
Sea g 0 un álgebra de Lie real de matrices sobre R que está cerrada bajo la función transpuesta,
Luego g 0 se descompone en la suma directa de su parte antisimétrica k 0 y su parte simétrica p 0 . Esta es la descomposición de Cartan :
La complejización g de g 0 se descompone en la suma directa de g 0 e ig 0 . El espacio vectorial real de matrices
es un subespacio del álgebra de Lie compleja g que está cerrado bajo los conmutadores y consta de matrices antihermíticas . De ello se deduce que u 0 es una subálgebra de Lie real de g , que su forma de Killing es definida negativa (lo que la convierte en un álgebra de Lie compacta) y que la complejización de u 0 es g . Por lo tanto, u 0 es una forma compacta de g .
