Álgebras de Lie clásicas

Las álgebras de Lie clásicas son álgebras de Lie de dimensión finita sobre un cuerpo que se pueden clasificar en cuatro tipos , , y , donde para el álgebra de Lie lineal general y la matriz identidad : ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle B_{n}}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle D_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$ ${\displaystyle I_{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$

• ${\displaystyle A_{n}:={\mathfrak {sl}}(n+1)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(n+1):{\text{tr}}(x)=0\}}$, el álgebra de Lie lineal especial ;
• ${\displaystyle B_{n}:={\mathfrak {so}}(2n+1)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n+1):x+x^{T}=0\}}$, el álgebra de Lie ortogonal de dimensión impar ;
• ${\displaystyle C_{n}:={\mathfrak {sp}}(2n)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n):J_{n}x+x^{T}J_{n}=0,J_{n}={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}\}}$, el álgebra de Lie simpléctica ; y
• ${\displaystyle D_{n}:={\mathfrak {so}}(2n)=\{x\in {\mathfrak {gl}}(2n):x+x^{T}=0\}}$, el álgebra de Lie ortogonal de dimensión par .

A excepción de los casos de baja dimensión y , las álgebras de Lie clásicas son simples . ^{[1] [2]} ${\displaystyle D_{1}={\mathfrak {so}}(2)}$ ${\displaystyle D_{2}={\mathfrak {so}}(4)}$

El álgebra de Moyal es un álgebra de Lie de dimensión infinita que contiene todas las álgebras de Lie clásicas como subálgebras.

Véase también

• Álgebra de Lie simple
• Grupo clásico

Referencias

1. Antonino, Sciarrino; Paul, Sorba (1 de enero de 2000). Diccionario de álgebras y superálgebras de Lie. Academic Press. ISBN 9780122653407.OCLC 468609320  .
2. Sthanumoorthy, Neelacanta (18 de abril de 2016). Introducción a las (super)álgebras de Lie de dimensión finita e infinita. Amsterdam Elsevie. ISBN 9780128046753.OCLC 952065417  .