Correspondencia entre grupo de mentiras y álgebra de mentiras

Correspondencia entre temas en la teoría de la mentira.

En matemáticas , la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie permite corresponder un grupo de Lie a un álgebra de Lie o viceversa, y estudiar las condiciones para tal relación. Los grupos de Lie que son isomorfos entre sí tienen álgebras de Lie que son isomorfas entre sí, pero lo contrario no es necesariamente cierto. Un contraejemplo obvio es y (ver el espacio de coordenadas real y el grupo circular respectivamente), que no son isomorfos entre sí como grupos de Lie, pero sus álgebras de Lie son isomorfas entre sí. Sin embargo, para grupos de Lie simplemente conectados , la correspondencia entre grupo de Lie y álgebra de Lie es uno a uno . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$

En este artículo, un grupo de Lie se refiere a un grupo de Lie real. Para los casos complejos y p -ádicos, consulte grupo de Lie complejo y grupo de Lie p -ádico . En este artículo, se supone que las variedades (en particular los grupos de Lie) son contables en segundo lugar ; En particular, tienen como máximo un número contable de componentes conectados.

Lo esencial

El álgebra de Lie de un grupo de Lie

Hay varias formas de entender la construcción del álgebra de Lie de un grupo de Lie G. Un enfoque utiliza campos vectoriales invariantes a la izquierda. Se dice que un campo vectorial X en G es invariante bajo traslaciones a la izquierda si, para cualquier g , h en G ,

${\displaystyle (dL_{g})_{h}(X_{h})=X_{gh}}$

donde está definido por y es el diferencial de entre espacios tangentes . ${\displaystyle L_{g}:G\to G}$ ${\displaystyle L_{g}(x)=gx}$ ${\displaystyle (dL_{g})_{h}:T_{h}G\to T_{gh}G}$ ${\displaystyle L_{g}}$

Sea el conjunto de todos los campos vectoriales invariantes de traslación a la izquierda en G . Es un espacio vectorial real. Además, está cerrado bajo el corchete de Lie ; es decir, es invariante en la traducción a la izquierda si X , Y lo son. Por tanto, es una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de todos los campos vectoriales en G y se llama álgebra de Lie de G. Se puede entender esto más concretamente identificando el espacio de campos vectoriales invariantes a la izquierda con el espacio tangente en la identidad, de la siguiente manera: Dado un campo vectorial invariante a la izquierda, se puede tomar su valor en la identidad, y dado un vector tangente en la identidad, se puede extenderla a un campo vectorial invariante a la izquierda. Esta correspondencia es uno a uno en ambas direcciones, por lo que es biyectiva. Por lo tanto, el álgebra de Lie puede considerarse como el espacio tangente en la identidad y el corchete de X e Y se puede calcular extendiéndolos a campos vectoriales invariantes a la izquierda, tomando el corchete de los campos vectoriales y luego evaluando el resultado. en la identidad. ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle [X,Y]}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle T_{e}G}$

También hay otra encarnación del álgebra de Lie de elementos primitivos del álgebra de distribuciones de Hopf en G con apoyo en el elemento identidad; para esto, consulte #Construcciones relacionadas a continuación. ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$

Grupos de Matrix Lie

Supongamos que G es un subgrupo cerrado de GL(n; C ) y, por tanto, un grupo de Lie, según el teorema de los subgrupos cerrados . Entonces el álgebra de Lie de G puede calcularse como ^{[2] [3]}

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\left\{X\in M(n;\mathbb {C} )\mid e^{tX}\in G{\text{ for all }}t\in \mathbb {R} \right\}.}$

Por ejemplo, se puede utilizar el criterio para establecer la correspondencia para grupos compactos clásicos (consulte la tabla en "grupos compactos de Lie" a continuación).

Homomorfismos

Si

${\displaystyle f:G\to H}$

es un homomorfismo del grupo de Lie , entonces su diferencial en el elemento de identidad

${\displaystyle df=df_{e}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}$

es un homomorfismo de álgebra de Lie (los paréntesis van entre paréntesis), que tiene las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \exp(df(X))=f(\exp(X))}$para todo X en Lie ( G ), donde "exp" es el mapa exponencial
• ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\ker(f))=\ker(df)}$. ^[4]
• Si la imagen de f es cerrada, ^[5] entonces ^[6] y se cumple el primer teorema de isomorfismo : f induce el isomorfismo de grupos de Lie: ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\operatorname {im} (f))=\operatorname {im} (df)}$

  ${\displaystyle G/\ker(f)\to \operatorname {im} (f).}$

• La regla de la cadena se cumple: si y son homomorfismos del grupo de Lie, entonces . ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle g:H\to K}$ ${\displaystyle d(g\circ f)=(dg)\circ (df)}$

En particular, si H es un subgrupo cerrado ^[7] de un grupo de Lie G , entonces es una subálgebra de Lie de . Además, si f es inyectiva, entonces f es una inmersión y por lo tanto se dice que G es un subgrupo sumergido (Lie) de H. Por ejemplo, es un subgrupo sumergido de H. Si f es sobreyectiva, entonces f es una inmersión y si, además, G es compacto, entonces f es un paquete principal con el grupo de estructuras como su núcleo. ( Lema de Ehresmann ) ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle G/\ker(f)}$

Otras propiedades

Sea un producto directo de grupos de Lie y proyecciones. Entonces los diferenciales dan la identificación canónica: ${\displaystyle G=G_{1}\times \cdots \times G_{r}}$ ${\displaystyle p_{i}:G\to G_{i}}$ ${\displaystyle dp_{i}:\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (G_{i})}$

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{1}\times \cdots \times G_{r})=\operatorname {Lie} (G_{1})\oplus \cdots \oplus \operatorname {Lie} (G_{r}).}$

Si son subgrupos de Lie de un grupo de Lie, entonces ${\displaystyle H,H'}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H\cap H')=\operatorname {Lie} (H)\cap \operatorname {Lie} (H').}$

Sea G un grupo de Lie conexo. Si H es un grupo de Lie, entonces cualquier homomorfismo de grupo de Lie está determinado únicamente por su diferencial . Precisamente, existe la aplicación exponencial (y otra para H ) tal que y, como G es conexo, esto determina f de forma única. ^[8] En general, si U es una vecindad del elemento identidad en un grupo topológico conectado G , entonces coincide con G , ya que el primero es un subgrupo abierto (por lo tanto cerrado). Ahora, define un homeomorfismo local desde una vecindad del vector cero hasta la vecindad del elemento identidad. Por ejemplo, si G es el grupo de Lie de matrices cuadradas reales invertibles de tamaño n ( grupo lineal general ), entonces es el álgebra de Lie de matrices cuadradas reales de tamaño n y . ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle df}$ ${\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}$ ${\displaystyle f(\exp(X))=\exp(df(X))}$ ${\textstyle \bigcup _{n>0}U^{n}}$ ${\displaystyle \exp :\operatorname {Lie} (G)\to G}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\textstyle \exp(X)=e^{X}=\sum _{0}^{\infty }{X^{j}/j!}}$

La correspondencia

La correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie incluye los siguientes tres resultados principales.

• Tercer teorema de Lie : Todo álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie simplemente conexo . ^[9]
• El teorema de los homomorfismos : si es un homomorfismo de álgebra de Lie y si G es simplemente conexo, entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie (único) tal que . ^[10] ${\displaystyle \phi :\operatorname {Lie} (G)\to \operatorname {Lie} (H)}$ ${\displaystyle f:G\to H}$ ${\displaystyle \phi =df}$
• El teorema de subgrupos-subálgebras : si G es un grupo de Lie y es una subálgebra de Lie de , entonces hay un subgrupo de Lie único conectado (no necesariamente cerrado) H de G con álgebra de Lie . ^[11] ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$

En la segunda parte de la correspondencia, no se puede omitir el supuesto de que G es simplemente conexo. Por ejemplo, las álgebras de Lie de SO(3) y SU(2) son isomorfas, ^[12] pero no existe un homomorfismo correspondiente de SO(3) en SU(2). ^[13] Más bien, el homomorfismo va del grupo simplemente conexo SU(2) al grupo no simplemente conexo SO(3). ^[14] Si G y H son simplemente conexos y tienen álgebras de Lie isomorfas, el resultado anterior permite demostrar que G y H son isomorfas. ^[15] Un método para construir f es utilizar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff . ^[dieciséis]

Para los lectores familiarizados con la teoría de categorías, la correspondencia se puede resumir de la siguiente manera: Primero, la operación de asociar a cada grupo de Lie conexo su álgebra de Lie , y a cada homomorfismo de grupos de Lie el diferencial correspondiente en el elemento neutro, es un funtor (covariante). de la categoría de grupos de Lie conectados (reales) a la categoría de álgebras de Lie (reales) de dimensión finita. Este funtor tiene un funtor adjunto izquierdo desde álgebras de Lie (de dimensión finita) hasta grupos de Lie (que es necesariamente único hasta el isomorfismo canónico). En otras palabras, existe un isomorfismo natural de bifunctores. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Lie(G)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Lie(f)=df_{e}}$ ${\displaystyle Lie}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{CLGrp}(\Gamma ({\mathfrak {g}}),H)\cong \mathrm {Hom} _{LAlg}({\mathfrak {g}},Lie(H)).}$

${\displaystyle \Gamma ({\mathfrak {g}})}$es el grupo de Lie simplemente conectado (hasta el isomorfismo único) con álgebra de Lie . Los morfismos de unidades naturales asociados de la adjunción son isomorfismos, lo que corresponde a ser totalmente fiel (parte de la segunda declaración anterior). La unidad correspondiente es la proyección canónica de la cubierta simplemente conexa ; su sobreyectividad corresponde a ser un functor fiel. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \epsilon \colon {\mathfrak {g}}\rightarrow Lie(\Gamma ({\mathfrak {g}}))}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma (Lie(H))\rightarrow H}$ ${\displaystyle {\widetilde {H}}\rightarrow H}$ ${\displaystyle Lie}$

Prueba del tercer teorema de Lie

Quizás la prueba más elegante del primer resultado anterior utiliza el teorema de Ado , que dice que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita (sobre un campo de cualquier característica) es una subálgebra de Lie del álgebra de Lie de matrices cuadradas. La prueba es la siguiente: según el teorema de Ado, asumimos que es una subálgebra de Lie. Sea G el subgrupo cerrado (sin tomar el cierre se puede obtener un ejemplo patológico denso como en el caso del devanado irracional del toro) de generado por y sea una cubierta simplemente conexa de G ; no es difícil demostrar que es un grupo de Lie y que el mapa de cobertura es un homomorfismo del grupo de Lie. Dado que esto completa la prueba. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )=\operatorname {Lie} (GL_{n}(\mathbb {R} ))}$ ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle e^{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle T_{e}{\widetilde {G}}=T_{e}G={\mathfrak {g}}}$

Ejemplo: Cada elemento X en el álgebra de Lie da lugar al homomorfismo del álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$

${\displaystyle \mathbb {R} \to {\mathfrak {g}},\,t\mapsto tX.}$

Según el tercer teorema de Lie, como y exp es la identidad, este homomorfismo es el diferencial del homomorfismo del grupo de Lie para algún subgrupo sumergido H de G. Este homomorfismo del grupo de Lie, llamado subgrupo de un parámetro generado por X , es precisamente el mapa exponencial y H su imagen. Lo anterior se puede resumir en decir que existe una correspondencia biyectiva canónica entre y el conjunto de subgrupos de un parámetro de G. ^[17] ${\displaystyle \operatorname {Lie} (\mathbb {R} )=T_{0}\mathbb {R} =\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \to H}$ ${\displaystyle t\mapsto \exp(tX)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Prueba del teorema de los homomorfismos

Un método para demostrar la segunda parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie (el teorema de los homomorfismos) es utilizar la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , como en la Sección 5.7 del libro de Hall. ^[18] Específicamente, dado el homomorfismo del álgebra de Lie de a , podemos definir localmente (es decir, en una vecindad de la identidad) mediante la fórmula ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$ ${\displaystyle f:G\to H}$

${\displaystyle f(e^{X})=e^{\phi (X)},}$

¿Dónde está el mapa exponencial de G , que tiene una inversa definida cerca de la identidad? Ahora argumentamos que f es un homomorfismo local. Así, dados dos elementos cercanos a la identidad y (con X e Y pequeños), consideramos su producto . Según la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff, tenemos , donde ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle e^{X}}$ ${\displaystyle e^{Y}}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}}$ ${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z}}$

${\displaystyle Z=X+Y+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]+\cdots ,}$

indicando otros términos expresados ​​como conmutadores repetidos que involucran X e Y. De este modo, ${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=f\left(e^{Z}\right)=e^{\phi (Z)}=e^{\phi (X)+\phi (Y)+{\frac {1}{2}}[\phi (X),\phi (Y)]+{\frac {1}{12}}[\phi (X),[\phi (X),\phi (Y)]]+\cdots },}$

porque es un homomorfismo del álgebra de Lie. Usando nuevamente la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff , esta vez para el grupo H , vemos que esta última expresión se convierte en , y por lo tanto tenemos ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}}$

${\displaystyle f\left(e^{X}e^{Y}\right)=e^{\phi (X)}e^{\phi (Y)}=f\left(e^{X}\right)f\left(e^{Y}\right).}$

Por tanto, f tiene la propiedad de homomorfismo, al menos cuando X e Y son suficientemente pequeños. Es importante enfatizar que este argumento es sólo local, ya que el mapa exponencial sólo es invertible en una pequeña vecindad de la identidad en G y dado que la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff sólo es válida si X e Y son pequeños. La suposición de que G es simplemente conexo aún no se ha utilizado.

La siguiente etapa del argumento es extender f desde un homomorfismo local a uno global. La extensión se realiza definiendo f a lo largo de un camino y luego usando la conexión simple de G para mostrar que la definición es independiente de la elección del camino.

Representaciones de grupos de mentiras.

Un caso especial de correspondencia de Lie es una correspondencia entre representaciones de dimensión finita de un grupo de Lie y representaciones del álgebra de Lie asociada.

El grupo lineal general es un grupo de Lie (real) y cualquier homomorfismo de grupo de Lie. ${\displaystyle GL_{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \pi :G\to GL_{n}(\mathbb {C} )}$

se llama representación del grupo de Lie G . El diferencial

${\displaystyle d\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} ),}$

es entonces un homomorfismo de álgebra de Lie llamado representación de álgebra de Lie . (El diferencial a menudo se denota simplemente por .) ${\displaystyle d\pi }$ ${\displaystyle \pi '}$

El teorema de homomorfismos (mencionado anteriormente como parte de la correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie) dice que si es el grupo de Lie simplemente conexo cuyo álgebra de Lie es , cada representación de proviene de una representación de G. La suposición de que G es simplemente conexo es esencial. Considere, por ejemplo, el grupo de rotación SO(3) , que no está simplemente conexo. Hay una representación irreducible del álgebra de Lie en cada dimensión, pero sólo las representaciones de dimensiones impares del álgebra de Lie provienen de representaciones del grupo. ^[19] (Esta observación está relacionada con la distinción entre espín entero y espín semientero en mecánica cuántica). Por otro lado, el grupo SU(2) está simplemente conectado con el álgebra de Lie isomórfico al de SO(3), entonces cada representación del álgebra de Lie de SO(3) da lugar a una representación de SU(2) . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La representación adjunta

Un ejemplo de representación de un grupo de Lie es la representación adjunta de un grupo de Lie G ; cada elemento g en un grupo de Lie G define un automorfismo de G por conjugación: ; el diferencial es entonces un automorfismo del álgebra de Lie . De esta manera, obtenemos una representación , llamada representación adjunta. El correspondiente homomorfismo del álgebra de Lie se denomina representación adjunta de y se denota por . Se puede demostrar , lo que en particular implica que el grupo de Lie de está determinado por la ley del grupo en G . ${\displaystyle c_{g}(h)=ghg^{-1}}$ ${\displaystyle dc_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Ad} :G\to GL({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto dc_{g}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} }$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)(Y)=[X,Y]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Según el tercer teorema de Lie, existe un subgrupo cuyo álgebra de Lie es . ( en general, no es un subgrupo cerrado; solo un subgrupo sumergido). Se llama grupo adjunto de . ^[20] Si G es conexo, encaja en la secuencia exacta: ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle GL({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle 0\to Z(G)\to G\xrightarrow {\operatorname {Ad} } \operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})\to 0}$

¿Dónde está el centro de G ? Si el centro de G es discreto, entonces Ad aquí es un mapa de cobertura. ${\displaystyle Z(G)}$

Sea G un grupo de Lie conexo. Entonces G es unimodular si y sólo si para todo g en G . ^[21] ${\displaystyle \det(\operatorname {Ad} (g))=1}$

Sea G un grupo de Lie que actúa sobre una variedad X y G _x el estabilizador de un punto x en X. Dejar . Entonces ${\displaystyle \rho (x):G\to X,\,g\mapsto g\cdot x}$

• ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G_{x})=\ker(d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X).}$
• Si la órbita es localmente cerrada, entonces la órbita es una subvariedad de X y . ^[22] ${\displaystyle G\cdot x}$ ${\displaystyle T_{x}(G\cdot x)=\operatorname {im} (d\rho (x):T_{e}G\to T_{x}X)}$

Para un subconjunto A de o G , sea ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)=\{X\in {\mathfrak {g}}\mid \operatorname {ad} (a)X=0{\text{ or }}\operatorname {Ad} (a)X=0{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}}$

${\displaystyle Z_{G}(A)=\{g\in G\mid \operatorname {Ad} (g)a=0{\text{ or }}ga=ag{\text{ for all }}a{\text{ in }}A\}}$

Sea el centralizador del álgebra de Lie y el centralizador del grupo de Lie de A. Entonces . ${\displaystyle \operatorname {Lie} (Z_{G}(A))={\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(A)}$

Si H es un subgrupo cerrado y conexo de G , entonces H es normal si y sólo si es un ideal y en tal caso . ${\displaystyle \operatorname {Lie} (H)}$ ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G/H)=\operatorname {Lie} (G)/\operatorname {Lie} (H)}$

Grupos de mentira abeliana

Sea G un grupo de Lie conexo. Dado que el álgebra de Lie del centro de G es el centro del álgebra de Lie de G (cf. el § anterior), G es abeliano si y sólo si su álgebra de Lie es abeliano.

Si G es abeliano, entonces el mapa exponencial es un homomorfismo de grupo sobreyectivo. ^[23] Su núcleo es un grupo discreto (ya que la dimensión es cero) llamado red entera de G y se denota por . Por el primer teorema del isomorfismo, se induce el isomorfismo . ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {g}}\to G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \exp }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\Gamma \to G}$

Según el argumento de la rigidez, el grupo fundamental de un grupo de Lie G conexo es un subgrupo central de una cubierta de G simplemente conexa ; en otras palabras, G encaja en la extensión central ${\displaystyle \pi _{1}(G)}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(G)\to {\widetilde {G}}{\overset {p}{\to }}G\to 1.}$

De manera equivalente, dado un álgebra de Lie y un grupo de Lie simplemente conectado cuyo álgebra de Lie es , existe una correspondencia uno a uno entre los cocientes de subgrupos centrales discretos y grupos de Lie conectados que tienen álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Para el caso complejo, los tori complejos son importantes; consulte el grupo de mentiras complejas para este tema.

Grupos de mentira compacta

Sea G un grupo de Lie conexo con centro finito. Entonces los siguientes son equivalentes.

• G es compacto.
• (Weyl) La cubierta simplemente conectada de G es compacta. ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$
• El grupo adjunto es compacto. ${\displaystyle \operatorname {Int} {\mathfrak {g}}}$
• Existe una incrustación como subgrupo cerrado. ${\displaystyle G\hookrightarrow O(n,\mathbb {R} )}$
• La forma de matar es negativa definida. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• Para cada X en , es diagonalizable y tiene valores propios cero o puramente imaginarios. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {ad} (X)}$
• Existe un producto interno invariante en . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Es importante enfatizar que la equivalencia de las condiciones anteriores se cumple sólo bajo el supuesto de que G tiene centro finito. Así, por ejemplo, si G es compacto con centro finito , la cubierta universal también es compacta. Claramente, esta conclusión no se cumple si G tiene centro infinito, por ejemplo, si . Las últimas tres condiciones anteriores son de naturaleza puramente algebraica de Lie. ${\displaystyle {\widetilde {G}}}$ ${\displaystyle G=S^{1}}$

Si G es un grupo de Lie compacto, entonces

${\displaystyle H^{k}({\mathfrak {g}};\mathbb {R} )=H_{\text{dR}}(G)}$

donde el lado izquierdo es la cohomología del álgebra de Lie y el lado derecho es la cohomología de De Rham de G. (A grandes rasgos, esto es una consecuencia del hecho de que cualquier forma diferencial en G puede dejarse invariante mediante el argumento del promedio.) ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Construcciones relacionadas

Sea G un grupo de Lie. El álgebra de Lie asociada de G puede definirse alternativamente de la siguiente manera. Sea el álgebra de distribuciones en G con soporte en el elemento identidad con la multiplicación dada por convolución . De hecho, es un álgebra de Hopf . El álgebra de Lie de G es entonces el álgebra de Lie de elementos primitivos en . ^[24] Según el teorema de Milnor-Moore , existe el isomorfismo canónico entre el álgebra envolvente universal de y . ${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)}$ ${\displaystyle A(G)}$ ${\displaystyle A(G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)=P(A(G))}$ ${\displaystyle A(G)}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=A(G)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle A(G)}$

Ver también

• Álgebra de mentira compacta
• Teorema de Milnor-Moore
• grupo formal
• Álgebra de mentira de Malcev
• Distribución en un grupo algebraico lineal.

Citas

1. Lee 2012, pág. 530.
2. Helgason 1978, cap. II, § 2, Proposición 2.7.
3. Salón 2015 Sección 3.3
4. De manera más general, si Hes un subgrupo cerrado deH, entonces ${\displaystyle \operatorname {Lie} (f^{-1}(H'))=(df)^{-1}(\operatorname {Lie} (H')).}$
5. Este requisito no se puede omitir; ver también https://math.stackexchange.com/q/329753
6. Bourbaki 1981, cap. III, § 3, núm. 8, Proposición 28
7. Bourbaki 1981, cap. III, § 1, Proposición 5
8. Salón 2015 Corolario 3.49
9. Teorema 5.25 de Hall 2015
10. Teorema 5.6 de Hall 2015
11. Teorema 5.20 de Hall 2015
12. Salón 2015 Ejemplo 3.27
13. Propuesta 4.35 del Salón 2015
14. Salón 2015 Sección 1.4
15. Salón 2015 Corolario 5.7
16. Salón 2015 Sección 5.7
17. Teorema 2.14 de Hall 2015
18. Salón 2015
19. Salón 2015, Sección 4.7
20. Helgason 1978, Capítulo II, § 5
21. Bourbaki 1981, cap. III, § 3, núm. 16, Corolario de la Proposición 55.
22. Bourbaki 1981, cap. III, § 1, núm. 7, Proposición 14.
23. Es sobreyectivo porque al igual que abeliano. ${\displaystyle \exp({\mathfrak {g}})^{n}=\exp({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
24. Bourbaki 1981, cap. III, § 3. núm. 7

Referencias

• Bourbaki, N. (1981), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulo 3) , Éléments de Mathématique, Hermann
• Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), Grupos de mentiras , Universitext, Springer, doi :10.1007/978-3-642-56936-4, ISBN 3540152938
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, doi :10.1007/978-3-319-13467-3, ISBN 978-3319134666
• Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
• Lee, John M. (2012). Introducción a los colectores lisos . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 218 (Segunda ed.). Nueva York Londres: Springer-Verlag . ISBN 978-1-4419-9981-8. OCLC  808682771.

enlaces externos

• Notas para Math 261A Grupos de Lie y álgebras de Lie
• Popov, VL (2001) [1994], "Álgebra de mentiras de un grupo analítico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Teoría de la mentira formal en la característica cero, una publicación de blog de Akhil Mathew