Álgebra de mentira compacta

Teoría matemática

En el campo matemático de la teoría de Lie , existen dos definiciones de álgebra de Lie compacta . Extrínseca y topológicamente, un álgebra de Lie compacta es el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto ; ^[1] esta definición incluye tori. Intrínseca y algebraicamente, un álgebra de Lie compacta es un álgebra de Lie real cuya forma Killing es definida negativa ; esta definición es más restrictiva y excluye a los tori. ^[2] Un álgebra de Lie compacta puede verse como la forma real más pequeña de un álgebra de Lie compleja correspondiente, es decir, la complejización.

Definición

Formalmente, se puede definir un álgebra de Lie compacta como el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto o como un álgebra de Lie real cuya forma Killing es definida negativa. Estas definiciones no coinciden del todo: ^[2]

• La forma Killing en el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto es semidefinida negativa , no definida negativa en general.
• Si la forma Killing de un álgebra de Lie es negativa definida, entonces el álgebra de Lie es el álgebra de Lie de un grupo de Lie semisimple compacto .

En general, el álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto se descompone como la suma directa del álgebra de Lie de un sumando conmutativo (para el cual el subgrupo correspondiente es un toro) y un sumando en el que la forma Killing es definida negativa.

Es importante señalar que lo contrario del primer resultado anterior es falso: incluso si la forma Killing de un álgebra de Lie es semidefinida negativa, esto no significa que el álgebra de Lie sea el álgebra de Lie de algún grupo compacto. Por ejemplo, la forma Killing en el álgebra de Lie del grupo de Heisenberg es idénticamente cero, por lo tanto semidefinida negativa, pero este álgebra de Lie no es el álgebra de Lie de ningún grupo compacto.

Propiedades

• Las álgebras de Lie compactas son reductivas ; ^[3] tenga en cuenta que el resultado análogo es cierto para los grupos compactos en general.
• The Lie algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ for the compact Lie group G admits an Ad(G)-invariant inner product,.^[4] Conversely, if ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ admits an Ad-invariant inner product, then ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is the Lie algebra of some compact group.^[5] If ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ is semisimple, this inner product can be taken to be the negative of the Killing form. Thus relative to this inner product, Ad(G) acts by orthogonal transformations ( ${\displaystyle \operatorname {SO} ({\mathfrak {g}})}$) and ${\displaystyle \operatorname {ad} \ {\mathfrak {g}}}$ acts by skew-symmetric matrices ( ${\displaystyle {\mathfrak {so}}({\mathfrak {g}})}$).^[4] It is possible to develop the theory of complex semisimple Lie algebras by viewing them as the complexifications of Lie algebras of compact groups;^[6] the existence of an Ad-invariant inner product on the compact real form greatly simplifies the development.

  This can be seen as a compact analog of Ado's theorem on the representability of Lie algebras: just as every finite-dimensional Lie algebra in characteristic 0 embeds in ${\displaystyle {\mathfrak {gl}},}$ every compact Lie algebra embeds in ${\displaystyle {\mathfrak {so}}.}$

• The Satake diagram of a compact Lie algebra is the Dynkin diagram of the complex Lie algebra with all vertices blackened.
• Compact Lie algebras are opposite to split real Lie algebras among real forms, split Lie algebras being "as far as possible" from being compact.

Classification

The compact Lie algebras are classified and named according to the compact real forms of the complex semisimple Lie algebras. These are:

• ${\displaystyle A_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{n+1},}$ corresponding to the special unitary group (properly, the compact form is PSU, the projective special unitary group);
• ${\displaystyle B_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n+1},}$ corresponding to the special orthogonal group (or ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n+1},}$ corresponding to the orthogonal group);
• ${\displaystyle C_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sp}}_{n},}$ corresponding to the compact symplectic group; sometimes written ${\displaystyle {\mathfrak {usp}}_{n},}$;
• ${\displaystyle D_{n}:}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{2n},}$ corresponding to the special orthogonal group (or ${\displaystyle {\mathfrak {o}}_{2n},}$ corresponding to the orthogonal group) (properly, the compact form is PSO, the projective special orthogonal group);
• Compact real forms of the exceptional Lie algebras ${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}.}$

Isomorphisms

The exceptional isomorphisms of connected Dynkin diagrams yield exceptional isomorphisms of compact Lie algebras and corresponding Lie groups.

La clasificación no es redundante si se toma por por y por Si en cambio se toma o se obtienen ciertos isomorfismos excepcionales . ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle A_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle B_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle C_{n},}$ ${\displaystyle n\geq 4}$ ${\displaystyle D_{n}.}$ ${\displaystyle n\geq 0}$ ${\displaystyle n\geq 1}$

Porque es el diagrama trivial, correspondiente al grupo trivial ${\displaystyle n=0,}$ ${\displaystyle A_{0}\cong B_{0}\cong C_{0}\cong D_{0}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong \operatorname {SO} (1)\cong \operatorname {Sp} (0)\cong \operatorname {SO} (0).}$

Pues el isomorfismo corresponde a los isomorfismos de diagramas y a los correspondientes isomorfismos de grupos de Lie (los cuaterniones de 3 esferas o unitarios ). ${\displaystyle n=1,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{2}\cong {\mathfrak {so}}_{3}\cong {\mathfrak {sp}}_{1}}$ ${\displaystyle A_{1}\cong B_{1}\cong C_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)}$

Porque el isomorfismo corresponde a los isomorfismos de diagramas y al correspondiente isomorfismo de grupos de Lie. ${\displaystyle n=2,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {so}}_{5}\cong {\mathfrak {sp}}_{2}}$ ${\displaystyle B_{2}\cong C_{2},}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\cong \operatorname {Spin} (5).}$

Porque el isomorfismo corresponde a los isomorfismos de diagramas y al correspondiente isomorfismo de grupos de Lie. ${\displaystyle n=3,}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}_{4}\cong {\mathfrak {so}}_{6}}$ ${\displaystyle A_{3}\cong D_{3},}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (4)\cong \operatorname {Spin} (6).}$

Si se considera y como diagramas, estos son isomorfos a y respectivamente, con los correspondientes isomorfismos de las álgebras de Lie. ${\displaystyle E_{4}}$ ${\displaystyle E_{5}}$ ${\displaystyle A_{4}}$ ${\displaystyle D_{5},}$

Ver también

• forma real
• Álgebra de mentira dividida

Notas

1. (Knapp 2002, Sección 4, págs. 248-251)
2. (Knapp 2002, Proposiciones 4.26, 4.27, págs. 249-250)
3. (Knapp 2002, Proposición 4.25, págs.249)
4. (Knapp 2002, Proposición 4.24, págs.249)
5. SpringerEnlace
6. Salón 2015 Capítulo 7

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-40122-5.
• Knapp, Anthony W. (2002), Grupos de mentiras más allá de una introducción , Progress in Mathematics, vol. 140 (2ª ed.), Boston: Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5.

enlaces externos

• Grupo de mentiras, compacto , en Enciclopedia de Matemáticas