Teorema de Milnor-Moore

Teorema algebraico

En álgebra , el teorema de Milnor-Moore , introducido por John W. Milnor y John C. Moore  (1965), clasifica una clase importante de álgebras de Hopf , del tipo que a menudo aparecen como anillos de cohomología en la topología algebraica .

El teorema establece: dada una álgebra de Hopf A conexa, graduada y co-conmutativa sobre un cuerpo de característica cero con para todo n , el homomorfismo natural del álgebra de Hopf ${\displaystyle \dim A_{n}<\infty }$

${\displaystyle U(P(A))\to A}$

del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie graduada de elementos primitivos de A a A es un isomorfismo. Aquí decimos que A es conexo si es el cuerpo y para n negativo . El álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie graduada L es el cociente del álgebra tensorial de L por el ideal bilateral generado por todos los elementos de la forma . ${\displaystyle P(A)}$ ${\displaystyle A_{0}}$ ${\displaystyle A_{n}=0}$ ${\displaystyle xy-(-1)^{|x||y|}yx-[x,y]}$

En topología algebraica , el término suele referirse al corolario del resultado antes mencionado, de que para un espacio X puntiagudo y simplemente conexo , se cumple el siguiente isomorfismo:

${\displaystyle U(\pi _{\ast }(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} )\cong H_{\ast }(\Omega X;\mathbb {Q} ),}$

donde denota el espacio de bucles de X , compárese con el Teorema 21.5 de Félix, Halperin y Thomas (2001). Este trabajo también puede compararse con el de (Halpern 1958a, 1958b). Aquí la multiplicación en el lado derecho inducida por el producto , y luego por la multiplicación de Eilenberg-Zilber . ${\displaystyle \Omega X}$ ${\displaystyle \Omega X\times \Omega X\rightarrow \Omega X}$ ${\displaystyle C_{*}(\Omega X)\times C_{*}(\Omega X)\rightarrow C_{*}(\Omega X)}$

En el lado izquierdo, dado que está simplemente conexo, hay un espacio vectorial; la notación representa el álgebra envolvente universal. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{\ast }(\Omega X)\otimes \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle U(V)}$

Referencias

• Milnor, John W. ; Moore, John C. (1965). "Sobre la estructura de las álgebras de Hopf". Anales de Matemáticas . 81 (2): 211–264. doi :10.2307/1970615. JSTOR  1970615. MR  0174052.
• Bloch, Spencer . «Conferencia 3 sobre álgebras de Hopf» (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2010-06-10 . Consultado el 2014-07-18 .
• Spencer Bloch , "Tres lecciones sobre álgebras de Hopf y el teorema de Milnor-Moore". Notas de Mitya Boyarchenko.
• Félix, Yves; Halperin, Stephen ; Thomas, Jean-Claude (2001). Teoría de la homotopía racional . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 205. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4613-0105-9. ISBN . 0-387-95068-0.Señor 1802847  .(Descripción del libro y contenidos en la página web de Amazon)
• Halpern, Edward (1958a), "Hiperálgebras polinómicas retorcidas", Memorias de la American Mathematical Society , 29 : 61 pp, MR  0104225
• Halpern, Edward (1958b), "Sobre la estructura de las hiperálgebras. Álgebras de Hopf de clase 1", Portugaliae Mathematica , 17 (4): 127–147, MR  0111023
• May, J. Peter (1969). "Algunas observaciones sobre la estructura de las álgebras de Hopf" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . 23 (3): 708–713. doi : 10.2307/2036615 . JSTOR  2036615. MR  0246938.(Enlace roto)

Enlaces externos

• Akhil Mathew (23 de junio de 2012). "Teoría formal de Lie en característica cero".