Álgebra de Lie de homotopía

En matemáticas , en particular álgebra abstracta y topología , un álgebra de Lie homotópica (o -álgebra ) es una generalización del concepto de álgebra de Lie graduada diferencial . Para ser un poco más específico, la identidad de Jacobi solo se cumple en el caso de la homotopía. Por lo tanto, un álgebra de Lie graduada diferencial puede verse como un álgebra de Lie homotópica donde la identidad de Jacobi se cumple a la perfección. Estas álgebras de homotopía son útiles para clasificar problemas de deformación sobre la característica 0 en la teoría de la deformación porque los funtores de deformación se clasifican por clases de cuasi-isomorfismo de -álgebras. ^[1] Esto fue posteriormente extendido a todas las características por Jonathan Pridham. ^[2] ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Las álgebras de Lie de homotopía tienen aplicaciones dentro de las matemáticas y la física matemática ; están vinculadas, por ejemplo, al formalismo de Batalin-Vilkovisky, de forma muy similar a lo que lo están las álgebras de Lie diferenciales graduadas.

Definición

Existen varias definiciones diferentes de un álgebra de Lie homotópica, algunas particularmente adecuadas para ciertas situaciones más que otras. La definición más tradicional es mediante aplicaciones multilineales simétricas, pero también existe una definición geométrica más sucinta que utiliza el lenguaje de la geometría formal . Aquí se hace la suposición general de que el cuerpo subyacente es de característica cero.

Definición geométrica

Un álgebra de Lie homotópica en un espacio vectorial graduado es una derivación continua, , de orden que eleva al cuadrado a cero en la variedad formal . Aquí está el álgebra simétrica completa, es la suspensión de un espacio vectorial graduado y denota el dual lineal. Normalmente se describe como el álgebra de Lie homotópica y con la diferencial como su álgebra diferencial graduada conmutativa que la representa. ${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle >1}$ ${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$ ${\displaystyle {\hat {S}}}$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle (V,m)}$ ${\displaystyle {\hat {S}}\Sigma V^{*}}$ ${\displaystyle m}$

Utilizando esta definición de un álgebra de Lie de homotopía, se define un morfismo de álgebras de Lie de homotopía, , como un morfismo de sus álgebras graduadas diferenciales conmutativas que representan que conmuta con el campo vectorial, es decir, . Las álgebras de Lie de homotopía y sus morfismos definen una categoría . ${\displaystyle f\colon (V,m_{V})\to (W,m_{W})}$ ${\displaystyle f\colon {\hat {S}}\Sigma V^{*}\to {\hat {S}}\Sigma W^{*}}$ ${\displaystyle f\circ m_{V}=m_{W}\circ f}$

Definición mediante mapas multilineales

La definición más tradicional de un álgebra de Lie homotópica es la de "a través de una colección infinita de aplicaciones multilineales simétricas", a la que a veces se hace referencia como la definición mediante corchetes superiores. Cabe señalar que las dos definiciones son equivalentes.

Un álgebra de Lie homotópica ^[3] en un espacio vectorial graduado es una colección de aplicaciones multilineales simétricas de grado , a veces denominadas corchete -ario, para cada . Además, las aplicaciones satisfacen la identidad de Jacobi generalizada: ${\displaystyle V=\bigoplus V_{i}}$ ${\displaystyle l_{n}\colon V^{\otimes n}\to V}$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle l_{n}}$

${\displaystyle \sum _{i+j=n+1}\sum _{\sigma \in \mathrm {UnShuff} (i,n-i)}\chi (\sigma ,v_{1},\dots ,v_{n})(-1)^{i(j-1)}l_{j}(l_{i}(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (i)}),v_{\sigma (i+1)},\dots ,v_{\sigma (n)})=0,}$

para cada n. Aquí la suma interna se ejecuta sobre -desordena y es la firma de la permutación. La fórmula anterior tiene interpretaciones significativas para valores bajos de ; por ejemplo, cuando dice que eleva al cuadrado a cero (es decir, es una diferencial en ), cuando dice que es una derivación de , y cuando dice que satisface la identidad de Jacobi hasta un término exacto de (es decir, se mantiene en homotopía). Nótese que cuando los corchetes superiores para se desvanecen, se recupera la definición de un álgebra de Lie graduada diferencial en . ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{3}}$ ${\displaystyle l_{n}}$ ${\displaystyle n\geq 3}$ ${\displaystyle V}$

Utilizando el enfoque a través de mapas multilineales, un morfismo de álgebras de Lie de homotopía puede definirse mediante una colección de mapas multilineales simétricos que satisfacen ciertas condiciones. ${\displaystyle f_{n}\colon V^{\otimes n}\to W}$

Definición mediante operads

También existe una definición más abstracta de un álgebra de homotopía que utiliza la teoría de operados : es decir, un álgebra de Lie de homotopía es un álgebra sobre un operado en la categoría de complejos de cadena sobre el operado. ${\displaystyle L_{\infty }}$

(Cuasi)isomorfismos y modelos mínimos

Se dice que un morfismo de álgebras de Lie de homotopía es un (cuasi)isomorfismo si su componente lineal es un (cuasi)isomorfismo, donde las diferenciales de y son simplemente las componentes lineales de y . ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle m_{V}}$ ${\displaystyle m_{W}}$

Una clase especial importante de álgebras de Lie homotópicas son las llamadas álgebras de Lie homotópicas mínimas , que se caracterizan por la desaparición de su componente lineal . Esto significa que cualquier cuasi isomorfismo de álgebras de Lie homotópicas mínimas debe ser un isomorfismo. Cualquier álgebra de Lie homotópica es cuasi isomorfa de una mínima, que debe ser única hasta el isomorfismo y, por lo tanto, se denomina su modelo mínimo . ${\displaystyle l_{1}}$

Ejemplos

Debido a que las álgebras tienen una estructura tan compleja, describir incluso casos simples puede ser una tarea nada trivial en la mayoría de los casos. Afortunadamente, existen casos simples que provienen de álgebras de Lie graduadas diferenciales y casos que provienen de ejemplos de dimensión finita. ${\displaystyle L_{\infty }}$

Álgebras de Lie graduadas diferenciales

Una de las clases de ejemplos de álgebras a las que se puede acceder proviene de la incorporación de álgebras de Lie graduadas diferenciales en la categoría de álgebras. Esto se puede describir dando la derivación, la estructura del álgebra de Lie y el resto de las aplicaciones. ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle l_{1}}$ ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle l_{k}=0}$

Dos términos L∞álgebras

En los grados 0 y 1

Una clase notable de ejemplos son las -álgebras que solo tienen dos espacios vectoriales subyacentes distintos de cero . Entonces, al generar la definición de -álgebras, esto significa que hay una función lineal ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle V_{0},V_{1}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle d\colon V_{1}\to V_{0}}$,

mapas bilineales

${\displaystyle l_{2}\colon V_{i}\times V_{j}\to V_{i+j}}$, dónde , ${\displaystyle 0\leq i+j\leq 1}$

y un mapa trilineal

${\displaystyle l_{3}\colon V_{0}\times V_{0}\times V_{0}\to V_{1}}$

que satisfacen una multitud de identidades. ^{[4] pg 28} En particular, la función en implica que tiene una estructura de álgebra de Lie hasta una homotopía. Esto está dado por la diferencial de ya que da la estructura de álgebra implica ${\displaystyle l_{2}}$ ${\displaystyle V_{0}\times V_{0}\to V_{0}}$ ${\displaystyle l_{3}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle dl_{3}(a,b,c)=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

mostrando que es un rango de Lie superior. De hecho, algunos autores escriben los mapas como , por lo que la ecuación anterior podría leerse como ${\displaystyle l_{n}}$ ${\displaystyle [-,\cdots ,-]_{n}:V_{\bullet }\to V_{\bullet }}$

${\displaystyle d[a,b,c]_{3}=-[[a,b],c]+[[a,c],b]+[a,[b,c]]}$,

mostrando que la diferencial del corchete 3 da como resultado que el corchete 2 no sea una estructura de álgebra de Lie. Es solo un álgebra de Lie hasta la homotopía. Si tomamos el complejo entonces tiene una estructura de álgebra de Lie a partir de la función inducida de . ${\displaystyle H_{*}(V_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle H_{0}(V_{\bullet },d)}$ ${\displaystyle [-,-]_{2}}$

En grados 0 y n

En este caso, para , no hay diferencial, por lo que hay un álgebra de Lie en la nariz, pero, hay datos adicionales de un espacio vectorial en grado y un corchete superior. ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle l_{n+2}\colon \bigoplus ^{n+2}V_{0}\to V_{n}.}$

Resulta que este corchete superior es de hecho un cociclo superior en la cohomología del álgebra de Lie . Más específicamente, si reescribimos como el álgebra de Lie y y una representación del álgebra de Lie (dada por el mapa de estructura ), entonces hay una biyección de cuádruples ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle V_{n}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},V,\rho ,l_{n+2})}$¿Dónde está un -cociclo? ${\displaystyle l_{n+2}\colon {\mathfrak {g}}^{\otimes n+2}\to V}$ ${\displaystyle (n+2)}$

y las álgebras de dos términos con espacios vectoriales distintos de cero en grados y . ^{[4] pág. 42} Nótese que esta situación es muy análoga a la relación entre la cohomología de grupos y la estructura de n-grupos con dos grupos de homotopía no triviales. Para el caso de las álgebras de términos en grados y existe una relación similar entre los cociclos del álgebra de Lie y dichos corchetes superiores. A primera vista, no es un resultado obvio, pero se vuelve claro después de observar el complejo de homología. ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle H_{*}(V_{1}\xrightarrow {d} V_{0})}$,

De modo que la diferencial se vuelve trivial. Esto da un álgebra equivalente que puede analizarse como antes. ${\displaystyle L_{\infty }}$

Ejemplo en grados 0 y 1

Un ejemplo simple de álgebra de Lie-2 lo da el álgebra con donde es el producto vectorial de los vectores y es la representación trivial. Luego, hay un nivel superior dado por el producto escalar de los vectores. ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle V_{0}=(\mathbb {R} ^{3},\times )}$ ${\displaystyle \times }$ ${\displaystyle V_{1}=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle l_{3}}$

${\displaystyle l_{3}(a,b,c)=a\cdot (b\times c).}$

Se puede comprobar que el diferencial de esta álgebra es siempre cero utilizando el álgebra lineal básica ^{[4] pág. 45} . ${\displaystyle L_{\infty }}$

Ejemplo de dimensión finita

Proponer ejemplos sencillos para estudiar la naturaleza de las álgebras es un problema complejo. Por ejemplo, ^[5] dado un espacio vectorial graduado donde tiene una base dada por el vector y tiene una base dada por los vectores , existe una estructura de álgebra dada por las siguientes reglas ${\displaystyle L_{\infty }}$ ${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1}}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle v_{1},v_{2}}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&l_{1}(v_{1})=l_{1}(v_{2})=w\\&l_{2}(v_{1}\otimes v_{2})=v_{1},l_{2}(v_{1}\otimes w)=w\\&l_{n}(v_{2}\otimes w^{\otimes n-1})=C_{n}w{\text{ for }}n\geq 3\end{aligned}},}$

donde . Nótese que las primeras constantes son ${\displaystyle C_{n}=(-1)^{n-1}(n-3)C_{n-1},C_{3}=1}$

${\displaystyle {\begin{matrix}C_{3}&C_{4}&C_{5}&C_{6}\\1&-1&-2&12\end{matrix}}}$

Como debe ser de grado , los axiomas implican que . Existen otros ejemplos similares de superálgebras de Lie ^[6] . ^[7] Además, las estructuras en espacios vectoriales graduados cuyo espacio vectorial subyacente es bidimensional han sido completamente clasificadas. ^[3] ${\displaystyle l_{1}(w)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle l_{1}(w)=0}$ ${\displaystyle L_{\infty }}$

Véase también

• Álgebra asociativa de homotopía
• Álgebra graduada diferencial
• Formalismo BV
• Álgebra de Lie simple
• Homología de Hochschild
• Cuantización de la deformación

Referencias

1. Lurie, Jacob . "Geometría algebraica derivada X: problemas de módulos formales" (PDF) . pág. 31, Teorema 2.0.2.
2. Pridham, Jonathan Paul (2012). "Deformaciones derivadas de esquemas". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 20 (3): 529–563. arXiv : 0908.1963 . doi :10.4310/CAG.2012.v20.n3.a4. MR  2974205.
3. Daily, Marilyn Elizabeth (14 de abril de 2004). L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} Estructuras en espacios de baja dimensión (PhD). hdl :1840.16/5282.
4. Baez, John C. ; Crans, Alissa S. (24 de enero de 2010). "Álgebra de dimensión superior VI: álgebras de Lie 2". Teoría y aplicaciones de categorías . 12 : 492–528. arXiv : math/0307263 .
5. Daily, Marilyn; Lada, Tom (2005). "Un ejemplo de álgebra de dimensión finita L ∞ {\displaystyle L_{\infty }} en teoría de calibre". Homología, homotopía y aplicaciones . 7 (2): 87–93. doi : 10.4310/HHA.2005.v7.n2.a4 . MR  2156308.
6. Fialowski, Alice; Penkava, Michael (2002). "Ejemplos de álgebras de infinito y de Lie y sus deformaciones versales". Banach Center Publications . 55 : 27–42. arXiv : math/0102140 . doi :10.4064/bc55-0-2. MR  1911978. S2CID  14082754.
7. Fialowski, Alice; Penkava, Michael (2005). "Álgebras de Lie fuertemente homotópicas de una dimensión par y dos impares". Journal of Algebra . 283 (1): 125–148. arXiv : math/0308016 . doi :10.1016/j.jalgebra.2004.08.023. MR  2102075. S2CID  119142148.

Introducción

• Teoría de la deformación (notas de clase): ofrece una excelente descripción general de las álgebras de Lie de homotopía y su relación con la teoría de la deformación y la cuantificación de la deformación.
• Lada, Tom; Stasheff, Jim (1993). "Introducción a las álgebras de Lie de Sh para físicos". Revista Internacional de Física Teórica . 32 (7): 1087–1104. arXiv : hep-th/9209099 . Código Bibliográfico :1993IJTP...32.1087L. doi :10.1007/BF00671791. S2CID  16456088.

En física

• Arvanitakis, Alex S. (2019). "El álgebra L∞ de la matriz S". arXiv : 1903.05643 [hep-th].
• Hohm, Olaf; Zwiebach, Barton (2017). "L∞ Álgebras y teoría de campos". Fortschr. Física . 65 (3–4): 1700014. arXiv : 1701.08824 . Código Bib : 2017 para Ph..6500014H. doi :10.1002/prop.201700014. S2CID  90628041.— Hacia la clasificación de campos clásicos invariantes de calibre perturbativos.

En la deformación y la teoría de cuerdas

• Pridham, Jonathan P. (2015). "Deformaciones derivadas de pilas de Artin". Comunicaciones en Análisis y Geometría . 23 (3): 419–477. arXiv : 0805.3130 . doi :10.4310/CAG.2015.v23.n3.a1. MR  3310522. S2CID  14505074.
• Pridham, Jonathan P. (2010). "Unificación de las teorías de deformación derivadas". Avances en Matemáticas . 224 (3): 772–826. arXiv : 0705.0344 . doi : 10.1016/j.aim.2009.12.009 . MR  2628795. S2CID  14136532.
• Hu, Po; Kriz, Igor; Voronov, Alexander A. (2006). "Sobre la conjetura de cohomología de Hochschild de Kontsevich". Composición Matemática . 142 (1): 143–168. arXiv : matemáticas/0309369 . doi :10.1112/S0010437X05001521. SEÑOR  2197407. S2CID  15153116.

Ideas relacionadas

• Roberts, Justin; Willerton, Simon (2010). "Sobre los sistemas de ponderación de Rozansky-Witten". Topología algebraica y geométrica . 10 (3): 1455–1519. arXiv : math/0602653 . doi :10.2140/agt.2010.10.1455. MR  2661534. S2CID  17829444.(Álgebras de Lie en la categoría derivada de haces coherentes.)

Enlaces externos

• "Seminario de aprendizaje sobre la teoría de la deformación". Instituto Max Planck de Matemáticas. 2018.Se analiza la teoría de la deformación en el contexto de las -álgebras. ${\displaystyle L_{\infty }}$