Cohomología del álgebra de Lie

Teoría de cohomología para álgebras de Lie

En matemáticas , la cohomología del álgebra de Lie es una teoría de cohomología para las álgebras de Lie . Fue introducida por primera vez en 1929 por Élie Cartan para estudiar la topología de los grupos de Lie y los espacios homogéneos ^[1] relacionando los métodos cohomológicos de Georges de Rham con las propiedades del álgebra de Lie. Posteriormente fue ampliada por Claude Chevalley y Samuel Eilenberg (1948) a los coeficientes en un módulo de Lie  arbitrario . ^[2]

Motivación

Si es un grupo de Lie compacto simplemente conexo , entonces está determinado por su álgebra de Lie, por lo que debería ser posible calcular su cohomología a partir del álgebra de Lie. Esto se puede hacer de la siguiente manera. Su cohomología es la cohomología de De Rham del complejo de formas diferenciales en . Usando un proceso de promediado, este complejo puede ser reemplazado por el complejo de formas diferenciales invariantes por la izquierda . Las formas invariantes por la izquierda, mientras tanto, están determinadas por sus valores en la identidad, de modo que el espacio de formas diferenciales invariantes por la izquierda puede identificarse con el álgebra exterior del álgebra de Lie, con un diferencial adecuado. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La construcción de esta diferencial en un álgebra exterior tiene sentido para cualquier álgebra de Lie, por lo que se utiliza para definir la cohomología del álgebra de Lie para todas las álgebras de Lie. De manera más general, se utiliza una construcción similar para definir la cohomología del álgebra de Lie con coeficientes en un módulo.

Si es un grupo de Lie no compacto simplemente conexo , la cohomología del álgebra de Lie del álgebra de Lie asociada no necesariamente reproduce la cohomología de De Rham de . La razón de esto es que el paso del complejo de todas las formas diferenciales al complejo de formas diferenciales invariantes por la izquierda utiliza un proceso de promediado que solo tiene sentido para grupos compactos. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$

Definición

Sea un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R con álgebra envolvente universal , y sea M una representación de (equivalentemente, un -módulo). Considerando R como una representación trivial de , se definen los grupos de cohomología ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

(ver funtor Ext para la definición de Ext). Equivalentemente, estos son los funtores derivados derechos del funtor submódulo invariante exacto izquierdo

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

De manera análoga, se puede definir la homología del álgebra de Lie como

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

(ver functor Tor para la definición de Tor), que es equivalente a los funtores derivados de la izquierda del functor coinvariante exacto de la derecha

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

Algunos resultados básicos importantes sobre la cohomología de las álgebras de Lie incluyen los lemas de Whitehead , el teorema de Weyl y el teorema de descomposición de Levi .

Complejo Chevalley-Eilenberg

Sea un álgebra de Lie sobre un cuerpo , con una acción por la izquierda sobre el módulo . Los elementos del complejo de Chevalley-Eilenberg ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{k}(\Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}},M)}$

se denominan cocadenas de a . Una -cocadena homogénea de a es, por tanto, una función -multilineal alternante . Cuando se genera finitamente como espacio vectorial, el complejo de Chevalley-Eilenberg es canónicamente isomorfo al producto tensorial , donde denota el espacio vectorial dual de . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f\colon \Lambda ^{n}{\mathfrak {g}}\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M\otimes \Lambda ^{\bullet }{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

El corchete de Lie sobre induce una aplicación transpuesta por dualidad. Esto último es suficiente para definir una derivación del complejo de cocadenas de a extendiendo según la regla graduada de Leibniz. Se sigue de la identidad de Jacobi que satisface y es de hecho un diferencial. En este contexto, se considera un módulo trivial mientras que se pueden considerar constantes. ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\colon \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\rightarrow \Lambda ^{2}{\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{2}=0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle k\sim \Lambda ^{0}{\mathfrak {g}}^{*}\subseteq \mathrm {Ker} (d_{\mathfrak {g}})}$

En general, denotemos la acción izquierda de sobre y considérese como una aplicación . La diferencial de Chevalley-Eilenberg es entonces la única derivación que extiende y según la regla graduada de Leibniz , la condición de nilpotencia que se sigue del homomorfismo del álgebra de Lie de a y la identidad de Jacobi en . ${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}\colon M\rightarrow M\otimes {\mathfrak {g}}^{*}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d_{\gamma }^{(0)}}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}^{(1)}}$ ${\displaystyle d^{2}=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \mathrm {End} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Explícitamente, el diferencial de la -cocadena es la -cocadena dada por: ^[3] ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (n+1)}$ ${\displaystyle df}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(df)\left(x_{1},\ldots ,x_{n+1}\right)=&\sum _{i}(-1)^{i+1}x_{i}\,f\left(x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,x_{n+1}\right)+\\&\sum _{i<j}(-1)^{i+j}f\left(\left[x_{i},x_{j}\right],x_{1},\ldots ,{\hat {x}}_{i},\ldots ,{\hat {x}}_{j},\ldots ,x_{n+1}\right)\,,\end{aligned}}}$

donde el símbolo de circunvalación significa omitir ese argumento.

Cuando es un grupo de Lie real con álgebra de Lie , el complejo de Chevalley–Eilenberg también puede identificarse canónicamente con el espacio de formas invariantes por la izquierda con valores en , denotado por . La diferencial de Chevalley–Eilenberg puede entonces considerarse como una restricción de la derivada covariante en el fibrado trivial de fibras , equipada con la conexión equivariante asociada con la acción por la izquierda de en . En el caso particular donde está equipada con la acción trivial de , la diferencial de Chevalley–Eilenberg coincide con la restricción de la diferencial de De Rham en al subespacio de formas diferenciales invariantes por la izquierda. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G,M)^{G}}$ ${\displaystyle G\times M\rightarrow G}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}\in \Omega ^{1}(G,\mathrm {End} (M))}$ ${\displaystyle \gamma \in \mathrm {Hom} ({\mathfrak {g}},\mathrm {End} (M))}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M=k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(G)}$

Cohomología en pequeñas dimensiones

El grupo de cohomología cero es (por definición) los invariantes del álgebra de Lie que actúan sobre el módulo:

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid xm=0\ {\text{ for all }}x\in {\mathfrak {g}}\}.}$

El primer grupo de cohomología es el espacio Der de derivaciones módulo el espacio Ider de derivaciones internas

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}},M)/\mathrm {Ider} ({\mathfrak {g}},M)\,}$,

donde una derivación es un mapa del álgebra de Lie tal que ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

y se llama interior si viene dado por

${\displaystyle dx=xa~}$

Para algunos en . ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle M}$

El segundo grupo de cohomología

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

es el espacio de clases de equivalencia de las extensiones del álgebra de Lie

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

del álgebra de Lie por el módulo . ${\displaystyle M}$

De manera similar, cualquier elemento del grupo de cohomología da una clase de equivalencia de formas de extender el álgebra de Lie a un " álgebra de Lie" con en grado cero y en grado . ^[4] Un álgebra de Lie es un álgebra de Lie de homotopía con términos distintos de cero solo en los grados 0 a . ${\displaystyle H^{n+1}({\mathfrak {g}};M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Ejemplos

Cohomología en el módulo trivial

Cuando , como se mencionó anteriormente, el complejo de Chevalley-Eilenberg coincide con el complejo de De-Rham para un grupo de Lie compacto correspondiente . En este caso conlleva la acción trivial de , por lo que para cada . ${\displaystyle M=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle xa=0}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}},a\in M}$

• El grupo de cohomología cero es . ${\displaystyle M}$
• Primera cohomología: dada una derivación , para todos y , entonces las derivaciones satisfacen para todos los conmutadores, por lo que el ideal está contenido en el núcleo de . ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle xDy=0}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle D([x,y])=0}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$ ${\displaystyle D}$
  • Si , como es el caso de las álgebras de Lie simples , entonces , por lo que el espacio de derivaciones es trivial, por lo que la primera cohomología es trivial. ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle D\equiv 0}$
  • Si es abeliano, es decir, , entonces cualquier funcional lineal es de hecho una derivación, y el conjunto de derivaciones internas es trivial ya que satisfacen para cualquier . Entonces el primer grupo de cohomología en este caso es . A la luz de la correspondencia de-Rham, esto muestra la importancia del supuesto compacto, ya que este es el primer grupo de cohomología del -toro visto como un grupo abeliano, y también puede verse como un grupo abeliano de dimensión , pero tiene una cohomología trivial. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]=0}$ ${\displaystyle D:{\mathfrak {g}}\rightarrow M}$ ${\displaystyle Dx=xa=0}$ ${\displaystyle a\in M}$ ${\displaystyle M^{{\text{dim}}{\mathfrak {g}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Segunda cohomología: El segundo grupo de cohomología es el espacio de clases de equivalencia de extensiones centrales.

$${\displaystyle 0\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {e}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0.}$$Las álgebras de Lie simples y de dimensión finita sólo tienen extensiones centrales triviales: aquí se proporciona una prueba .

Cohomología en el módulo adjunto

Cuando , la acción es la acción adjunta , . ${\displaystyle M={\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle x\cdot y=[x,y]={\text{ad}}(x)y}$

• El grupo de cohomología cero es el centro ${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$
• Primera cohomología: las derivaciones internas vienen dadas por , por lo que son precisamente la imagen de El primer grupo de cohomología es el espacio de derivaciones externas . ${\displaystyle Dx=xy=[x,y]=-{\text{ad}}(y)x}$ ${\displaystyle {\text{ad}}:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}({\mathfrak {g}}).}$

Véase también

• Formalismo BRST en física teórica.
• Cohomología de Gelfand-Fuks

Referencias

1. Cartan, Élie (1929). "Sur les invariantes integrados de ciertos espacios homogéneos clos". Annales de la Société Polonesa de Mathématique . 8 : 181–225.
2. Koszul, Jean-Louis (1950). "Homologie et cohomologie des algèbres de Lie". Boletín de la Sociedad Matemática de Francia . 78 : 65-127. doi : 10.24033/bsmf.1410 . Archivado desde el original el 21 de abril de 2019 . Consultado el 3 de mayo de 2019 .
3. Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge University Press . pág. 240.
4. Baez, John C. ; Crans, Alissa S. (2004). "Álgebra de dimensiones superiores VI: 2-álgebras de Lie". Teoría y aplicaciones de categorías . 12 : 492–528. arXiv : math/0307263 . Código Bibliográfico :2003math......7263B. CiteSeerX 10.1.1.435.9259 . 

• Chevalley, Claude ; Eilenberg, Samuel (1948), "Teoría de cohomología de grupos de Lie y álgebras de Lie", Transactions of the American Mathematical Society , 63 (1), Providence, RI: American Mathematical Society : 85–124, doi : 10.2307/1990637 , ISSN  0002-9947, JSTOR  1990637, MR  0024908
• Hilton, Peter J. ; Stammbach, Urs (1997), Un curso de álgebra homológica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 4 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94823-2, Sr.  1438546
• Knapp, Anthony W. (1988), Grupos de Lie, álgebras de Lie y cohomología , Mathematical Notes, vol. 34, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08498-5, Sr.  0938524